В теории динамических систем , Конли теория индекса , названный в честь Чарльза Конли , анализ топологической структуры инвариантных множеств диффеоморфизмов и гладких потоков . Это далеко идущее обобщение теоремы об индексе Хопфа, которая предсказывает существование неподвижных точек потока внутри плоской области с точки зрения информации о его поведении на границе. Теория Конли связана с теорией Морса , которая описывает топологическую структуру замкнутого многообразия с помощью невырожденного градиентного векторного поля . Он имеет огромный спектр приложений для изучения динамики, включая существованиепериодические орбиты в гамильтоновых системах и решения бегущей волны для уравнений в частных производных , структура глобальных аттракторов для уравнений реакции-диффузии и дифференциальных уравнений с запаздыванием , доказательство хаотического поведения в динамических системах и теория бифуркаций . Теория индекса Конли легла в основу развития гомологии Флоера .
Краткое описание [ править ]
Роль ключа в теории играют понятия изолирующих окрестностей N и изолированное инвариантное множество S . Индекс Конли h ( S ) - это гомотопический тип некоторой пары ( N 1 , N 2 ) компактных подмножеств N , называемой индексной парой . Чарльз Конли показал, что индексные пары существуют и что индекс S не зависит от выбора изолированной окрестности Nи индексная пара. В частном случае отрицательного градиентного потока к гладкой функции индекс Конли невырожденной (морсовской) критической точки индекса k является точечным гомотопическим типом k -сферы S k .
Глубокая теорема Конли утверждает инвариантность продолжения : индекс Конли инвариантен относительно некоторых деформаций динамической системы. Следовательно, вычисление индекса можно свести к случаю диффеоморфизма или векторного поля, инвариантные множества которого хорошо изучены.
Если индекс нетривиален, то инвариантное множество S непусто. Этот принцип может быть усилен , чтобы установить существование фиксированных точек и периодических орбит внутри N .
Ссылки [ править ]
- Чарльз Конли, изолированные инвариантные множества и индекс Морса . Серия региональных конференций CBMS по математике, 38. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1978 ISBN 0-8218-1688-8
- Томас Барч (2001) [1994], "Индекс Конли" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Джон Фрэнкс, Михал Мисюревич, Топологические методы в динамике . Глава 7 в Справочнике по динамическим системам , том 1, часть 1, стр 547–598, Elsevier 2002 ISBN 978-0-444-82669-5
- Юрген Йост, Динамические системы. Примеры сложного поведения . Universitext. Springer-Verlag, Берлин, 2005 ISBN 978-3-540-22908-7
- Константин Мишайков, Мариан Мрозек, индекс Конли . Глава 9 в Справочнике по динамическим системам , том 2, стр. 393–460, Elsevier 2002 ISBN 978-0-444-50168-4
- М. Р. Разван, К фундаментальной теореме Конли о динамических системах , 2002.
Внешние ссылки [ править ]
- Разделение топологических особенностей (демонстрационный проект Wolfram)
