В динамике жидкости , то уравнение Дарси-Вейсбы это эмпирическое уравнение, которое связывает потери напора или давление потерю из - за трения вдоль заданной длиной трубы к средней скорости потока текучей среды для несжимаемой жидкости. Уравнение названо в честь Генри Дарси и Юлиуса Вайсбаха . В настоящее время нет более точной или универсальной формулы, чем формула Дарси-Вейсбаха, дополненная диаграммой Муди или уравнением Коулбрука . [1]
Уравнение Дарси – Вайсбаха содержит безразмерный коэффициент трения, известный как коэффициент трения Дарси . Это также по-разному называется коэффициентом трения Дарси – Вайсбаха, коэффициентом трения, коэффициентом сопротивления или коэффициентом расхода. [а]
Форма потери давления
В цилиндрической трубе постоянного диаметра D , протекающей полностью, потеря давления из-за вязких эффектов Δ p пропорциональна длине L и может быть охарактеризована уравнением Дарси – Вайсбаха: [3]
где потеря давления на единицу длины Δ p/L(Единицы СИ: Па / м ) зависит от:
- ρ - плотность жидкости (кг / м 3 );
- D - гидравлический диаметр трубы (для трубы круглого сечения он равен внутреннему диаметру трубы; в противном случае D ≈ 2 √ A / π для трубы с площадью поперечного сечения A ) (м);
- < v > - средняя скорость потока , измеренная экспериментально как объемный расход Q на единицу смачиваемой площади поперечного сечения (м / с);
- f D , коэффициент трения Дарси (также называемый коэффициентом расхода λ [4] [5] ).
Для ламинарного течения в круглой трубе диаметромкоэффициент трения обратно пропорционален только числу Рейнольдса ( f D = 64/Re), который может быть выражен в виде легко измеряемых или публикуемых физических величин (см. раздел ниже). После этой замены уравнение Дарси – Вайсбаха переписывается в виде
где
- μ представляет собой динамическую вязкость из жидкости (Па · с = Н · с / м 2 = кг / (м · с));
- Q - объемный расход , используемый здесь для измерения расхода вместо средней скорости согласно Q = π/4D c 2 < v > (м 3 / с).
Обратите внимание, что эта ламинарная форма Дарси – Вайсбаха эквивалентна уравнению Хагена – Пуазейля , которое аналитически выводится из уравнений Навье – Стокса .
Форма потери напора
Потери напора Δ ч (или ч е ) выражает потерю давления из - за трения с точки зрения эквивалентной высоты столба рабочей жидкости , , таким образом , давление падение
где:
- Δ h = потеря напора из-за трения трубы по данной длине трубы (единицы СИ: м); [b]
- g = местное ускорение свободного падения (м / с 2 ).
Полезно представить потерю напора на длину трубы (безразмерную):
где L - длина трубы ( м ).
Следовательно, уравнение Дарси – Вайсбаха также можно записать в терминах потери напора: [6]
По объемному расходу
Связь между средней скоростью потока < v > и объемным расходом Q определяется следующим образом:
где:
- Q = объемный расход (м 3 / с),
- A = Смачиваемая площадь поперечного сечения (м 2 ).
В полнопроточной круглой трубе диаметром ,
Тогда уравнение Дарси – Вайсбаха через Q имеет вид
Форма напряжения сдвига
Среднее напряжение сдвига стенки τ в трубе или открытом канале выражается через коэффициент трения Дарси – Вайсбаха как [7]
Напряжение сдвига в стенке измеряется в паскалях (Па) в системе СИ .
Коэффициент трения Дарси
Коэффициент трения f D не является постоянным: он зависит от таких факторов, как характеристики трубы (диаметр D и высота шероховатости ε ), характеристики жидкости (ее кинематическая вязкость ν [nu]) и скорость потока. поток жидкости ⟨ против ⟩ . Он был измерен с высокой точностью в определенных режимах потока и может быть оценен с помощью различных эмпирических соотношений или может быть прочитан из опубликованных диаграмм. Эти диаграммы часто называют диаграммами Муди после Л. Ф. Муди , и поэтому сам фактор иногда ошибочно называют коэффициентом трения Муди . Его также иногда называют коэффициентом трения Блазиуса в честь предложенной им приближенной формулы.
На рисунке 1 показано значение f D, измеренное экспериментаторами для множества различных жидкостей в широком диапазоне чисел Рейнольдса и для труб с различной высотой шероховатости. В этих данных встречаются три основных режима течения жидкости: ламинарный, критический и турбулентный.
Ламинарный режим
Для ламинарных (гладких) течений следствием закона Пуазейля (который вытекает из точного классического решения для потока жидкости) является то, что
где Re - число Рейнольдса
и где μ - вязкость жидкости, а
известна как кинематическая вязкость . В этом выражении для числа Рейнольдса характерная длина D принимается равной гидравлическому диаметру трубы, который для цилиндрической трубы с полным потоком равен внутреннему диаметру. На рисунках 1 и 2 зависимости коэффициента трения от числа Рейнольдса режим Re <2000 демонстрирует ламинарный поток; коэффициент трения хорошо представлен приведенным выше уравнением. [c]
Фактически, потери на трение в ламинарном режиме более точно охарактеризованы как пропорциональные скорости потока, а не пропорциональны квадрату этой скорости: можно было бы рассматривать уравнение Дарси-Вейсбаха как не совсем применимое в ламинарном режиме потока.
В ламинарном потоке потери на трение возникают из-за передачи количества движения от текучей среды в центре потока к стенке трубы через вязкость текучей среды; в потоке нет вихрей. Обратите внимание, что потери на трение нечувствительны к высоте шероховатости трубы ε : скорость потока в окрестности стенки трубы равна нулю.
Критический режим
Для чисел Рейнольдса в диапазоне 2000
Турбулентный режим
Для числа Рейнольдса больше 4000 поток является турбулентным; сопротивление потоку следует уравнению Дарси – Вайсбаха: оно пропорционально квадрату средней скорости потока. В области много порядков величины Re ( 4000
Гладкотрубный режим
Когда поверхность трубы гладкая (кривая «гладкая труба» на рисунке 2), изменение коэффициента трения с Re может быть смоделировано уравнением сопротивления Кармана – Прандтля для турбулентного потока в гладких трубах [4] с соответствующими параметрами.
Числа 1,930 и 0,537 феноменологичны; эти конкретные значения достаточно хорошо соответствуют данным. [8] Произведение Re √ f D (называемое «числом Рейнольдса трения») можно рассматривать, как число Рейнольдса, как (безразмерный) параметр потока: при фиксированных значениях Re √ f D коэффициент трения тоже исправлено.
В уравнении сопротивления Кармана – Прандтля f D может быть выражено в замкнутой форме как аналитическая функция от Re с помощью W- функции Ламберта :
В этом режиме потока множество мелких вихрей ответственны за передачу количества движения от основной части жидкости к стенке трубы. По мере увеличения числа Рейнольдса трения Re √ f D профиль скорости жидкости приближается к стенке асимптотически, тем самым передавая больший импульс стенке трубы, как это моделируется в теории пограничного слоя Блазиуса .
Режим грубой трубы
Когда высота шероховатости поверхности трубы ε значительна (обычно при высоком числе Рейнольдса), коэффициент трения отклоняется от гладкой кривой трубы, в конечном итоге приближаясь к асимптотическому значению (режим «шероховатой трубы»). В этом режиме сопротивление потоку изменяется пропорционально квадрату средней скорости потока и нечувствительно к числу Рейнольдса. Здесь полезно использовать еще один безразмерный параметр течения - число Рейнольдса шероховатости [9]
где шероховатость высота ε масштабируется к диаметру трубы D .
Для иллюстрации построить функцию шероховатости B : [12]
Рисунок 3 показывает зависимость B от R ∗ для грубых данных по трубам Никурадсе, [9] Шоклинг, [13] и Лангеландсвик. [14]
С этой точки зрения данные при разном соотношении шероховатостей ε/Dпадают вместе при построении графика против R ∗ , демонстрируя масштабирование по переменной R ∗ . Присутствуют следующие функции:
- Когда ε = 0 , то R ∗ тождественно равен нулю: поток всегда находится в режиме гладкой трубы. Данные для этих точек лежат у левого края абсциссы и не попадают в рамки графика.
- При R ∗ <5 данные лежат на прямой B ( R ∗ ) = R ∗ ; поток находится в режиме гладкой трубы.
- Когда R ∗ > 100 , данные асимптотически приближаются к горизонтальной линии; они не зависят от Re , f D иε/D.
- Промежуточный диапазон 5 < R ∗ <100 представляет собой переход от одного поведения к другому. Данные очень медленно отходят от линии B ( R ∗ ) = R ∗ , достигают максимума около R ∗ = 10 , затем падают до постоянного значения.
Подгонка к этим данным при переходе от гладкого трубного потока к грубому трубному потоку использует экспоненциальное выражение в R ∗, которое обеспечивает правильное поведение для 1 < R ∗ <50 (переход от гладкого трубного режима к грубому трубному режиму): [ 10] [15] [16]
Эта функция имеет те же значения для своего члена, что и уравнение сопротивления Кармана – Прандтля, плюс один параметр 0,34 для соответствия асимптотическому поведению для R ∗ → ∞, а также еще один параметр, 11, чтобы управлять переходом от плавного к грубому потоку. . Он представлен на рисунке 3.
Соотношение Коулбрука – Уайта [11] соответствует коэффициенту трения функцией вида
- [d]
Это соотношение имеет правильное поведение при экстремальных значениях R ∗ , как показано отмеченной кривой на Рисунке 3: когда R ∗ мало, оно согласуется с плавным потоком в трубе, когда оно велико, оно согласуется с грубым потоком в трубе. Однако его характеристики в переходной области значительно завышают коэффициент трения. [13] Колбрук признает расхождение с данными Никурадзе, но утверждает, что его связь согласуется с измерениями на коммерческих трубах. Действительно, такие трубы сильно отличаются от труб, тщательно подготовленных Никурадзе: их поверхности характеризуются множеством разной высоты шероховатости и случайным пространственным распределением точек шероховатости, в то время как трубы Никурадзе имеют поверхности с однородной высотой шероховатости с чрезвычайно плотно упакованными точками.
Расчет коэффициента трения по его параметризации
Для турбулентного потока методы определения коэффициента трения f D включают использование диаграммы, такой как диаграмма Муди , или решение уравнений, таких как уравнение Коулбрука-Уайта (на котором основана диаграмма Муди) или уравнения Свами-Джайна . В то время как соотношение Коулбрука – Уайта в общем случае является итерационным методом, уравнение Свами – Джайна позволяет непосредственно найти f D для полного потока в круглой трубе. [6]
Прямой расчет, когда известны потери на трение S
В типичных инженерных приложениях будет набор заданных или известных величин. Известны ускорение свободного падения g и кинематическая вязкость жидкости ν , а также диаметр трубы D и высота ее шероховатости ε . Если также известна величина потери напора на единицу длины S , то коэффициент трения f D может быть рассчитан непосредственно из выбранной подгоночной функции. Решая уравнение Дарси – Вейсбаха относительно √ f D ,
теперь мы можем выразить Re √ f D :
Выражая число Рейнольдса шероховатости R ∗ ,
мы имеем два параметра , необходимые для замены в Коулбрук-White отношении, или любой другой функции, для коэффициента трения ф D , скорости потока ⟨ V ⟩ , и объемного расхода Q .
Путаница с коэффициентом трения Фаннинга
Коэффициент трения Дарси – Вайсбаха f D в 4 раза больше, чем коэффициент трения Фаннинга f , поэтому следует обратить внимание на то, какой из них имеется в виду в любой используемой диаграмме или уравнении «коэффициента трения». Из двух факторов коэффициент Дарси – Вейсбаха f D чаще используется инженерами-строителями и инженерами-механиками, а коэффициент Фаннинга f - инженерами-химиками, но следует позаботиться о том, чтобы определить правильный коэффициент независимо от источника диаграммы или формулы.
Обратите внимание, что
Большинство диаграмм или таблиц указывают тип коэффициента трения или, по крайней мере, предоставляют формулу для коэффициента трения при ламинарном потоке. Если формула ламинарного потока f = 16/Re, это коэффициент Фаннинга f , и если формула для ламинарного потока f D = 64/Re, То коэффициент Дарси-Вейсбах F D .
Какой коэффициент трения отображается на диаграмме Муди, можно определить путем проверки, если издатель не включил формулу, описанную выше:
- Обратите внимание на значение коэффициента трения для ламинарного потока при числе Рейнольдса 1000.
- Если значение коэффициента трения составляет 0,064, то коэффициент трения Дарси отображается на диаграмме Муди. Обратите внимание, что ненулевые цифры в 0,064 являются числителем в формуле для коэффициента ламинарного трения Дарси: f D = 64/Re.
- Если значение коэффициента трения составляет 0,016, то коэффициент трения Фаннинга отображается на диаграмме Муди. Обратите внимание, что ненулевые цифры в 0,016 являются числителем в формуле для ламинарного коэффициента трения Фаннинга: f = 16/Re.
Вышеописанная процедура аналогична для любого доступного числа Рейнольдса, которое является целой степенью десяти. Нет необходимости запоминать значение 1000 для этой процедуры - для этой цели представляет интерес только целая степень десяти.
История
Исторически это уравнение возникло как вариант уравнения Прони ; этот вариант был разработан Генри Дарси из Франции, а затем доработан до формы, используемой сегодня Юлиусом Вайсбахом из Саксонии в 1845 году. Первоначально данные об изменении f D со скоростью отсутствовали, поэтому уравнение Дарси-Вайсбаха сначала уступило во многих случаях с помощью эмпирического уравнения Прони. В последующие годы от него отказались во многих особых случаях в пользу множества эмпирических уравнений, применимых только для определенных режимов потока, в частности уравнения Хейзена – Вильямса или уравнения Мэннинга , большинство из которых было значительно проще использовать в расчетах. Однако с появлением калькулятора простота вычислений больше не является серьезной проблемой, и поэтому универсальность уравнения Дарси – Вайсбаха сделала его предпочтительным. [17]
Вывод на основе анализа размеров
Вдали от концов трубы характеристики потока не зависят от положения вдоль трубы. Тогда ключевыми величинами являются падение давления в трубе на единицу длины,Δ p/L, и объемный расход. Скорость потока может быть преобразована в среднюю скорости потока V путем деления на смачиваемую площади потока (которая равна поперечное сечение площади трубы , если труба полна жидкость).
Давление имеет размеры энергии на единицу объема, поэтому перепад давления между двумя точками должен быть пропорционален динамическому давлению q. Мы также знаем, что давление должно быть пропорционально длине трубы между двумя точками L, поскольку падение давления на единицу длины является постоянным. Чтобы превратить это соотношение в коэффициент пропорциональности безразмерной величины, мы можем разделить его на гидравлический диаметр трубы D , который также постоянен по длине трубы. Следовательно,
Коэффициент пропорциональности - это безразмерный « коэффициент трения Дарси » или «коэффициент расхода». Этот безразмерный коэффициент будет представлять собой комбинацию геометрических факторов, таких как π , число Рейнольдса и (за пределами ламинарного режима) относительная шероховатость трубы (отношение высоты шероховатости к гидравлическому диаметру ).
Обратите внимание, что динамическое давление - это не кинетическая энергия жидкости на единицу объема, [ цитата необходима ] по следующим причинам. Даже в случае ламинарного потока , когда все линии потока параллельны длине трубы, скорость жидкости на внутренней поверхности трубы равна нулю из-за вязкости, а скорость в центре трубы должна поэтому быть больше, чем средняя скорость, полученная путем деления объемного расхода на влажную площадь. В этом случае средняя кинетическая энергия включает среднеквадратичную скорость , которая всегда превышает среднюю скорость. В случае турбулентного потока жидкость приобретает случайные составляющие скорости во всех направлениях, в том числе перпендикулярно длине трубы, и, таким образом, турбулентность вносит вклад в кинетическую энергию на единицу объема, но не в среднюю продольную скорость жидкости.
Практическое применение
В гидротехнических приложениях объемный расход Q в трубе (то есть ее производительность) и потери напора на единицу длины S (сопутствующее энергопотребление) обычно являются критическими важными факторами. Практическое следствие является то, что при фиксированной скорости объемного расхода Q , потери напора S уменьшается с обратной пятой степенью диаметра трубы, D . Удвоение диаметра трубы заданного сортамента (скажем, стандарта ANSI 40) примерно вдвое увеличивает количество материала, требуемого на единицу длины, и, следовательно, его стоимость установки. При этом потеря напора снижается в 32 раза (снижение примерно на 97%). Таким образом, энергия, потребляемая при перемещении заданного объемного потока жидкости, резко сокращается при небольшом увеличении капитальных затрат.
Преимущества
Точность и универсальность Darcy-Weisbach делают его идеальной формулой для измерения расхода в трубопроводах. Преимущества уравнения заключаются в следующем: [1]
- Он основан на фундаментальных принципах.
- Он размерно согласован.
- Это полезно для любой жидкости, включая нефть, газ, рассол и шламы.
- Его можно получить аналитически в области ламинарного течения.
- Это полезно в переходной области между ламинарным потоком и полностью развитым турбулентным потоком.
- Изменение коэффициента трения хорошо задокументировано.
Смотрите также
- Принцип Бернулли
- Формулы коэффициента трения Дарси
- Число Эйлера
- Потеря трения
- Уравнение Хазена – Вильямса
- Уравнение Хагена – Пуазейля
- Водопроводная труба
Заметки
- ^ Значение коэффициента трения Дарси в четыре раза больше коэффициента трения Фаннинга , с чем его не следует путать. [2]
- ^ Это связано с пьезометрическим напором вдоль трубы.
- ^ Однако данные демонстрируют систематическое отклонение до 50% от теоретического уравнения Хагена – Пуазейля в области Re> 500 вплоть до начала критического течения.
- ^ В исходной опубликованной форме
Рекомендации
- ^ a b Конструкция насосной станции . Джонс, Гарр М. (3-е изд.). Берлингтон, Массачусетс: Баттерворт-Хайнеманн. 2006. с. 3.5. ISBN 978-0-08-094106-6. OCLC 144609617 .CS1 maint: другие ( ссылка )
- ^ Manning, Francis S .; Томпсон, Ричард Э. (1991). Нефтепромысловая переработка нефти. Vol. 1: Природный газ . Книги PennWell. п. 293. ISBN 0-87814-343-2.
- ^ Браун, Гленн. «Уравнение Дарси – Вайсбаха» . Государственный университет Оклахомы - Стиллуотер.
- ^ а б Роуз, Х. (1946). Элементарная механика жидкости . Джон Вили и сыновья.
- ^ Инкопера, Фрэнк П .; Девитт, Дэвид П. (2002). Основы тепломассообмена (5-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 470 пункт 3.
- ^ а б Crowe, Clayton T .; Элгер, Дональд Ф .; Робертсон, Джон А. (2005). Инженерная механика жидкости (8-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 379; Уравнение 10:23, 10:24, абзац 4.
- ^ Чаудри, MH (2013). Прикладные гидравлические переходные процессы (3-е изд.). Springer. п. 45. ISBN 978-1-4614-8538-4.
- ^ МакКеон, Би Джей ; Загарола, M. V; Смитс, AJ (2005). «Новое соотношение коэффициента трения для полностью развитого трубного потока» (PDF) . Журнал гидромеханики . Издательство Кембриджского университета. 538 : 429–443. Bibcode : 2005JFM ... 538..429M . DOI : 10.1017 / S0022112005005501 . Проверено 25 июня +2016 .
- ^ а б Никурадсе, Дж. (1933). "Strömungsgesetze in rauen Rohren" (PDF) . VDI Forschungsheft . Берлин. 361 : 1–22. В переводе NACA TM 1292. Данные доступны в цифровом виде .CS1 maint: postscript ( ссылка )
- ^ а б Афзал, Нур (2007). «Коэффициент трения непосредственно от переходной шероховатости в турбулентном потоке трубы» . Журнал инженерии жидкостей . КАК Я. 129 (10): 1255–1267. DOI : 10.1115 / 1.2776961 .
- ^ а б Колбрук, CF (февраль 1939 г.). «Турбулентный поток в трубах, с особым упором на переходную область между законами гладких и грубых труб». Журнал Института инженеров-строителей . Лондон. DOI : 10.1680 / ijoti.1939.14509 .
- ^ Шлихтинг, Х. (1955). Теория пограничного слоя . Макгроу-Хилл.
- ^ а б Шоклинг, Массачусетс; Аллен, JJ; Смитс, AJ (2006). «Эффекты шероховатости в турбулентном потоке в трубе». Журнал гидромеханики . 564 : 267–285. Bibcode : 2006JFM ... 564..267S . DOI : 10.1017 / S0022112006001467 .
- ^ Langelandsvik, LI; Kunkel, GJ; Смитс, AJ (2008). «Течение в стальной трубе промышленного назначения» (PDF) . Журнал гидромеханики . Издательство Кембриджского университета. 595 : 323–339. Bibcode : 2008JFM ... 595..323L . DOI : 10.1017 / S0022112007009305 . Архивировано из оригинального (PDF) 16 августа 2016 года . Проверено 25 июня +2016 .
- ^ Афзал, Нур (2011). «Погрешность: коэффициент трения непосредственно из-за переходной шероховатости в турбулентном потоке в трубе» . Журнал инженерии жидкостей . КАК Я. 133 (10): 107001. DOI : 10,1115 / 1,4004961 .
- ^ Афзал, Нур; Сина, Абу; Бушра, А. (2013). «Турбулентный поток в трубах, подвергнутых машинной обработке, для больших чисел Рейнольдса: общие законы масштабирования шероховатости» . Журнал исследований гидро-окружающей среды . Эльзевир. 7 (1): 81–90. DOI : 10.1016 / j.jher.2011.08.002 .
- ^ Браун, ГО (2003). "История уравнения Дарси-Вайсбаха для гидравлического сопротивления трубы" . В Роджерс, младший; Фредрих, AJ (ред.). История окружающей среды и водных ресурсов . Американское общество инженеров-строителей. С. 34–43. ISBN 978-0-7844-0650-2.
дальнейшее чтение
- Де Невер (1970). Механика жидкости . Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-01497-1.
- Шах, РК; Лондон, АЛ (1978). «Принудительная конвекция ламинарных потоков в каналах». Дополнение 1 к достижениям в области теплообмена . Нью-Йорк: Академ.
- Rohsenhow, WM; Hartnett, JP; Ганич, EN (1985). Справочник по основам теплообмена (2-е изд.). Книжная компания Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-053554-X.
Внешние ссылки
- История уравнения Дарси – Вайсбаха.
- Калькулятор уравнения Дарси – Вайсбаха
- Калькулятор падения давления в трубе для однофазных потоков.
- Калькулятор падения давления в трубе для двухфазных потоков.
- Калькулятор падения давления в трубопроводе с открытым исходным кодом.
- Веб-приложение с расчетом падения давления для труб и воздуховодов