В логике и математике , то обратное категорического или импликационного заявление является результатом реверсивных двумя своих заявлений составляющих. Для импликации Р → Q , обратное Q → P . Для категорического утверждения Все S есть P , обратное Все P является S . В любом случае, истинность обратного утверждения обычно не зависит от истинности исходного утверждения. [1] [2]
Импликационное обращение [ править ]
Пусть S - утверждение вида P влечет Q ( P → Q ). Тогда обратное к S утверждение, что Q влечет P ( Q → P ). В общем, истинность S ничего не говорит об истинности обратного [1] [3], если антецедент P и консеквент Q не являются логически эквивалентными.
Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное этому утверждению: «Если я смертный, то я человек», что не обязательно верно .
С другой стороны, обратное утверждение с взаимоисключающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного предложения. Это равносильно утверждению, что верно обратное определение. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я - трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», потому что определение «треугольник» - это: трехсторонний многоугольник ».
Таблица истинности дает понять, что S и обратное S не являются логически эквивалентными, если оба термина не подразумевают друг друга:
(обратное) | |||
Т | Т | Т | Т |
Т | F | F | Т |
F | Т | Т | F |
F | F | Т | Т |
Переход от утверждения к обратному - ошибка утверждения консеквента . Однако, если утверждение S и его обратное эквивалентны (т. Е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение консеквента будет действительным.
Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции и
На естественном языке это можно было бы передать как «не Q без P ».
Обращение к теореме [ править ]
В математике, обратное теореме вида P → Q будет Q → P . Обратное может быть или не быть правдой, и даже если это правда, доказательство может быть трудным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, а обратная ей была доказана только в 1997 году [4].
На практике, при определении обратной математической теоремы, аспекты антецедента могут рассматриваться как устанавливающие контекст. То есть, обратное «Дано Р, если Q, то R » будет «Дано Р, если R, то Q » . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длины , и , если угол, противоположный стороне длины, является прямым углом, то .
Обратное, которое также встречается в « Элементах » Евклида (книга I, предложение 48), можно сформулировать так:
Дан треугольник со сторонами длины , и , если , то угол, противоположный стороне длины, является прямым.
Обратное отношение [ править ]
Если является бинарным отношением с, то обратное отношение также называется транспонированием . [5]
Обозначение [ править ]
Обратное импликации P → Q может быть записано Q → P , но также может быть обозначено или «B pq » (в обозначениях Бохенского ). [ необходима цитата ]
Категорическое обращение [ править ]
В традиционной логике процесс перехода от «Все S есть P» к обратному «Все P суть S» называется преобразованием . По словам Асы Махана :
«Первоначальное утверждение называется exposita; при преобразовании оно именуется обратным. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в обратном не утверждается ничего, что не подтверждается или подразумевается в exposita». [6]
«Exposita» чаще называют «обращенным». В своей простой форме преобразование действительно только для предложений E и I : [7]
Тип | Преобразовать | Простой разговор | Converse per accidens (действительно, если P существует) |
---|---|---|---|
А | Все S - это P | недействительно | Некоторые P есть S |
E | Нет S есть P | Нет P - S | Некоторые P не S |
я | Некоторое S есть P | Некоторые P есть S | - |
О | Некоторые S не P | недействительно | - |
Справедливость простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением: «Ни один термин не должен распространяться в обратном, который не распространяется в преобразованном». [8] Для предложений E и подлежащее, и предикат распределены , в то время как для предложений I нет ни того, ни другого.
Для предложений A субъект распределен, а предикат - нет, поэтому вывод из утверждения A к его обратному недействителен. Например, для утверждения А «Все кошки - млекопитающие» обратное «Все млекопитающие - кошки» явно неверно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие - кошки» верно. Логики определяют преобразование per accidens как процесс создания этого более слабого утверждения. Вывод от утверждения к его обратному per accidens, как правило, верен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от универсального к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: «Все единороги - млекопитающие» часто принимают за истину,в то время как обратноеper accidens «Некоторые млекопитающие - единороги» явно неверно.
В первом порядке исчисления предикатов , все S есть Р может быть представлена в виде . [9] Таким образом , ясно , что категорические обратный тесно связан с импликационным обратным, и что S и Р не может быть выгружен в Всех S есть Р .
См. Также [ править ]
- Аристотель
- Категорическое предложение # Конверсия
- Противопоставление
- Конверс (семантика)
- Вывод
- Обратный (логика)
- Логическая связка
- Обверсия
- Силлогизм
- Термин логика
- Транспонирование (логика)
Ссылки [ править ]
- ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - Converse" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 27 ноября 2019 .
- ^ Роберт Ауди, изд. (1999), Кембриджский философский словарь , 2-е изд., Cambridge University Press: «обратное».
- ^ Тейлор, Кортни. "Что такое обратное, противоположное и обратное?" . ThoughtCo . Проверено 27 ноября 2019 .
- ^ Shonkwiler, Глина (6 октября 2006). «Теорема о четырех вершинах и обратная ей» (PDF) . math.colostate.edu . Проверено 26 ноября 2019 .
- ^ Гюнтер Шмидт и Томас Ströhlein (1993) Отношения и Графы , стр 9, Springer книги
- ↑ Аса Махан (1857) Наука логики: или Анализ законов мышления , стр. 82 .
- ^ Уильям Томас Парри и Эдвард А. Хакер (1991), Аристотелевская логика , SUNY Press, стр. 207 .
- ^ Джеймс Х. Хислоп (1892), Элементы логики , сыновья К. Скрибнера, стр. 156.
- ^ Гордон Ханнингс (1988), Мир и язык в философии Витгенштейна , SUNY Press, стр. 42 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Аристотель . Органон .
- Копи, Ирвинг . Введение в логику . Макмиллан, 1953 год.
- Копи, Ирвинг. Символическая логика . MacMillan, 1979, пятое издание.
- Стеббинг, Сьюзен . Современное введение в логику . Компания Cromwell, 1931 год.