В математике представления основных серий некоторых видов топологической группы G встречаются в случае, когда G не является компактной группой . Там, по аналогии со спектральной теорией , можно ожидать, что регулярное представление группы G распадется согласно некоторому виду непрерывного спектра представлений, содержащих непрерывный параметр, а также дискретного спектра . Представления основной серии - это некоторые индуцированные представления построены равномерно, чтобы заполнить непрерывную часть спектра.
Более подробно, унитарное двойственное пространство - это пространство всех представлений, относящихся к разложению регулярного представления. Дискретный ряд состоит из «атомов» унитарных двойных (точек , несущих меру Планшереля > 0). В самых ранних изученных примерах остальная (или большая часть) унитарного двойственного элемента могла быть параметризована, начав с подгруппы H группы G , более простой, но не компактной, и построив индуцированные представления с использованием представлений H, которые были доступны в смысле легко записывать и включать параметр. (Такой процесс индукции может производить представления, которые не являются унитарными.)
Для случая полупростой группы Ли G подгруппа H строится исходя из разложения Ивасавы
- G = KAN
где K - максимальная компактная подгруппа . Затем выбирается H , содержащая AN (некомпактная разрешимая группа Ли ), которая берется в качестве
- ЧЕЛОВЕК
с М централизатор в K из A . Представления ρ из H рассматривается , что неприводимы, и унитарные, и являются тривиальным представлением на подгруппе N . (Если предположить, что M - тривиальная группа, такие ρ являются аналогами представлений группы диагональных матриц внутри специальной линейной группы .) Индуцированные представления таких ρ составляют главную серию. Сферическая основная серия состоит из представлений , индуцированных из 1-мерных представлений MAN , полученного путем расширения символов А , используя гомоморфизм MAN на A .
Могут существовать и другие непрерывные серии представлений, относящиеся к унитарному дуальному: как следует из их названия, основная серия является «основным» вкладом.
Было обнаружено, что этот тип конструкции имеет приложение к группам G , которые не являются группами Ли (например, конечные группы лиева типа , группы над p-адическими полями ).
Примеры
Примеры см. В теории представлений SL 2 (R) . Для полной линейной группы GL 2 над локальным полем размерность модуля Жаке представления основной серии равна двум. [1]
Рекомендации
- ↑ Bump, Daniel (1997), Автоморфные формы и представления , Кембриджские исследования в области высшей математики, 55 , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511609572 , ISBN 978-0-521-55098-7, Руководство по ремонту 1431508
Внешние ссылки
- А.И. Штерн (2001) [1994], «Непрерывный ряд представлений» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вычисление унитарного дуального (PDF)