Теории переноса фотонов, такие как метод Монте-Карло , обычно используются для моделирования распространения света в ткани . Отклики на карандашный луч, падающий на рассеивающую среду, называются функциями Грина или импульсными характеристиками . Методы переноса фотонов можно напрямую использовать для расчета откликов широкого луча путем распределения фотонов по поперечному сечению луча. Однако в некоторых случаях свертка может использоваться для повышения эффективности вычислений.
Общие формулы свертки
Чтобы использовать свертку для расчета отклика широкого луча, система должна быть инвариантной во времени , линейной и инвариантной относительно сдвига . Инвариантность во времени означает, что пучок фотонов, задержанный на заданное время, дает отклик, смещенный на ту же задержку. Линейность указывает, что данный ответ будет увеличиваться на ту же величину, если вход масштабируется и подчиняется свойству наложения . Трансляционная инвариантность означает, что если луч перемещается в новое место на поверхности ткани, его ответ также смещается в том же направлении на такое же расстояние. Здесь рассматривается только пространственная свертка.
Отклики от методов переноса фотонов могут быть физическими величинами, такими как поглощение , флюенс , отражение или пропускание . Учитывая конкретную физическую величину, G (x, y, z) , от карандашного луча в декартовом пространстве и коллимированного источника света с профилем луча S (x, y) , отклик широкого луча можно рассчитать, используя следующие 2- Формула свертки D:
Подобно 1-мерной свертке, 2-мерная свертка коммутативна между G и S с заменой переменных а также :
Потому что широкополосный ответ имеет цилиндрическую симметрию, его интегралы свертки можно переписать как:
где . Поскольку внутреннее интегрирование уравнения 4 не зависит от z , его нужно вычислить только один раз для всех глубин. Таким образом, эта форма широколучевого отклика более выгодна с вычислительной точки зрения.
Общие профили балок
Гауссов пучок
Для гауссова пучка профиль интенсивности определяется выражением
Здесь R обозначаетрадиус луча, а S 0 обозначает интенсивность в центре луча. S 0 связана с полной мощностью P 0 соотношением
Подставляя уравнение. 5 в уравнение. 4, получаем
где I 0 - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка .
Балка цилиндрическая
Для цилиндрической балки радиуса R функция источника принимает вид
где S 0 обозначает интенсивность внутри пучка. S 0 связана с полной мощностью пучка P 0 соотношением
Подставляя уравнение. 8 в уравнение. 4, получаем
где
Ошибки в числовой оценке
Первые взаимодействия
Первые фотонно-тканевые взаимодействия всегда происходят по оси z и, следовательно, вносят вклад в конкретное поглощение или связанные физические величины как дельта-функцию Дирака . Ошибки возникнут, если поглощение из-за первых взаимодействий не записывается отдельно от поглощения из-за последующих взаимодействий. Суммарный импульсный отклик можно выразить двумя частями:
где первый член является результатом первых взаимодействий, а второй - последующих взаимодействий. Для гауссова пучка имеем
Для балки цилиндрической формы имеем
Ошибка усечения
Для верхнего шлема пучка, то верхние пределы интегрирования может быть ограничены г максами , такие , что р ≤ г макс - R . Таким образом, ограниченное покрытие сетки в направлении r не влияет на свертку. Для того, чтобы надежно свертка для физических величин при г в ответ на шляпообразных балку, мы должны убедиться , что г максы в методах фотонного транспорта является достаточно большим , что г ≤ г макс - R имеет место. Для гауссова пучка не существует простых верхних пределов интегрирования, поскольку теоретически он простирается до бесконечности. При r >> R гауссов луч и цилиндрический луч с одинаковыми R и S 0 имеют сопоставимые результаты свертки. Следовательно, r ≤ r max - R можно приблизительно использовать и для гауссовых пучков.
Реализация свертки
Для реализации дискретной свертки используются два общих метода: определение свертки и быстрое преобразование Фурье (БПФ и ОБПФ) в соответствии с теоремой свертки . Чтобы вычислить оптическую характеристику широкого луча, импульсная характеристика узкого луча свернута с функцией луча. Как показано уравнением 4, это двумерная свертка. Чтобы вычислить реакцию светового луча на плоскости, перпендикулярной оси z, функция луча (представленная матрицей b × b ) свернута с импульсной характеристикой на этой плоскости (представленной матрицей a × a ). Обычно a больше b . Эффективность расчета этих двух методов в значительной степени зависит от размера светового луча b .
При прямой свертке матрица решения имеет размер ( a + b - 1) × ( a + b - 1). Расчет каждого из этих элементов (кроме тех , вблизи границ) включает в себя б × б умножений и б × б - 1 дополнения, так что временная сложность является O [( + б ) 2 б 2 ]. При использовании метода БПФ основными шагами являются БПФ и ОБПФ матриц ( a + b - 1) × ( a + b - 1), поэтому временная сложность составляет O [( a + b ) 2 log ( a + b ) ]. Сравнивая O [( a + b ) 2 b 2 ] и O [( a + b ) 2 log ( a + b )], очевидно, что прямая свертка будет быстрее, если b намного меньше, чем a , но метод БПФ будет быстрее, если b относительно велико.
Вычислительные примеры
Судьбу фотонов можно смоделировать с помощью реализации метода Монте-Карло в Matlab ( n rel = 1, μ a = 0,1, μ s = 100, g = 0,9, 100 000 фотонов). Используя эту модель Matlab, регистрируется плотность потока энергии в области 3 × 3 × 3 см 3 и строится график распределения плотности энергии широкого луча. На рисунках 1 и 2 показаны отклики на стержневой луч и цилиндрический широкий пучок шириной 1 см соответственно. Прямая свертка была использована для расчета отклика широкого луча на рисунке 2. На рисунке 3 показан отклик широкого луча, рассчитанный с использованием метода БПФ. Когда диаметр светового луча составляет 0,2 см, прямая свертка стоит 1,93 секунды, а метод БПФ - 7,35 секунды. Когда диаметр светового луча составляет 2 см, прямая свертка стоит 90,1 секунды, а метод БПФ - 16,8 секунды. Конечно, абсолютное время вычислений зависит от скорости обработки используемого компьютера. Эти два сравнения были сделаны на одном компьютере. Хотя время вычислений различается, графики на рисунках 2 и 3 неразличимы.
Смотрите также
Ссылки на другие ресурсы Монте-Карло
Рекомендации
- Л.-Х. Ван и Х.-И. Ву. Биомедицинская оптика: принципы и изображения. Wiley 2007.
- Л.-Х. Ван, С.Л. Жак и Л.-К. Чжэн, "Моделирование переноса фотонов в многослойных тканях методом Монте-Карло", Компьютерные методы и программы в биомедицине 47, 131–146 (1995).
- Л.-Х. Ван, С.Л. Жак и Л.-К. Чжэн, "Свертка для ответов на пучок фотонов конечного диаметра, падающий на многослойные ткани", Компьютерные методы и программы в биомедицине 54, 141–150 (1997). Скачать статью .