Essential infimum и Essential supremum

В математике концепции существенного нижнего предела и существенного супремума связаны с понятиями нижнего нижнего предела и верхнего предела , но адаптированы для теории измерения и функционального анализа , где часто имеют дело с утверждениями, которые не действительны для всех элементов в множестве , а скорее почти везде , т. е. кроме множества нулевой меры .

Хотя точное определение не сразу является прямым, интуитивно существенная верхняя грань функции - это наименьшее значение, которое больше или равно значениям функции повсюду, если допустить игнорирование того, что функция делает в наборе точек с нулевой мерой. Например, если взять функцию, которая равна нулю везде, кроме где , то верхняя грань функции равна единице. Однако его существенный верхний предел равен нулю, потому что нам разрешено игнорировать то, что функция делает в единственной точке, где она особенная. Аналогично определяется существенная нижняя грань.${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle f (0) = 1}$${\ displaystyle f}$

Определение [ править ]

Как это часто бывает в меру теоретических вопросов, определение существенного супремуму и инфимума не начинается, спрашивая , что функция F делает в точках х (т.е. изображение из F ), а запрашивая множества точек х , где е равняется стоимости конкретных у (то есть, прообраз из г при е ).

Пусть F  :  X  →  R быть реальной стоимостью функции , определенной на множестве X . Вещественное число a называется верхней границей для f, если f ( x ) ≤  a для всех x в X , т. Е. Если множество

${\ displaystyle f ^ {- 1} (a, \ infty) = \ {x \ in X: f (x)> a \}}$

является пустым . Позволять

${\ displaystyle U_ {f} = \ {a \ in \ mathbb {R}: f ^ {- 1} (a, \ infty) = \ varnothing \} \,}$

- множество верхних границ функции f . Тогда супремум f определяется как

${\ Displaystyle \ sup f = \ inf U_ {f} \,}$

если набор верхних границ непуст, и в противном случае. ${\ displaystyle U_ {f}}$${\ Displaystyle \ sup f = + \ infty}$

Как вариант, если для некоторых у нас есть для всех то . ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle е (х) \ leq a}$ ${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle \ sup f \ leq a}$

Теперь предположим дополнительно, что это пространство с мерой, и для простоты предположим, что функция измерима. Ряд называется существенным верхняя граница из F , если измеримое множество является множеством меры нуль, ^[а] то есть, если для почти всех в . Позволять${\ Displaystyle (X, \ Sigma; \ mu)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (а, \ infty)}$${\ Displaystyle е (х) \ leq a}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle U_ {f} ^ {\ operatorname {ess}} = \ {a \ in \ mathbb {R}: \ mu (f ^ {- 1} (a, \ infty)) = 0 \} \,}$

- множество существенных верхних оценок. Тогда существенный супремум определяется аналогично как

${\ displaystyle \ operatorname {ess} \ sup f = \ inf U_ {f} ^ {\ mathrm {ess}} \,}$

если и в противном случае.${\displaystyle U_{f}^{\operatorname {ess} }\neq \varnothing }$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

С другой стороны , если для некоторых мы имеем для почти всех тогда . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)\leq a}$ ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f\leq a}$

Точно так же существенная нижняя грань определяется как верхняя грань существенных нижних граней , т. Е.

${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,}$

если множество существенных нижних оценок непусто, и в противном случае.${\displaystyle -\infty }$

Примеры [ править ]

На прямой рассмотрим меру Лебега и соответствующую ей σ-алгебру Σ. Определим функцию f по формуле

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{otherwise. }}\end{cases}}}$

Верхняя грань этой функции (наибольшее значение) - 5, а нижняя грань (наименьшее значение) - −4. Однако функция принимает эти значения только на наборах {1} и {−1} соответственно, которые имеют нулевую меру. В остальном функция принимает значение 2. Таким образом, существенная верхняя грань и существенная нижняя грань этой функции равны 2.

В качестве другого примера рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan x,&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$

где Q обозначает рациональные числа . Эта функция не ограничена как сверху, так и снизу, поэтому ее верхняя и нижняя грани равны ∞ и −∞ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега множество рациональных чисел имеет нулевую меру; таким образом, что действительно имеет значение, так это то, что происходит в дополнении этого набора, где функция задана как arctan  x . Отсюда следует, что существенная верхняя грань равна π / 2, а существенная нижняя грань - π / 2.

С другой стороны, рассмотрим функцию f ( x ) =  x ^3, определенную для всех действительных x . Его существенный верхний предел равен, а его существенный нижний предел равен .${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Наконец, рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x,&{\text{if }}x\neq 0\\0,&{\text{if }}x=0.\\\end{cases}}}$

Потом по любому , у нас и так и .${\displaystyle \textstyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \textstyle \mu (\{x\in \mathbb {R} :1/x>a\})\geq {\tfrac {1}{|a|}}}$${\displaystyle \textstyle U_{f}^{ess}=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=+\infty }$

Свойства [ править ]

• Если у нас есть . Если имеет нулевую меру и . ^[1]${\displaystyle \mu (X)>0}$${\displaystyle \inf f\leq \operatorname {ess} \inf f\leq \operatorname {ess} \sup f\leq \sup f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {ess} \sup f=-\infty }$${\displaystyle \operatorname {ess} \inf f=+\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {ess} \sup(fg)\leq (\operatorname {ess} \sup f)(\operatorname {ess} \sup g)}$ всякий раз, когда оба условия справа неотрицательны.

См. Также [ править ]

• L ^p пространства

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья включает материал из Essential supremum на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .