Операторские топологии

В математической области функционального анализа существует несколько стандартных топологий , которые даны алгебры $B (X)$ из ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве $X$ .

Введение [ править ]

Пусть последовательность линейных операторов в банаховом пространстве $X$ . Рассмотрим утверждение , что сходится к некоторому оператору $Т$ на $X$ . Это могло иметь несколько разных значений: ${\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Если , то есть, норма оператора из (супремумом , где $х$ пробегает единичный шар в $X$ ) сходится к 0, то мы говорим , что в равномерной операторной топологии . ${\ displaystyle \ | T_ {n} -T \ | \ к 0}$ ${\ displaystyle T_ {n} -T}$ ${\ displaystyle \ | T_ {n} x-Tx \ | _ {X}}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$
Если для всех , то мы говорим в сильной операторной топологии . ${\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$
Наконец, предположим , что для всех $х \in X$ мы имеем в слабой топологии в $X$ . Это означает , что для всех линейных функционалов $F$ на $X$ . В этом случае мы говорим, что в слабой операторной топологии . ${\ displaystyle T_ {n} x \ to Tx}$ ${\ Displaystyle F (T_ {п} х) \ к F (Tx)}$ ${\ displaystyle T_ {n} \ to T}$

Список топологий на B ( H ) [ править ]

Схема соотношения топологий на пространстве

B (X)

ограниченных операторов

Есть много топологий, которые могут быть определены на $B (X)$ помимо использованных выше; большинство из них сначала определяются только тогда, когда $X = H$ является гильбертовым пространством, хотя во многих случаях есть соответствующие обобщения. Все перечисленные ниже топологии являются локально выпуклыми, что означает, что они определяются семейством полунорм .

В анализе топология называется сильной, если у нее много открытых множеств, и слабой, если у нее мало открытых множеств, так что соответствующие режимы сходимости соответственно сильные и слабые. (В собственно топологии эти термины могут иметь противоположное значение, поэтому сильные и слабые заменяются соответственно точными и грубыми.) Диаграмма справа представляет собой сводку отношений со стрелками, указывающими от сильного к слабому.

Если $H$ - гильбертово пространство, то гильбертово пространство $B (X)$ имеет (единственное) преддуальное , состоящее из операторов класса следа, двойственным к которому является $B ($ $X$ $)$ . Полунорма $p$ $w$ $($ $x$ $)$ для w, положительного в предуале, определяется как $B ($ $w$ $,$ $x$ $*$ $x$ $)$ $1/2$ . ${\ displaystyle B (H) _ {*}}$

Если $B$ - векторное пространство линейных отображений на векторном пространстве $A$ , то $σ (A, B)$ определяется как самая слабая топология на $A$ такая, что все элементы $B$ непрерывны.

Топологии нормы или равномерная топология или равномерная операторная топология определяются обычной нормой || х || на $B (H)$ . Это сильнее, чем все другие топологии, представленные ниже.
Слабо (банахово пространство) топологии является $σ (В (Н), В (Н) *)$ , другими словами самой слабой топологии таким образом, что все элементы двойного $B (H) *$ являются непрерывными. Это слабая топология на банаховом пространстве $B (H)$ . Он сильнее, чем сверхслабая и слабая операторная топологии. (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
Топологией Макки или Аренс-Макки топологии является самым сильным локально выпуклая топология на $B (H)$ такое , что сопряженное $В (Н) *$ , а также топологии равномерной сходимости на $Bσ (В (Н) *$ , $В (Н)$ -компактные выпуклые подмножества в $B (H) *$ . Оно сильнее всех перечисленных ниже топологий.
Σ-сильный ^* топология или сверхпрочный ^* топология является самой слабой топологией сильнее , чем сверхпрочная топология, что отображение сопряженного непрерывно. Он определяется семейством полунорм $p w (x)$ и $p w (x *)$ для положительных элементов $w$ из $B (H) *$ . Это сильнее, чем все топологии ниже.
Σ-сильная топология или сверхпрочные топологии или сильнейшая топология или сильнейшая топология оператора определяется семейством полунорма $р ш (х)$ для положительных элементов $ш$ из $B (H) *$ . Она сильнее, чем все приведенные ниже топологии, кроме сильной ^* топологии. Предупреждение: несмотря на название «сильнейшая топология», она слабее, чем топология нормы.)
Σ-слабая топология или сверхслабая топология или слабая ^* топология оператора или слабая * топология или слабая топология или $σ (В (Н), В (Н) *$ ) топология определяется семейством полунорма | ( ш , х ) | для элементов w из $B (H) *$ . Это сильнее слабой операторной топологии. (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)
Сильная ^* операторная топология или сильная ^* топология определяются полунормами || х ( ч ) || и || х ^* ( h ) || для $ч \in H$ . Это сильнее, чем сильная и слабая операторные топологии.
Топология сильного оператора (СОТ) или сильная топология определяется полунормами || х ( ч ) || для $ч \in H$ . Это сильнее слабой операторной топологии.
Слабая операторная топология (WOT) или слабая топология определяются полунормами | ( х ( ч ₁ ), ч ₂ ) | для $ч 1, ч 2 \in H$ . (Предупреждение: слабую топологию банахова пространства, слабую операторную топологию и сверхслабую топологию иногда называют слабой топологией, но они разные.)

Отношения между топологиями [ править ]

Непрерывные линейные функционалы на $B (H)$ для слабой, сильной и сильной ^* (операторной) топологий одинаковы и представляют собой конечные линейные комбинации линейных функционалов (x h ₁ , h ₂ ) для $h 1, h 2 \in H$ . Непрерывные линейные функционалы на $B (H)$ для сверхслабой, сверхсильной, сверхсильной ^* топологии и Аренса-Макки совпадают и являются элементами предвойственной $B (H) *$ .

По определению, непрерывные линейные функционалы в топологии нормы такие же, как и в топологии слабого банахова пространства. Этот дуал - довольно большое пространство с множеством патологических элементов.

На ограниченных по норме множествах $B (H)$ слабая (операторная) и сверхслабая топологии совпадают. В этом можно убедиться, например, с помощью теоремы Банаха – Алаоглу . По существу по той же причине сверхсильная топология такая же, как сильная топология на любом (по норме) ограниченном подмножестве $B (H)$ . То же верно и для топологии Аренса-Макки, сверхсильной ^* и сильной ^* топологии.

В локально выпуклых пространствах замыкание выпуклых множеств можно охарактеризовать непрерывными линейными функционалами. Таким образом, для выпуклого подмножества $К$ из $B (H)$ , условие , которые $K$ быть закрыты в сверхпрочном ^* , сверхпрочном и сверхслабых топологии эквивалентны , и также эквивалентны условия , что для всех $г > 0$ , $К$ имеет закрытое пересечение с замкнутым шаром радиуса $r$ в сильной ^* , сильной или слабой (операторной) топологиях.

Топология нормы метризуема, а остальные - нет; фактически они не могут быть подсчитаны первым . Однако, когда $H$ отделима, все вышеперечисленные топологии метризуемы при ограничении на единичный шар (или на любое подмножество с ограниченной нормой).

Какую топологию мне следует использовать? [ редактировать ]

Наиболее часто используемые топологии - это топологии норм, сильных и слабых операторов. Слабая операторная топология полезна для аргументов компактности, потому что единичный шар компактен по теореме Банаха – Алаоглу . Топология нормы является фундаментальной, потому что она превращает $B (H)$ в банахово пространство, но она слишком сильна для многих целей; например, $B (H)$ не отделима в этой топологии. Чаще всего может использоваться сильная операторная топология.

Сверхслабая и сверхсильная топологии ведут себя лучше, чем топологии слабых и сильных операторов, но их определения более сложны, поэтому они обычно не используются, если действительно не требуются их лучшие свойства. Например, двойственное пространство к $B (H)$ в слабой или сильной операторной топологии слишком мало, чтобы иметь много аналитического содержания.

Сопряженное отображение не является непрерывным в сильных операторных и сверхсильных топологиях, в то время как сильные * и сверхсильные * топологии являются модификациями, так что сопряженное становится непрерывным. Они используются не очень часто.

Топология Аренса – Макки и топология слабого банахова пространства используются относительно редко.

Подводя итог, три основных топологии на $B (H)$ - это нормальная, сверхсильная и сверхслабая топологии. Слабые и сильные операторные топологии широко используются как удобные аппроксимации сверхслабых и сверхсильных топологий. Остальные топологии относительно неясны.

См. Также [ править ]

Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство
Ограниченный оператор - линейный оператор, который переводит ограниченные подмножества в ограниченные подмножества.
Непрерывный линейный оператор
Гильбертово пространство - математическое обобщение до бесконечности понятия евклидова пространства
Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
Нормированное векторное пространство - Векторное пространство, на котором определено расстояние.
Топологии на пространствах линейных отображений
Топология - раздел математики

Ссылки [ править ]

Функциональный анализ , Рид и Саймон, ISBN 0-12-585050-6
Теория операторных алгебр I , М. Такесаки (особенно глава II.2) ISBN 3-540-42248-X