Это глоссарий арифметики и диофантовой геометрии в математике , областей, выросших из традиционного изучения диофантовых уравнений, чтобы охватить большие части теории чисел и алгебраической геометрии . Большая часть теории представлена в форме предположений , которые могут быть связаны на различных уровнях общности.
Диофантова геометрия в целом - это изучение алгебраических многообразий V над полями K , которые конечно порождены над своими простыми полями, включая числовые поля и конечные поля, представляющие особый интерес, а также над локальными полями . Из них только комплексные числа являются алгебраически замкнуто ; над любой другой K существование точек V с координатами в K -то быть доказаны и изучаться как дополнительная тема, даже зная геометрию V .
Арифметика геометрия может быть в более общем случае определяется как изучение схем конечного типа над спектром в кольце целых чисел . [1] Арифметическая геометрия также определяется как применение методов алгебраической геометрии к проблемам теории чисел . [2]
А
B
- Плохое сокращение
- Увидеть хорошее сокращение .
- Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
- Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера об эллиптических кривых постулирует связь между рангом эллиптической кривой и порядком полюса ее L-функции Хассе – Вейля. Это было важной вехой в диофантовой геометрии с середины 1960-х годов, с результатами , такими как теорема Коутс-Уайлс , теоремы Гросса-Цагира и теоремы Колывагин в . [9]
C
D
E
F
грамм
ЧАС
я
K
L
M
N
О
Q
р
S
Т
U
V
W
Смотрите также
- Арифметическая топология
- Арифметическая динамика
Рекомендации
- ^ Арифметическая геометрия в nLab
- ↑ Сазерленд, Эндрю В. (5 сентября 2013 г.). «Введение в арифметическую геометрию» (PDF) . Проверено 22 марта 2019 .
- ^ а б Скуф, Рене (2008). «Вычисление групп классов Аракелова». В Buhler, JP; П., Стивенхаген (ред.). Алгоритмическая теория чисел: решетки, числовые поля, кривые и криптография . Публикации ИИГС. 44 . Издательство Кембриджского университета . С. 447–495. ISBN 978-0-521-20833-8. Руководство по ремонту 2467554 . Zbl 1188.11076 .
- ^ a b Нойкирх (1999) стр.189
- ^ Lang (1988) pp.74-75
- ^ van der Geer, G .; Шуф, Р. (2000). «Эффективность делителей Аракелова и тэта-делителя числового поля». Selecta Mathematica . Новая серия. 6 (4): 377–398. arXiv : math / 9802121 . DOI : 10.1007 / PL00001393 . S2CID 12089289 . Zbl 1030.11063 .
- ^ Бомбьери & Габлер (2006) pp.66-67
- ^ Lang (1988) pp.156-157
- ^ Lang (1997) pp.91-96
- ^ Коутс, Дж .; Уайлс, А. (1977). «О гипотезе Берча и Суиннертон-Дайера». Inventiones Mathematicae . 39 (3): 223–251. Bibcode : 1977InMat..39..223C . DOI : 10.1007 / BF01402975 . S2CID 189832636 . Zbl 0359.14009 .
- ^ Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008). Когомологии числовых полей . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2-е изд.). Springer-Verlag . п. 361. ISBN. 978-3-540-37888-4.
- ^ Lang (1997) стр.146
- ^ a b c Лэнг (1997) с.171
- ^ Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae . 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . DOI : 10.1007 / BF01388432 . S2CID 121049418 .
- ^ Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-96311-1. → Содержит английский перевод Faltings (1983)
- ^ Серр, Жан-Пьер ; Тейт, Джон (ноябрь 1968 г.). «Хорошая редукция абелевых разновидностей». Анналы математики . Второй. 88 (3): 492–517. DOI : 10.2307 / 1970722 . JSTOR 1970722 . Zbl 0172.46101 .
- ↑ Лэнг ( 1997 )
- ^ Игуса, Джун-Ичи (1974). «Комплексные степени и асимптотические разложения. I. Функции некоторых типов». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1974 (268–269): 110–130. DOI : 10.1515 / crll.1974.268-269.110 . S2CID 117772856 . Zbl 0287.43007 .
- ^ a b Хиндри и Сильверман (2000) с.479
- ^ Бомбьери & Габлер (2006) pp.82-93
- ^ Рейно, Мишель (1983). "Sous-varétés d'une varété abélienne et points de torsion". В Артине, Майкл ; Тейт, Джон (ред.). Арифметика и геометрия. Материалы, посвященные И. Р. Шафаревичу к шестидесятилетию со дня рождения. Vol. I: Арифметика . Успехи в математике (на французском языке). 35 . Биркхаузер-Бостон. С. 327–352. Zbl 0581.14031 .
- ^ Ресслер, Дамиан (2005). «Заметка о гипотезе Манина – Мамфорда». У ван дер Гира, Жерар; Мунен, Бен; Schoof, Рене (ред.). Числовые поля и функциональные поля - два параллельных мира . Успехи в математике. 239 . Birkhäuser. С. 311–318. ISBN 0-8176-4397-4. Zbl 1098.14030 .
- ^ Марсия, Анналиса; Тоффалори, Карло (2003). Руководство по классической и современной модельной теории . Тенденции в логике. 19 . Springer-Verlag . С. 305–306. ISBN 1402013302.
- ^ 2-страничное изложение гипотезы Морделла – Лэнга, Б. Мазур, 3 ноября 2005 г.
- ^ Lang (1997) стр.15
- ^ Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. 9 . Издательство Кембриджского университета . п. 3. ISBN 978-0-521-88268-2. Zbl 1145.11004 .
- ^ Бомбьери & Габлер (2006) pp.301-314
- ^ Lang (1988) pp.66-69
- ↑ Lang (1997), стр.212
- ^ а б Лэнг (1988) с.77
- ^ Hindry & Silverman (2000) p.488
- ^ Батырев, В.В.; Манин, Ю.И. (1990). «О числе рациональных точек ограниченной высоты на алгебраических многообразиях». Математика. Энн . 286 : 27–43. DOI : 10.1007 / bf01453564 . S2CID 119945673 . Zbl 0679.14008 .
- ^ Lang (1997) pp.161-162
- ^ Neukirch (1999) с.185
- ^ Это упомянуто в Дж. Тейте, Алгебраические циклы и полюсы дзета-функций в томе (OFG Schilling, редактор), Арифметическая алгебраическая геометрия , страницы 93–110 (1965).
- ^ Lang (1997) pp.17-23
- ^ Hindry & Silverman (2000) p.480
- ^ Lang (1997) с.179
- ^ Бомбьери & Габлер (2006) pp.176-230
- ^ Цен, К. (1936). "Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper". J. Chinese Math. Soc . 171 : 81–92. Zbl 0015.38803 .
- ^ Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы . Springer. С. 109–126. ISBN 978-0-387-72487-4.
- ^ Капорасо, Лючия ; Харрис, Джо ; Мазур, Барри (1997). «Единообразие рациональных точек» . Журнал Американского математического общества . 10 (1): 1–35. DOI : 10.1090 / S0894-0347-97-00195-1 . JSTOR 2152901 . Zbl 0872.14017 .
- ^ Заньер, Умберто (2012). Некоторые проблемы маловероятных пересечений в арифметике и геометрии . Анналы математических исследований. 181 . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-15371-1.
- ^ Пьер Делинь , Poids dans la cohomologie des algébriques разновидностей , Actes ICM, Ванкувер, 1974, 79–85.
- ^ Lang (1988) pp.1-9
- ^ Lang (1997) pp.164,212
- ^ Hindry & Silverman (2000) 184-185
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.2277 / 0521846153 . ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034 .
- Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Тексты для выпускников по математике . 201 . ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023 .
- Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. Руководство по ремонту 0969124 . Zbl 0667.14001 .
- Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051 .
- Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. Zbl 0956.11021 .
дальнейшее чтение
- Дино Лоренцини (1996), приглашение к арифметической геометрии , книжный магазин AMS, ISBN 978-0-8218-0267-0