В математике , в области функционального анализа , лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности названа в честь математиков Миша Котлара и Элиаса Стейна . Его можно использовать для получения информации о норме оператора для оператора, действующего из одного гильбертова пространства в другое, когда оператор может быть разложен на почти ортогональные части. Первоначальная версия этой леммы (для самосопряженных и взаимно коммутирующих операторов) была доказана Мишей Котларом в 1955 г. [1] и позволила ему заключить, что преобразование Гильберта являетсялинейный непрерывный оператор вбез использования преобразования Фурье . Более общая версия была доказана Элиасом Штайном. [2]
Позволять - два гильбертовых пространства . Рассмотрим семейство операторов, , с каждым линейный ограниченный оператор из к .
Обозначить
Семейство операторов , является почти ортогональными , если
Лемма Котлара – Стейна утверждает, что если почти ортогональны, то ряды сходится в сильной операторной топологии , и что
Если R 1 , ..., R n - конечный набор ограниченных операторов, то [3]
Итак, в условиях леммы
Следует, что
и это
Следовательно, частичные суммы
образуют последовательность Коши .
Таким образом, сумма абсолютно сходится с пределом, удовлетворяющим указанному неравенству.
Чтобы доказать неравенство выше, положим
с | а ij | ≤ 1 выбрано так, чтобы
потом
Следовательно
Принимая 2 м х корней и позволяя м , как правило, ∞,
откуда сразу следует неравенство.
Существует обобщение леммы Котлара – Стейна с заменой сумм на интегралы. [4] [5] Пусть Х локально компактное пространство и ц мера Бореля на X . Пусть T ( x ) - отображение из X в ограниченные операторы из E в F, равномерно ограниченное и непрерывное в сильной операторной топологии. Если
конечны, то функция T ( x ) v интегрируема для каждого v из E с
Результат может быть доказан заменой сумм интегралами в предыдущем доказательстве или использованием сумм Римана для приближения интегралов.
Вот пример ортогонального семейства операторов. Рассмотрим бесконечномерные матрицы
а также
потом для каждого , следовательно, ряд не сходится в равномерной операторной топологии .
Тем не менее, поскольку а также для , лемма Котлара – Стейна о почти ортогональности говорит нам, что
сходится в сильной операторной топологии и ограничена 1.