Приемочный набор

В финансовой математике , принятие набор представляет собой набор приемлемых будущей чистой стоимости , которая является приемлемой для регулятора . Это связано с мерами риска .

Математическое определение [ править ]

Учитывая вероятностное пространство и пусть будет пространство Lp в скалярном случае и в d-измерениях, мы можем определить приемочные множества, как показано ниже.${\ Displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ Displaystyle L ^ {p} = L ^ {p} (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ Displaystyle L_ {d} ^ {p} = L_ {d} ^ {p} (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$

Скалярный регистр [ править ]

Приемочный набор - это набор, удовлетворяющий:${\ displaystyle A}$

1. ${\ Displaystyle А \ supseteq L _ {+} ^ {p}}$
2. ${\ displaystyle A \ cap L _ {-} ^ {p} = \ emptyset}$ такой, что ${\ Displaystyle L _ {-} ^ {p} = \ {X \ in L ^ {p}: \ forall \ omega \ in \ Omega, X (\ omega) <0 \}}$
3. ${\ displaystyle A \ cap L _ {-} ^ {p} = \ {0 \}}$
4. Кроме того , если есть выпуклая , то это множество выпукло принятие${\ displaystyle A}$
   1. А если это положительно однородный конус, то это когерентное принимающее множество ^[1]${\ displaystyle A}$

Многозначный случай [ править ]

Приемочный набор (в пространстве с активами) - это набор, удовлетворяющий:${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle A \ substeq L_ {d} ^ {p}}$

1. ${\ displaystyle u \ in K_ {M} \ Rightarrow u1 \ in A}$с обозначением случайной величины, которая постоянно равна 1 -как${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathbb {P} }$
2. ${\displaystyle u\in -\mathrm {int} K_{M}\Rightarrow u1\not \in A}$
3. ${\displaystyle A}$будет направленно закрыт в с${\displaystyle M}$${\displaystyle A+u1\subseteq A\;\forall u\in K_{M}}$
4. ${\displaystyle A+L_{d}^{p}(K)\subseteq A}$

Кроме того, если он является выпуклым ( выпуклый конус ), то он называется выпуклым (когерентным) приемочным множеством . ^[2]${\displaystyle A}$

Обратите внимание, где - конус постоянной платежеспособности, а - набор портфелей эталонных активов.${\displaystyle K_{M}=K\cap M}$${\displaystyle K}$${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$

Связь с мерами риска [ править ]

Приемочное множество является выпуклым (когерентным) тогда и только тогда, когда соответствующая мера риска является выпуклой (когерентной). Как определено ниже, можно показать, что и . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle R_{A_{R}}(X)=R(X)}$${\displaystyle A_{R_{A}}=A}$

Набор мер риска для принятия [ править ]

• Если - (скалярная) мера риска, то это набор приемлемости.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A_{\rho }=\{X\in L^{p}:\rho (X)\leq 0\}}$
• Если - установленная мера риска, то это приемочный набор.${\displaystyle R}$${\displaystyle A_{R}=\{X\in L_{d}^{p}:0\in R(X)\}}$

Принятие установлено для измерения риска [ править ]

• Если - набор приемлемости (в 1-d), то определяет (скалярную) меру риска.${\displaystyle A}$${\displaystyle \rho _{A}(X)=\inf\{u\in \mathbb {R} :X+u1\in A\}}$
• Если - приемочный набор, то это установленная мера риска.${\displaystyle A}$${\displaystyle R_{A}(X)=\{u\in M:X+u1\in A\}}$

Примеры [ править ]

Цена суперхеджирования [ править ]

Набор акцептов, связанный с ценой суперхеджирования, является отрицательным из набора значений самофинансируемого портфеля в конечный момент времени. То есть

${\displaystyle A=\{-V_{T}:(V_{t})_{t=0}^{T}{\text{ is the price of a self-financing portfolio at each time}}\}}$.

Мера энтропийного риска [ править ]

Набор приемлемости, связанный с мерой энтропийного риска, представляет собой набор выплат с положительной ожидаемой полезностью . То есть

${\displaystyle A=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E[u(X)]\geq 0\}=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E\left[e^{-\theta X}\right]\leq 1\}}$

где - экспоненциальная функция полезности . ^[3]${\displaystyle u(X)}$

Ссылки [ править ]