Проводник эллиптической кривой

В математике проводником эллиптической кривой над полем рациональных чисел или, в более общем смысле, локальным или глобальным полем является интегральный идеал, аналогичный проводнику Артина в представлении Галуа. Оно дается как произведение простых идеалов , вместе с соответствующими показателями, которые кодируют ветвление в расширений полей , генерируемых точек конечного порядка в группе права на эллиптической кривой . Простые числа, участвующие в проводнике, - это как раз простые числа плохого сокращения кривой: это и естьКритерий Нерона – Огга – Шафаревича .

Формула Огга выражает проводник через дискриминант и количество компонентов специального волокна над локальным полем, которые можно вычислить с помощью алгоритма Тейта .

История

Проводник эллиптической кривой над локальным полем был неявно изучен (но не назван) Оггом (1967) в виде целочисленного инварианта ε + δ, который позже оказался показателем проводника.

Проводник эллиптической кривой над рациональными числами был введен и назван Вейлем (1967) как константа, фигурирующая в функциональном уравнении его L-ряда, аналогично тому, как проводник глобального поля появляется в функциональном уравнении его дзета функция. Он показал, что это может быть записано как произведение на простые числа с показателями, заданными порядком (Δ) - μ + 1, который по формуле Огга равен ε + δ. Подобное определение работает для любого глобального поля. Вейль также предположил, что проводник был равен уровню модульной формы, соответствующей эллиптической кривой.

Серр и Тейт (1968) распространили теорию на проводники абелевых многообразий.

Определение

Пусть E эллиптическая кривая , определенная над локальным полем К и р простой идеал в кольце целых чисел из K . Мы рассматриваем минимальное уравнение для E : обобщенное уравнение Вейерштрасса , коэффициенты которого p -интегральны, а оценка дискриминанта ν _p (Δ) минимальна. Если дискриминант является p- единицей, то E имеет хорошую редукцию в p, а показатель степени проводника равен нулю.

Мы можем записать показатель f проводника в виде суммы ε + δ двух слагаемых, соответствующих ручному и дикому ветвлению. Часть ручного ветвления ε определяется в терминах типа редукции: ε = 0 для хорошей редукции, ε = 1 для мультипликативной редукции и ε = 2 для аддитивной редукции. Термин дикого ветвления δ равно нулю , если р делит 2 или 3, а в последнем случае оно определено в терминах дикого ветвления из расширений K со стороны разделительных точек из Е по формуле Серра

{\ displaystyle \ delta = \ dim _ {Z / lZ} {\ text {Hom}} _ {Z_ {l} [G]} (P, M).}

Здесь M - группа точек эллиптической кривой порядка l для простого l , P - представление Свана , а G - группа Галуа конечного расширения K такого, что точки M определены над ним (так что G действует на M )

Формула Огга

Показатель проводника связан с другими инвариантами эллиптической кривой формулой Огга:

{\ displaystyle f _ {\ mathbf {p}} = \ nu _ {\ mathbf {p}} (\ Delta) + 1-n \,}

где n - количество компонент (без учета кратностей) особого слоя минимальной модели Нерона для E. (Иногда это используется как определение проводника).

Первоначальное доказательство Огга использовало много проверок от случая к случаю, особенно в характеристиках 2 и 3. Сайто (1988) дал единообразное доказательство и обобщил формулу Огга на более общие арифметические поверхности.

Мы также можем описать ε в терминах оценки j-инварианта ν _p ( j ): это 0 в случае хорошей редукции; в противном случае он равен 1, если ν _p ( j ) <0, и 2, если ν _p ( j ) ≥ 0.

Глобальный дирижер

Пусть E эллиптическая кривая , определенная над числовым полем K . Глобальный проводник - это идеал, задаваемый произведением простых чисел K

{\ displaystyle f (E) = \ prod _ {\ mathbf {p}} \ mathbf {p} ^ {f _ {\ mathbf {p}}} \.}

Это конечное произведение, поскольку простые числа плохой редукции содержатся в множестве делителей простых чисел дискриминанта любой модели для E с глобальными целочисленными коэффициентами.

использованная литература

Кремона, Джон (1997). Алгоритмы для модульных эллиптических кривых (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-59820-6.
Хусемёллер, Дейл (2004). Эллиптические кривые . Тексты для выпускников по математике. 111 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
Нерона, Андре (1964), "Modeles minimaux Варьете abéliennes сюр ле корпуса locaux и др globaux" , Публикации Mathématiques де l'IHES (на французском языке), 21 : 5-128, DOI : 10.1007 / BF02684271 , ISSN 1618-1913 , М.Р. 0179172 , S2CID 120802890 , Zbl 0132.41403
Ogg, AP (1967), "Эллиптические кривые и дикое ветвление", Американский журнал математики , 89 (1): 1-21, DOI : 10,2307 / 2373092 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373092 , MR 0207694 , Zbl 0147,39803
Сайто, Такеши (1988), "Проводник, дискриминант и формула Нётер арифметических поверхностей", Duke Math. J. , 57 (1): 151-173, DOI : 10,1215 / S0012-7094-88-05706-7 , МР 0952229
Серр, Жан-Пьер ; Тэйт, Джон (1968), "Хорошая редукция абелевых многообразий", Анналы математики , второй серии 88 (3): 492-517, DOI : 10,2307 / 1970722 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970722 , MR 0236190 , Zbl 0172,46101
Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Тексты для выпускников по математике. 151 . Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
Сильверман, Джозеф Х .; Тейт, Джон (1992). Рациональные точки на эллиптических кривых . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
Джон Тейт (1974). «Арифметика эллиптических кривых» . Inventiones Mathematicae . 23 (3–4): 179–206. DOI : 10.1007 / BF01389745 . S2CID 120008651 . Zbl 0296.14018 .
Weil, André (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Math. Аня. , 168 : 149-156, DOI : 10.1007 / BF01361551 , МР 0207658 , S2CID 120553723

дальнейшее чтение

Этот раздел пуст. Вы можете помочь, добавив к нему . ( Август 2014 г. )

внешние ссылки

Данные эллиптических кривых - таблицы эллиптических кривых над Q, перечисленные проводником, вычисленные Джоном Кремоной.