Кулоновская волновая функция

В математике , Кулон волновая функция является решением уравнения Кулона волн , названным в честь Чарльза-Огюстен - де - Кулон . Они используются для описания поведения заряженных частиц в кулоновском потенциале и могут быть записаны в терминах конфлюэнтных гипергеометрических функций или функций Уиттекера мнимого аргумента.

Кулоновское волновое уравнение

Уравнение кулоновской волны для одной заряженной частицы массы - это уравнение Шредингера с кулоновским потенциалом ^[1]${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle \ left (- \ hbar ^ {2} {\ frac {\ nabla ^ {2}} {2m}} + {\ frac {Z \ hbar c \ alpha} {r}} \ right) \ psi _ {\ vec {k}} ({\ vec {r}}) = {\ frac {\ hbar ^ {2} k ^ {2}} {2m}} \ psi _ {\ vec {k}} ({\ vec {r}}) \ ,,}$

где есть произведение зарядов частицы и источник поля (в единицах элементарного заряда , для атома водорода), является постоянной тонкой структурой , а энергия частицы. Решение - волновая функция Кулона - можно найти, решив это уравнение в параболических координатах${\ Displaystyle Z = Z_ {1} Z_ {2}}$${\ displaystyle Z = -1}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ hbar ^ {2} к ^ {2} / (2 м)}$

${\ displaystyle \ xi = r + {\ vec {r}} \ cdot {\ hat {k}}, \ quad \ zeta = r - {\ vec {r}} \ cdot {\ hat {k}} \ qquad ( {\ hat {k}} = {\ vec {k}} / k) \ ,.}$

В зависимости от выбранных граничных условий решение имеет разный вид. Два решения: ^{[2] [3]}

${\ Displaystyle \ psi _ {\ vec {k}} ^ {(\ pm)} ({\ vec {r}}) = \ Gamma (1 \ pm i \ eta) e ^ {- \ pi \ eta / 2 } e ^ {i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec {r}}} M (\ mp i \ eta, 1, \ pm ikr-i {\ vec {k}} \ cdot {\ vec { р}})\,,}$

где - конфлюэнтная гипергеометрическая функция , а - гамма-функция . Здесь используются два граничных условия:${\ Displaystyle М (а, б, г) \ экв {} _ {1} \! F_ {1} (а; б; г)}$${\ Displaystyle \ eta = Zmc \ альфа / (\ HBAR k)}$${\ Displaystyle \ Gamma (г)}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}$

которые соответствуют -ориентированным асимптотическим состояниям плоской волны до или после ее приближения к источнику поля в начале координат соответственно. Функции связаны между собой формулой${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}=\psi _{-{\vec {k}}}^{(-)*}\,.}$

Частичное волновое расширение

Волновая функция может быть разложена на частичные волны (т.е. относительно углового базиса) для получения радиальных функций, не зависящих от угла . Вот .${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}$${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle \rho =kr}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.}$

Отдельный член разложения можно выделить скалярным произведением с определенной сферической гармоникой

${\displaystyle \psi _{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R_{k\ell }(r)Y_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}$

Уравнение для одиночной парциальной волны можно получить, переписав лапласиан в уравнении кулоновской волны в сферических координатах и ​​проецируя уравнение на конкретную сферическую гармонику${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}w_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w_{\ell }=0\,.}$

Решения также называют кулоновскими (парциальными) волновыми функциями или сферическими кулоновскими функциями. Подстановка изменяет волновое уравнение Кулона в уравнение Уиттекера , поэтому волновые функции Кулона могут быть выражены через функции Уиттекера с мнимыми аргументами и . Последнее можно выразить через конфлюэнтные гипергеометрические функции и . Один определяет специальные решения ^[4]${\displaystyle z=-2i\rho }$${\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$${\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ ${\displaystyle M}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}$

куда

${\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \Gamma (l+1+i\eta )}$

называется кулоновским фазовым сдвигом. Также определяются реальные функции

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}$

В частности, есть

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}$

Асимптотическое поведение сферических кулоновских функций , и при больших IS${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\,,}$

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta _{\ell }(\rho )\,,}$

куда

${\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma _{\ell }\,.}$

Решения соответствуют входящим и исходящим сферическим волнам. Решения и являются действительными и называются регулярными и нерегулярными волновыми функциями Кулона. В частности, для волновой функции имеется следующее парциальное волновое разложение ^[5]${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}$

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}$

Свойства кулоновской функции

Радиальные части для данного момента количества движения ортонормированы. При нормировке по шкале волновых чисел ( k- шкале) радиальные волновые функции континуума удовлетворяют ^{[6] [7]}

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}$

Другие распространенные нормализации волновых функций континуума относятся к уменьшенной шкале волновых чисел ( -шкале),${\displaystyle k/2\pi }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}$

и по энергетической шкале

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}$

Радиальные волновые функции, определенные в предыдущем разделе, нормированы на

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}$

как следствие нормализации

${\displaystyle \int \psi _{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi _{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}$

Континуальные (или рассеивающие) кулоновские волновые функции также ортогональны всем кулоновским связанным состояниям ^[8]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)r^{2}dr=0}$

из-за того, что они являются собственными состояниями одного и того же эрмитова оператора ( гамильтониана ) с разными собственными значениями.

дальнейшее чтение

• Бейтман, Гарри (1953), Высшие трансцендентные функции (PDF) , 1 , McGraw-Hill.
• Jaeger, JC; Халм, Х.Р. (1935), «Внутреннее преобразование γ-лучей с образованием электронов и позитронов», Труды Лондонского королевского общества. Серия А, физико - математических наук , 148 (865): 708-728, Bibcode : 1935RSPSA.148..708J , DOI : 10.1098 / rspa.1935.0043 , ISSN  0080-4630 , JSTOR  96298
• Слейтер, Люси Джоан (1960), Конфлюэнтные гипергеометрические функции , Cambridge University Press , MR  0107026.

использованная литература