Мера динамического риска

В финансовой математике , А условная мера риска является случайной величиной от финансового риска ( в частности, риск падения ) , как если измеренная в какой - то момент в будущем. Мера риска можно рассматривать как условную меру риска на тривиальной сигма алгебре .

Мера динамического риска является мерой риска , которая рассматривает вопрос о том , как связаны оценки риска в разное время. Его можно интерпретировать как последовательность условных мер риска. ^[1]

Новак предложил другой подход к динамическому измерению риска. ^[2]

Условная мера риска [ править ]

Рассмотрит портфель возвращается в какое - то терминальное время как случайная величина , которая равномерно ограничен , т.е. обозначает выигрыш портфеля. Отображение является условной мерой риска, если оно имеет следующие свойства для случайной доходности портфеля : ^{[3] [4]}${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X \ in L ^ {\ infty} \ left ({\ mathcal {F}} _ {T} \ right)}$${\ displaystyle \ rho _ {t}: L ^ {\ infty} \ left ({\ mathcal {F}} _ {T} \ right) \ rightarrow L_ {t} ^ {\ infty} = L ^ {\ infty } \ left ({\ mathcal {F}} _ {t} \ right)}$${\ Displaystyle X, Y \ in L ^ {\ infty} \ left ({\ mathcal {F}} _ {T} \ right)}$

Условная денежная инвариантность

${\ displaystyle \ forall m_ {t} \ in L_ {t} ^ {\ infty}: \; \ rho _ {t} (X + m_ {t}) = \ rho _ {t} (X) -m_ { t}}$^{[ требуется разъяснение ]}

Монотонность

${\displaystyle \mathrm {If} \;X\leq Y\;\mathrm {then} \;\rho _{t}(X)\geq \rho _{t}(Y)}$^{[ требуется разъяснение ]}

Нормализация

${\displaystyle \rho _{t}(0)=0}$^{[ требуется разъяснение ]}

Если это условная выпуклая мера риска, то она также будет обладать свойством:

Условная выпуклость

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },0\leq \lambda \leq 1:\rho _{t}(\lambda X+(1-\lambda )Y)\leq \lambda \rho _{t}(X)+(1-\lambda )\rho _{t}(Y)}$^{[ требуется разъяснение ]}

Условная когерентная мера риска - это условная выпуклая мера риска, которая дополнительно удовлетворяет:

Условная положительная однородность

${\displaystyle \forall \lambda \in L_{t}^{\infty },\lambda \geq 0:\rho _{t}(\lambda X)=\lambda \rho _{t}(X)}$^{[ требуется разъяснение ]}

Принятие установлено [ править ]

Набор принятия во время связан с мерой условного риска является${\displaystyle t}$

${\displaystyle A_{t}=\{X\in L_{T}^{\infty }:\rho (X)\leq 0{\text{ a.s.}}\}}$.

Если вы получили набор приемок во время, тогда соответствующая условная мера риска будет${\displaystyle t}$

${\displaystyle \rho _{t}={\text{ess}}\inf\{Y\in L_{t}^{\infty }:X+Y\in A_{t}\}}$

где - существенная нижняя грань . ^[5]${\displaystyle {\text{ess}}\inf }$

Обычная собственность [ править ]

Условная мера риски называется регулярным , если для любого и тогда , когда это индикаторная функция на . Любая нормализованная условно-выпуклая мера риска является регулярной. ^[3]${\displaystyle \rho _{t}}$${\displaystyle X\in L_{T}^{\infty }}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle \rho _{t}(1_{A}X)=1_{A}\rho _{t}(X)}$${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle A}$

Финансовая интерпретация этого утверждает, что условный риск для некоторого будущего узла (т.е. ) зависит только от возможных состояний этого узла. В биномиальной модели это было бы похоже на вычисление риска для поддерева, ответвляющегося от рассматриваемой точки.${\displaystyle \rho _{t}(X)[\omega ]}$

Согласованное во времени свойство [ править ]

Динамическая мера риска согласована во времени тогда и только тогда, когда . ^[6]${\displaystyle \rho _{t+1}(X)\leq \rho _{t+1}(Y)\Rightarrow \rho _{t}(X)\leq \rho _{t}(Y)\;\forall X,Y\in L^{0}({\mathcal {F}}_{T})}$

Пример: цена динамического суперхеджирования [ править ]

Цена динамического суперхеджирования включает условные меры риска в форме . Показано, что это временная мера риска.${\displaystyle \rho _{t}(-X)=\operatorname {*} {ess\sup }_{Q\in EMM}\mathbb {E} ^{Q}[X|{\mathcal {F}}_{t}]}$

Ссылки [ править ]