Критические показатели описывают поведение физических величин вблизи непрерывных фазовых переходов . Считается, хотя и не доказано, что они универсальны, т. Е. Зависят не от деталей физической системы, а только от некоторых ее общих характеристик. Например, для ферромагнитных систем критические показатели зависят только от:
- размер системы
- диапазон взаимодействия
- спин измерение
Эти свойства критических показателей подтверждаются экспериментальными данными. Аналитические результаты могут быть теоретически достигнуты в теории среднего поля в больших измерениях или когда известны точные решения, такие как двумерная модель Изинга . Теоретическая трактовка общих размерностей требует подхода ренормгруппы или конформного бутстрапа.техники. Фазовые переходы и критические показатели появляются во многих физических системах, таких как вода при переходе жидкость-пар, в магнитных системах, в сверхпроводимости, в перколяции и в турбулентных жидкостях. Критический размер, выше которого допустимы средние показатели поля, зависит от системы и может даже быть бесконечным. Он равен 4 для перехода жидкость-пар, 6 для перколяции и, вероятно, бесконечен для турбулентности. [1] Критические показатели среднего поля также действительны для случайных графов, таких как графы Эрдеша – Реньи, которые можно рассматривать как бесконечномерные системы. [2]
Определение [ править ]
Управляющим параметром, который управляет фазовыми переходами , часто является температура, но также могут быть другие макроскопические переменные, такие как давление или внешнее магнитное поле. Для простоты следующее обсуждение работает с точки зрения температуры; перевод в другой управляющий параметр прост. Температура, при которой происходит переход, называется критической температурой T c . Мы хотим описать поведение физической величины f в терминах степенного закона вокруг критической температуры; вводим пониженную температуру
равный нулю при фазовом переходе , и определим критический показатель :
Это приводит к искомому степенному закону:
Важно помнить, что это представляет собой асимптотическое поведение функции f ( τ ) при τ → 0 .
В более общем плане можно было ожидать
Наиболее важные критические показатели [ править ]
Предположим , что система имеет две различные фазы , характеризующиеся порядка параметра Ф , которое обращается в нуль на уровне и выше Т с .
Рассмотрим отдельно неупорядоченную фазу ( τ > 0 ), упорядоченную фазу ( τ <0 ) и фазы с критической температурой ( τ = 0 ). Согласно стандартному соглашению, критические показатели, относящиеся к упорядоченной фазе, штрихуются. Это также еще одно стандартное соглашение об использовании надстрочного / подстрочного индекса + (-) для неупорядоченного (упорядоченного) состояния. Обычно в упорядоченной фазе происходит спонтанное нарушение симметрии .
Ψ | параметр порядка (например, ρ - ρ c/ρ cдля критической точки жидкость – газ, намагниченности для точки Кюри и т. д.) |
τ | Т - Т с/Т с |
ж | удельная свободная энергия |
C | удельная теплоемкость ; - Т∂ 2 f/∂ Т 2 |
J | исходное поле (например, P - P c/P cгде Р является давление и Р с к критическому давлению на жидкость-газ критической точки, уменьшается химический потенциал , то магнитное поле Н для точки Кюри ) |
χ | восприимчивость , сжимаемость и т.д .;∂ ψ/∂ J |
ξ | длина корреляции |
d | количество пространственных измерений |
⟨ Г | ( х → ) г | ( г → )⟩ | корреляционная функция |
р | пространственное расстояние |
Следующие записи оцениваются при J = 0 (за исключением записи δ )
|
|
|
Критические показатели могут быть получены из удельной свободной энергии f ( J , T ) как функции источника и температуры. Длина корреляции может быть получена из функционала F [ J ; Т ] .
Эти соотношения точны вблизи критической точки в двух- и трехмерных системах. Однако в четырех измерениях степенные законы изменяются логарифмическими коэффициентами. Они не появляются в размерах, произвольно близких к четырем, но не точно, что можно использовать как способ решения этой проблемы . [3]
Критические показатели среднего поля систем типа Изинга [ править ]
Классическая теория Ландау (также известная как теория среднего поля ) значения критических показателей для скалярного поля ( прототипом которого является модель Изинга ) даются как
Если мы добавим производные члены, превратив ее в теорию среднего поля Гинзбурга – Ландау , мы получим
Одно из главных открытий в изучении критических явлений состоит в том, что теория среднего поля критических точек верна только тогда, когда пространственная размерность системы превышает определенное измерение, называемое верхним критическим измерением.что в большинстве случаев исключает физические размеры 1, 2 или 3. Проблема с теорией среднего поля состоит в том, что критические показатели не зависят от размерности пространства. Это приводит к количественному расхождению ниже критических размеров, где истинные критические показатели отличаются от значений среднего поля. Это может даже привести к качественному несоответствию при низкой размерности пространства, когда критическая точка фактически больше не может существовать, хотя теория среднего поля все еще предсказывает, что она есть. Так обстоит дело с моделью Изинга в размерности 1, где фазовый переход отсутствует. Пространственная размерность, в которой теория среднего поля становится качественно неверной, называется нижней критической размерностью.
Экспериментальные значения [ править ]
Наиболее точно измеренное значение α составляет -0,0127 (3) для фазового перехода сверхтекучего гелия (так называемого лямбда-перехода ). Значение было измерено на космическом шаттле, чтобы минимизировать перепады давления в образце. [4] Это значение существенно не согласуется с наиболее точными теоретическими определениями [5] [6] [7], полученными на основе методов высокотемпературного расширения, методов Монте-Карло и конформного бутстрапа . [8]
Объясните расхождение экспериментальных и теоретических определений критического показателя теплоемкости α для сверхтекучего перехода в гелии-4 . [8]
Теоретические предсказания [ править ]
Критические показатели можно оценить с помощью моделирования решеточных моделей методом Монте-Карло . Точность этого первопринципного метода зависит от доступных вычислительных ресурсов, которые определяют возможность перехода к пределу бесконечного объема и уменьшения статистических ошибок. Другие методы основаны на теоретическом понимании критических колебаний. Наиболее широко применяемый метод - это ренормализационная группа . Конформные самозагрузками являются более недавно разработанной методикой, которая достигается непревзойденная точностью для изинговских критических показателей .
Функции масштабирования [ править ]
В свете критических масштабов мы можем повторно выразить все термодинамические величины в терминах безразмерных величин. Достаточно близко к критической точке, все может быть повторно выражено в терминах определенных соотношений степеней приведенных величин. Это функции масштабирования.
Происхождение масштабных функций можно увидеть из ренормализационной группы. Критическая точка - инфракрасная фиксированная точка . В достаточно малой окрестности критической точки мы можем линеаризовать действие ренормгруппы. В основном это означает , что масштабирование системы с коэффициентом будет эквивалентно перемасштабированием операторов и исходные полей на коэффициент в А для некоторого А . Таким образом, мы можем перенастроить все величины с точки зрения масштабируемых величин, не зависящих от масштаба.
Масштабирование отношений [ править ]
Долгое время считалось, что критические показатели одинаковы выше и ниже критической температуры, например α ≡ α ′ или γ ≡ γ ′ . Теперь было показано, что это не обязательно так: когда непрерывная симметрия явно нарушается до дискретной симметрии несущественной (в смысле ренормгруппы) анизотропией, тогда показатели γ и γ ′ не идентичны. [9]
Критические показатели обозначаются греческими буквами. Они попадают в классы универсальности и подчиняются соотношениям масштабирования
Из этих уравнений следует, что существует только два независимых показателя, например ν и η . Все это следует из теории ренормгруппы . [ требуется разъяснение ]
Анизотропия [ править ]
Есть некоторые анизотропные системы, в которых длина корреляции зависит от направления. О перколяции см. Dayan et al. [10]
Направленную перколяцию можно также рассматривать как анизотропную перколяцию. В этом случае критические показатели разные, а верхняя критическая размерность равна 5. [11]
Многокритические точки [ править ]
Более сложное поведение может иметь место в мультикритических точках , на границе или на пересечении критических многообразий. Их можно достичь, настроив значение двух или более параметров, таких как температура и давление.
Статические и динамические свойства [ править ]
Приведенные выше примеры относятся исключительно к статическим свойствам критической системы. Однако динамические свойства системы тоже могут стать критическими. В частности, характерное время τ char системы расходится как τ char ∝ ξ z с динамическим показателем z . Более того, большие классы статической универсальности эквивалентных моделей с идентичными статическими критическими показателями распадаются на более мелкие классы динамической универсальности , если требуется, чтобы также были идентичны динамические показатели.
Критические показатели могут быть вычислены из конформной теории поля .
См. Также аномальный масштабный размер .
Свойства транспорта [ править ]
Критические показатели существуют также для транспортных величин, таких как вязкость и теплопроводность . Недавнее исследование показывает, что критические показатели просачивания играют важную роль в городском движении. [12]
Самоорганизованная критичность [ править ]
Критические показатели также существуют для самоорганизованной критичности для диссипативных систем .
Теория перколяции [ править ]
Фазовые переходы и критические показатели появляются также в процессах перколяции, когда концентрация занятых узлов или звеньев играет роль температуры. Самый простой пример - это, пожалуй, перколяция в двумерной квадратной решетке. Сайты заняты случайным образом с вероятностью p. При малых значениях p занятые узлы образуют только небольшие кластеры. При определенном пороге pc образуется гигантский кластер, и мы имеем фазовый переход второго рода. [1] [13] См. Критические показатели перколяции . Для перколяции критические показатели отличаются от показателей Изинга. Например, в среднем поле для перколяции [1] по сравнению сдля Изинга. В сетевой теории было обнаружено, что сила взаимодействий между сообществами ведет себя аналогично внешнему полю в магнитах вблизи фазового перехода или как фантомное поле при перколяции. [14]
См. Также [ править ]
- Класс универсальности для численных значений критических показателей
- Сложные сети
- Случайные графики
- Неравенство Рашбрука
- Масштабирование Widom
- Конформный бутстрап
- Критические показатели Изинга
- Критические показатели перколяции
- Сетевая наука
- Теория перколяции
- Теория графов
Внешние ссылки и литература [ править ]
- Хаген Кляйнерт и Верена Шульте-Фролинде, Критические свойства φ 4 -теорий , World Scientific (Сингапур, 2001) ; Мягкая обложка ISBN 981-02-4658-7
- Тода, М., Кубо, Р., Н. Сайто, Статистическая физика I , Springer-Verlag (Берлин, 1983); ISBN в твердом переплете 3-540-11460-2
- JMYeomans, Статистическая механика фазовых переходов , Oxford Clarendon Press
- Его Превосходительство Стэнли Введение в фазовые переходы и критические явления , Oxford University Press, 1971
- А. Бунде и С. Хэвлин (редакторы), Fractals in Science , Springer, 1995.
- А. Бунде и С. Хэвлин (редакторы), Фракталы и беспорядочные системы , Springer, 1996.
- Классы универсальности от Sklogwiki
- Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5
- Зинн-Джастин, Дж. (2010). «Критические явления: теоретико-полевой подход». Статья в Scholarpedia Scholarpedia, 5 (5): 8346.
- Д. Польша, С. Рычков, А. Вичи, "Конформный бутстрап: теория, численные методы и приложения" , Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
- Ф. Леонард и Б. Деламот. Критические показатели могут быть разными на двух сторонах перехода: Общий механизм https://arxiv.org/abs/1508.07852
Ссылки [ править ]
- ^ a b c Бунде, Армин; Хавлин, Шломо (1996). «Перколяция I». Фракталы и неупорядоченные системы . Шпрингер, Берлин, Гейдельберг. С. 59–114. DOI : 10.1007 / 978-3-642-84868-1_2 . ISBN 9783642848704.
- ^ Коэн, Реувен; Хавлин, Шломо (2010). "Вступление". Сложные сети: структура, надежность и функции . Издательство Кембриджского университета. С. 1–6. DOI : 10,1017 / cbo9780511780356.001 . ISBN 9780521841566.
- ^ 'т Хоофт, G .; Вельтман, М. (1972). «Регуляризация и перенормировка калибровочных полей» (PDF) . Nucl. Phys. B . 44 (1): 189–213. Bibcode : 1972NuPhB..44..189T . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (72) 90279-9 . ЛВП : 1874/4845 .
- ^ Липа, JA; Nissen, J .; Stricker, D .; Swanson, D .; Чуй, Т. (2003). «Удельная теплоемкость жидкого гелия в невесомости очень близко к лямбда-точке». Physical Review B . 68 (17): 174518. arXiv : cond-mat / 0310163 . Bibcode : 2003PhRvB..68q4518L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.68.174518 . S2CID 55646571 .
- ^ Кампострини, Массимо; Хазенбуш, Мартин; Пелиссетто, Андреа; Викари, Этторе (2006-10-06). «Теоретические оценки критических показателей сверхтекучего перехода в $ ^ {4} \ mathrm {He} $ решеточными методами». Physical Review B . 74 (14): 144506. arXiv : cond-mat / 0605083 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.74.144506 . S2CID 118924734 .
- ^ Hasenbusch, Martin (2019-12-26). «Исследование Монте-Карло усовершенствованной модели часов в трех измерениях». Physical Review B . 100 (22): 224517. arXiv : 1910.05916 . Bibcode : 2019PhRvB.100v4517H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.100.224517 . ISSN 2469-9950 . S2CID 204509042 .
- ^ Честер, Шай М .; Лэндри, Уолтер; Лю, Цзюнюй; Польша, Давид; Симмонс-Даффин, Дэвид; Су, Нин; Вичи, Алессандро (2020). «Вырезание пространства OPE и точных критических показателей модели $ O (2) $». Журнал физики высоких энергий . 2020 (6): 142. arXiv : 1912.03324 . Bibcode : 2020JHEP ... 06..142C . DOI : 10.1007 / JHEP06 (2020) 142 . S2CID 208910721 .
- ^ a b Слава Рычков (31.01.2020). «Конформный бутстрап и экспериментальная аномалия теплоемкости λ-точки» . Журнал "Клуб физики конденсированных сред" . DOI : 10.36471 / JCCM_January_2020_02 .
- ^ Леонард, Ф .; Деламот, Б. (2015). «Критические показатели могут быть разными по обе стороны перехода». Phys. Rev. Lett . 115 (20): 200601. arXiv : 1508.07852 . Bibcode : 2015PhRvL.115t0601L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.115.200601 . PMID 26613426 . S2CID 22181730 .
- ^ Даян, I .; Gouyet, JF; Хавлин, С. (1991). «Перколяция в многослойных структурах». J. Phys. . 24 (6): L287. Bibcode : 1991JPhA ... 24L.287D . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 24/6/007 .
- ^ Kinzel, W. (1982). Дойчер, Г. (ред.). «Направленная перколяция». Перколяция и процессы .
- ^ Цзэн, Гуаньвэнь; Ли, Дацин; Гао, Лян; Гао, Цзыю; Хавлин, Шломо (10.09.2017). «Переключение критических режимов перколяции в динамичном городском потоке». arXiv : 1709.03134 . Bibcode : 2017arXiv170903134Z . Cite journal requires
|journal=
(help) - ^ Штауфер, Дитрих; Ахарони, Амнон (1994). «Введение в теорию перколяции». Publ. Математика . 6 : 290–297. ISBN 978-0-7484-0253-3.
- ^ Устойчивость сетей со структурой сообщества ведет себя так, как если бы под внешним полем G Dong, J Fan, LM Shekhtman, S Shai, R Du, L Tian, X Chen, HE Stanley и S. Havlin, Proceedings of the National Academy of Sciences, 115 (27), 6911-6915 (2018)