Подключение (составной пакет)

Составные пучки играют важную роль в калибровочной теории с нарушением симметрии , например, калибровочной теории гравитации , неавтономной механике, где ось времени, например, механике с параметрами, зависящими от времени, и так далее. Есть важные отношения между соединениями на пучках волокон , и .${\ Displaystyle Y \ to \ Sigma \ to X}$${\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle Y \ to X}$${\ displaystyle Y \ to \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma \ to X}$

Составной пакет [ править ]

В дифференциальной геометрии под составным пучком понимается композиция

${\ Displaystyle \ pi: Y \ к \ Sigma \ к X \ qquad \ qquad (1)}$

пучков волокон

${\displaystyle \pi _{Y\Sigma }:Y\to \Sigma ,\qquad \pi _{\Sigma X}:\Sigma \to X.}$

Он снабжен координатами пучка , где - координаты пучка на пучке волокон , т. Е. Переходные функции координат не зависят от координат .${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i})}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m})}$${\displaystyle \Sigma \to X}$${\displaystyle \sigma ^{m}}$${\displaystyle y^{i}}$

Следующее обстоятельство обеспечивает упомянутые выше физические приложения составных пучков. Для составного расслоения (1) пусть будет глобальным сечением расслоения , если таковое имеется. Тогда индуцированное расслоение над подрасслоением пучка волокон .${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma \to X}$ ${\displaystyle Y^{h}=h^{*}Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\to X}$

Составной основной пакет [ править ]

Например, пусть - главное расслоение со структурной группой Ли, которая сводится к ее замкнутой подгруппе . Существует составное расслоение, где - главное расслоение со структурной группой, а - связанное с ним расслоение . Учитывая глобальный раздел из , то индуцированное расслоение является пониженным основным подрасслоением со структурной группой . В калибровочной теории сечения рассматриваются как классические поля Хиггса .${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P\to P/H\to X}$${\displaystyle P\to P/H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P/H\to X}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle h}$${\displaystyle P/H\to X}$${\displaystyle h^{*}P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle H}$${\displaystyle P/H\to X}$

Струйные многообразия составного расслоения [ править ]

Учитывая композитный сверток (1), рассмотрят струйные многообразия , и пучков волокон , и , соответственно. Они снабжены адаптированными координатами , и${\displaystyle Y\to \Sigma \to X}$ ${\displaystyle J^{1}\Sigma }$${\displaystyle J_{\Sigma }^{1}Y}$${\displaystyle J^{1}Y}$${\displaystyle \Sigma \to X}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},\sigma _{\lambda }^{m})}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},{\widehat {y}}_{\lambda }^{i},y_{m}^{i}),}$${\displaystyle (x^{\lambda },\sigma ^{m},y^{i},\sigma _{\lambda }^{m},y_{\lambda }^{i}).}$

Есть каноническая карта

${\displaystyle J^{1}\Sigma \times _{\Sigma }J_{\Sigma }^{1}Y\to _{Y}J^{1}Y,\qquad y_{\lambda }^{i}=y_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m}+{\widehat {y}}_{\lambda }^{i}}$.

Составное соединение [ править ]

Эта каноническая карта определяет отношения между связями на пучках волокон , и . Эти связи задаются соответствующими касательными формами связности${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle \Sigma \to X}$

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+\gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+A_{\lambda }^{i}\partial _{i})+d\sigma ^{m}\otimes (\partial _{m}+A_{m}^{i}\partial _{i}),}$

${\displaystyle \Gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}).}$

Соединение на пучке волокон и соединение на пучке волокон определяют соединение.${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Sigma \to X}$

${\displaystyle \gamma =dx^{\lambda }\otimes (\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{m}\partial _{m}+(A_{\lambda }^{i}+A_{m}^{i}\Gamma _{\lambda }^{m})\partial _{i})}$

на составной пачке . Это называется составным соединением . Это уникальное соединение , такое , что горизонтальный лифт на векторное поле на с помощью композитного соединения совпадает с составом горизонтальных лифтов на с помощью соединения , а затем на с помощью соединения .${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle \gamma \tau }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A_{\Sigma }(\Gamma \tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A_{\Sigma }}$

Вертикальный ковариантный дифференциал [ править ]

Для составного расслоения (1) существует следующая точная последовательность векторных расслоений над :${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to V_{\Sigma }Y\to VY\to Y\times _{\Sigma }V\Sigma \to 0,\qquad \qquad (2)}$

где и являются вертикальное касательное расслоение и вертикальное кокасательное расслоение из . Каждое соединение на пучке волокон приводит к расщеплению${\displaystyle V_{\Sigma }Y}$${\displaystyle V_{\Sigma }^{*}Y}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle Y\to \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }:TY\supset VY\ni {\dot {y}}^{i}\partial _{i}+{\dot {\sigma }}^{m}\partial _{m}\to ({\dot {y}}^{i}-A_{m}^{i}{\dot {\sigma }}^{m})\partial _{i}}$

точной последовательности (2). Используя это расщепление, можно построить дифференциальный оператор первого порядка

${\displaystyle {\widetilde {D}}:J^{1}Y\to T^{*}X\otimes _{Y}V_{\Sigma }Y,\qquad {\widetilde {D}}=dx^{\lambda }\otimes (y_{\lambda }^{i}-A_{\lambda }^{i}-A_{m}^{i}\sigma _{\lambda }^{m})\partial _{i},}$

на составной пачке . Он называется вертикальным ковариантным дифференциалом . Он обладает следующим важным свойством.${\displaystyle Y\to X}$

Позвольте быть частью пучка волокон , и пусть будет пучок обратного отсчета . Каждое соединение вызывает обратное соединение${\displaystyle h}$${\displaystyle \Sigma \to X}$${\displaystyle h^{*}Y\subset Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A_{\Sigma }}$

${\displaystyle A_{h}=dx^{\lambda }\otimes [\partial _{\lambda }+((A_{m}^{i}\circ h)\partial _{\lambda }h^{m}+(A\circ h)_{\lambda }^{i})\partial _{i}]}$

на . Тогда ограничение вертикального ковариантного дифференциала к совпадаешь с известным ковариантным дифференциалом по отношению к соединению вытягивания .${\displaystyle h^{*}Y}$${\displaystyle {\widetilde {D}}}$${\displaystyle J^{1}h^{*}Y\subset J^{1}Y}$ ${\displaystyle D^{A_{h}}}$${\displaystyle h^{*}Y}$${\displaystyle A_{h}}$

Ссылки [ править ]

• Сондерс Д. Геометрия струйных пучков. Издательство Кембриджского университета, 1989. ISBN  0-521-36948-7 .
• Mangiarotti, Л., Сарданашвили, Г. , Соединение в классической и квантовой теории поля. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-2013-8 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Сарданашвили Г. , Advanced Дифференциальная геометрия теоретикам. Пучки волокон, многообразия струй и лагранжева теория , Lambert Academic Publishing, 2013. ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886 

См. Также [ править ]

• Связь (математика)
• Связь (расслоенное многообразие)