Путь (топология)

В математике путь в топологическом пространстве представляет собой непрерывную функцию из замкнутого единичного интервала в${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle Х.}$

Пути играют важную роль в топологии и математическом анализе . Например, топологическое пространство, для которого существует путь, соединяющий любые две точки, называется линейно-связным . Любое пространство может быть разбито на компоненты, связанные путями . Множество компонент линейной связности пространства часто обозначают${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle \ пи _ {0} (Х).}$

Можно также определить пути и петли в точечных пространствах , что важно в гомотопической теории . Если это топологическое пространство с базовой точкой , то путь в это тот, начальная точка которого равна . Точно так же цикл in основан на .${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle х_ {0},}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle х_ {0}}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle х_ {0}}$

Кривая в топологическом пространстве есть непрерывная функция из непустого и невырожденного интервала . Путь в — это кривая , областью определения которой является компактный невырожденный интервал (имеются в виду действительные числа ) , где называется начальной точкой пути и называется его конечной точкой . Путь из в — это путь, начальная точка которого есть , а конечная точка — каждый. Каждый невырожденный компактный интервал гомеоморфен ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle е: J \ к Х}$ ${\ Displaystyle J \ subseteq \ mathbb {R}.}$${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle е: [а, б] \ к Х}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ Displaystyle а <б}$${\ Displaystyle е (а)}$${\ Displaystyle е (б)}$${\ Displaystyle х}$${\ Displaystyle у}$${\ Displaystyle х}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [0,1],}$вот почему путь иногда, особенно в гомотопической теории, определяется как непрерывная функция из замкнутого единичного интервала в${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$${\displaystyle X.}$ Дуга или C ⁰ -дуга в — это путь в , который также является топологическим вложением . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Важно отметить, что путь — это не просто подмножество того , что «выглядит как» кривая , он также включает в себя параметризацию . Например, карты и представляют собой два разных пути от 0 до 1 на реальной прямой. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle g(x)=x^{2}}$

Точки, прослеживаемые путем из в в Тем не менее, разные пути могут отслеживать один и тот же набор точек.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

Гомотопия между двумя путями.