Из Википедии, свободной энциклопедии
  (Перенаправлен с степени веры )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для более широкого освещения этой темы см. Байесовскую статистику .
Часть серии по
Байесовская статистика
Байесовский значок.svg
Теория
Методы

Байесовская вероятность - это интерпретация концепции вероятности , в которой вместо частоты или склонности какого-либо явления вероятность интерпретируется как разумное ожидание [1], представляющее состояние знаний [2] или как количественная оценка личного убеждения. [3]

Байесовскую интерпретацию вероятности можно рассматривать как расширение логики высказываний, которое позволяет рассуждать с помощью гипотез; [4] то есть с предложениями, истинность или ложность которых неизвестна. С байесовской точки зрения гипотезе присваивается вероятность, тогда как при частотном выводе гипотеза обычно проверяется без присвоения вероятности.

Байесовская вероятность относится к категории доказательных вероятностей; чтобы оценить вероятность гипотезы, байесовский вероятностник указывает априорную вероятность . Это, в свою очередь, затем обновляется до апостериорной вероятности в свете новых релевантных данных (свидетельств). [5] Байесовская интерпретация предоставляет стандартный набор процедур и формул для выполнения этого вычисления.

Термин байесовский происходит от математика и теолога 18-го века Томаса Байеса , который впервые математически рассмотрел нетривиальную проблему статистического анализа данных, используя то, что сейчас известно как байесовский вывод . [6] : 131 Математик Пьер-Симон Лаплас стал пионером и популяризировал то, что сейчас называется байесовской вероятностью. [6] : 97–98

Байесовская методология [ править ]

Байесовские методы характеризуются следующими концепциями и процедурами:

  • Использование случайных величин или, в более общем смысле, неизвестных величин [7] для моделирования всех источников неопределенности в статистических моделях, включая неопределенность, возникающую из-за недостатка информации (см. Также алеаторическую и эпистемическую неопределенность ).
  • Необходимость определения априорного распределения вероятностей с учетом имеющейся (априорной) информации.
  • Последовательное использование формулы Байеса : когда станет доступно больше данных, рассчитайте апостериорное распределение, используя формулу Байеса; впоследствии апостериорное распределение становится следующим апостериорным.
  • В то время как для частотника гипотеза - это предложение (которое должно быть либо истинным, либо ложным ), так что частотная вероятность гипотезы равна 0 или 1, в байесовской статистике вероятность, которая может быть отнесена к гипотезе, также может быть равна диапазон от 0 до 1, если значение истинности не определено.

Объективные и субъективные байесовские вероятности [ править ]

Вообще говоря, есть две интерпретации байесовской вероятности. Для объективистов, которые интерпретируют вероятность как расширение логики , вероятность количественно определяет разумное ожидание, которое каждый (даже «робот»), обладающий одним и тем же знанием, должен разделять в соответствии с правилами байесовской статистики, что может быть оправдано теоремой Кокса . [2] [8] Для субъективистов вероятность соответствует личному убеждению. [3] Рациональность и согласованность допускают существенные вариации в рамках ограничений, которые они создают; ограничения оправдываются аргументами голландской книги или теорией принятия решений иТеорема де Финетти . [3] Объективный и субъективный варианты байесовской вероятности различаются в основном своей интерпретацией и построением априорной вероятности.

История [ править ]

Основная статья: История статистики § Байесовская статистика

Термин байесовский происходит от Томаса Байеса (1702–1761), который доказал частный случай того, что сейчас называется теоремой Байеса, в статье под названием « Эссе для решения проблемы в Доктрине вероятностей ». [9] В этом частном случае априорное и апостериорное распределения были бета-распределениями, и данные были получены из испытаний Бернулли . Именно Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) представил общую версию теоремы и использовал ее для решения проблем небесной механики , медицинской статистики, надежности и юриспруденции . [10]Ранний байесовский вывод, в котором использовались единые априорные значения в соответствии с принципом недостаточной причины Лапласа , был назван « обратной вероятностью » (потому что он выводит в обратном направлении от наблюдений к параметрам или от следствий к причинам). [11] После 1920-х годов «обратная вероятность» была в значительной степени вытеснена набором методов, которые стали называть частотной статистикой . [11]

В ХХ веке идеи Лапласа развивались в двух направлениях, порождая объективные и субъективные течения в байесовской практике. Гарольд Джеффрис ' Теория вероятностей (впервые опубликована в 1939 г.) сыграли важную роль в возрождении байесовской зрения вероятности, а затем работами Abraham Wald (1950) и Леонард Дж Savage (1954). Само прилагательное байесовское восходит к 1950-м годам; Производное байесовское начало , необайесианство, имеет чеканку 1960-х годов. [12] [13] [14]В потоке объективистов статистический анализ зависит только от предполагаемой модели и проанализированных данных. [15] Нет необходимости принимать субъективные решения. Напротив, «субъективные» статистики отрицают возможность полностью объективного анализа для общего случая.

В 1980-х годах наблюдался резкий рост исследований и приложений байесовских методов, в основном связанный с открытием методов Монте-Карло с цепями Маркова и последующим устранением многих вычислительных проблем, а также с растущим интересом к нестандартным сложным приложениям. [16] В то время как частотная статистика остается сильной (о чем свидетельствует тот факт, что большая часть обучения студентов все еще основана на ней [17] [ необходима цитата ] ), байесовские методы широко приняты и используются, например, в области машинного обучения . [18]

Обоснование байесовских вероятностей [ править ]

Использование байесовских вероятностей в качестве основы байесовского вывода подтверждается несколькими аргументами, такими как аксиомы Кокса , аргумент голландской книги , аргументы, основанные на теории принятия решений и теореме де Финетти .

Аксиоматический подход [ править ]

Ричард Т. Кокс показал [8], что байесовское обновление следует из нескольких аксиом, включая два функциональных уравнения и гипотезу дифференцируемости. Предположение о дифференцируемости или даже непрерывности является спорным; Халперн нашел контрпример, основанный на своем наблюдении, что булева алгебра утверждений может быть конечной. [19] Другие аксиоматизации были предложены различными авторами с целью сделать теорию более строгой. [7]

Голландский книжный подход [ править ]

Аргумент голландской книги был предложен де Финетти ; он основан на ставках. Голландская книга сделана , когда умный игрок помещает набор ставка , которые гарантируют прибыль, независимо от исхода ставка. Если букмекерская контора следует правилам байесовского исчисления при построении своих коэффициентов, голландская книга не может быть составлена.

Однако Ян Хакинг отметил, что традиционные аргументы голландских книг не указывают на байесовское обновление: они оставляют открытой возможность того, что небайесовские правила обновления могут избежать голландских книг. Например, Хакинг пишет [20] [21]: «Ни аргумент в голландской книге, ни любой другой аргумент в персоналистском арсенале доказательств аксиом вероятности не влечет за собой динамическое допущение. Ни одно из них не влечет за собой байесианство. Таким образом, персоналист требует динамического допущения. быть байесовским. Верно, что в последовательности, персоналист может отказаться от байесовской модели обучения на основе опыта. Соль может потерять свой вкус ».

Фактически, существуют небайесовские правила обновления, которые также избегают голландских книг (как обсуждалось в литературе по « вероятностной кинематике » [22] после публикации правила Ричарда С. Джеффриса , которое само по себе считается байесовским [23] ). . Дополнительные гипотезы, достаточные для (однозначного) определения байесовского обновления, существенны [24] и не всегда считаются удовлетворительными. [25]

Подход теории принятия решений [ править ]

Решение теоретико- обоснование использования умозаключений байесовских (и , следовательно , Байесовские вероятности) было дано Авраам Wald , который доказал , что каждая допустимая статистическая процедура либо байесовская процедура или ограничение процедур Байесовских. [26] И наоборот, допустима любая байесовская процедура . [27]

Личные вероятности и объективные методы построения априорных значений [ править ]

После работы по ожидаемой полезности теории из Рэмси и фон Неймана , директивные теоретики приходилось рационального поведения , используя распределение вероятностей для агента . Иоганн Пфанцагл завершил теорию игр и экономического поведения , предоставив аксиоматизацию субъективной вероятности и полезности, - задачу, которую фон Нейман и Оскар Моргенштерн оставили незавершенной : их первоначальная теория предполагала, что для удобства все агенты имеют одинаковое распределение вероятностей. [28]Аксиоматизация Пфанцагля была одобрена Оскаром Моргенштерном: «Фон Нейман и я предвидели ... [вопрос о том, могут ли вероятности] быть, возможно, более типично, субъективными, и специально заявили, что в последнем случае можно найти аксиомы, из которых можно вывести желаемая числовая полезность вместе с числом вероятностей (см. стр. 19 « Теории игр и экономического поведения» ). Мы этого не выполняли; это было продемонстрировано Пфанзаглем ... со всей необходимой строгостью ». [29]

Рэмси и Сэвидж отметили, что распределение вероятностей отдельного агента можно объективно изучить в экспериментах. Процедуры проверки гипотез о вероятностях (с использованием конечных выборок) были разработаны Рамси (1931) и де Финетти (1931, 1937, 1964, 1970). И Бруно де Финетти [30] [31], и Фрэнк П. Рэмси [31] [32] признают свои долги перед прагматической философией , в частности (за Рэмси) перед Чарльзом С. Пирсом . [31] [32]

«Тест Рамсея» для оценки вероятностных распределений теоретически реализуем и занимал психологов-экспериментаторов в течение полувека. [33] Эта работа демонстрирует, что предположения с байесовской вероятностью могут быть фальсифицированы и, таким образом, соответствуют эмпирическим критериям Чарльза С. Пирса , работа которого вдохновила Рэмси. (Этот критерий фальсифицируемости популяризировал Карл Поппер . [34] [35] )

Современная работа по экспериментальной оценке личных вероятностей использует процедуры рандомизации, ослепления и логического решения эксперимента Пирса-Джастроу. [36] Поскольку люди действуют в соответствии с различными вероятностными суждениями, вероятности этих агентов являются «личными» (но поддаются объективному изучению).

Личные вероятности проблематичны для науки и для некоторых приложений, где лицам, принимающим решения, не хватает знаний или времени для определения информированного распределения вероятностей (на основе которого они готовы действовать). Чтобы удовлетворить потребности науки и человеческие ограничения, байесовские статистики разработали «объективные» методы определения априорных вероятностей.

Действительно, некоторый Bayesians утверждает , предшествующее состояние знаний определяет в (уникальное) перед вероятностью распределение для «обычных» статистических задач; ср. хорошо поставленные задачи . Поиск правильного метода для построения таких «объективных» априорных значений (для соответствующих классов регулярных задач) был предметом поиска теоретиков статистики от Лапласа до Джона Мейнарда Кейнса , Гарольда Джеффриса и Эдвина Томпсона Джейнса . Эти теоретики и их последователи предложили несколько методов построения «объективных» априорных точек (к сожалению, неясно, как оценить относительную «объективность» априорных оценок, предложенных этими методами):

  • Максимальная энтропия
  • Трансформационный групповой анализ
  • Справочный анализ

Каждый из этих методов вносит полезные априорные значения для «обычных» однопараметрических задач, и каждый из них может обрабатывать некоторые сложные статистические модели (с «нерегулярностью» или несколькими параметрами). Каждый из этих методов был полезен в байесовской практике. Действительно, методы построения «объективных» (альтернативно «по умолчанию» или «незнание») априорных значений были разработаны признанными субъективными (или «личными») байесовцами, такими как Джеймс Бергер ( Университет Дьюка ) и Хосе-Мигель Бернардо ( Университет Валенсии ). просто потому, что такие априорные значения необходимы для байесовской практики, особенно в науке. [37]Поиски «универсального метода построения априорных значений» продолжают привлекать теоретиков статистики. [37]

Таким образом, байесовскому статистику необходимо либо использовать информированные априорные факторы (используя соответствующий опыт или предыдущие данные), либо выбирать среди конкурирующих методов построения «объективных» априорных значений.

См. Также [ править ]

  • Парадокс Бертрана - парадокс классической вероятности
  • Игра Де Финетти - процедура оценки чьей-либо субъективной вероятности
  • QBism - интерпретация квантовой механики, основанная на субъективной байесовской вероятности.
  • Проблема эталонного класса
  • Очерк решения проблемы в Доктрине Шанса
  • Проблема Монти Холла
  • Байесовская эпистемология

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Cox, RT (1946). «Вероятность, частота и разумные ожидания». Американский журнал физики . 14 (1): 1–10. Bibcode : 1946AmJPh..14 .... 1C . DOI : 10.1119 / 1.1990764 .
  2. ^ a b Джейнс, ET (1986). «Байесовские методы: общие сведения». В правосудии, JH (ред.). Максимально-энтропийные и байесовские методы в прикладной статистике . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. CiteSeerX 10.1.1.41.1055 . 
  3. ^ a b c де Финетти, Бруно (2017). Теория вероятности: критическое вводное лечение . Чичестер: ISBN компании John Wiley & Sons Ltd. 9781119286370.
  4. ^ Hailperin, Теодор (1996). Логика предположительной вероятности: происхождение, развитие, текущее состояние и технические приложения . Лондон: Associated University Press. ISBN 0934223459.
  5. ^ Paulos, Джон Аллен (5 августа 2011). «Математика изменения вашего ума [Шэрон Берч МакГрейн]» . Книжное обозрение. Нью-Йорк Таймс . Проверено 6 августа 2011 .
  6. ^ a b Стиглер, Стивен М. (март 1990 г.). История статистики . Издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674403413.
  7. ^ a b Дюпре, Морис Дж .; Типлер, Фрэнк Дж. (2009). «Новые аксиомы строгой байесовской вероятности» . Байесовский анализ . 4 (3): 599–606. CiteSeerX 10.1.1.612.3036 . DOI : 10.1214 / 09-BA422 . 
  8. ^ a b Кокс, Ричард Т. (1961). Алгебра вероятного вывода (Перепечатка ред.). Балтимор, Мэриленд; Лондон, Великобритания: Johns Hopkins Press; Oxford University Press [дистрибьютор]. ISBN 9780801869822.
  9. ^ McGrayne, Шарон Bertsch (2011). Теория, которая не умрет . [https://archive.org/details/theorythatwouldn0000mcgr/page/10 10  ] , стр. 10 в Google Книгах .
  10. ^ Стиглер, Стивен М. (1986). «Глава 3» . История статистики . Издательство Гарвардского университета.
  11. ^ a b Финберг, Стивен. Э. (2006). «Когда байесовский вывод стал« байесовским »?» (PDF) . Байесовский анализ . 1 (1): 5, 1–40. DOI : 10.1214 / 06-BA101 . Архивировано из оригинального (PDF) 10 сентября 2014 года.
  12. ^ Харрис, Маршалл Дис (1959). «Последние разработки так называемого байесовского подхода к статистике». Центр аграрного права. Юридико-экономические исследования . University of Iowa: 125 (fn. # 52), 126. Работы Wald , Statistical Decision Functions (1950) и Savage , The Foundation of Statistics (1954) обычно считаются отправными точками для современных байесовских подходов.
  13. ^ Анналы вычислительной лаборатории Гарвардского университета . 31 . 1962. с. 180. Эта революция, которая может быть успешной, а может и не удастся, и есть необайесианство. Джеффрис попытался внедрить этот подход, но в то время не смог придать ему всеобщую привлекательность.
  14. ^ Kempthorne, Оскар (1967). Классическая проблема вывода - согласия . Пятый симпозиум по математической статистике и теории вероятностей в Беркли. п. 235. Любопытно, что даже в своей деятельности, не связанной с этикой, человечество ищет религию. В настоящее время сильнее всего «проталкивается» религия - это байесовство.
  15. Перейти ↑ Bernardo, JM (2005). «Справочный анализ». Байесовское мышление - моделирование и вычисления . Справочник по статистике . 25 . С. 17–90. DOI : 10.1016 / S0169-7161 (05) 25002-2 . ISBN 9780444515391.
  16. ^ Wolpert, RL (2004). «Разговор с Джеймсом О. Бергером» . Статистическая наука . 9 : 205–218. DOI : 10.1214 / 088342304000000053 .
  17. ^ Бернардо, Хосе М. (2006). Учебник по байесовской математической статистике (PDF) . ICOTS-7. Берн.
  18. Перейти ↑ Bishop, CM (2007). Распознавание образов и машинное обучение . Springer.
  19. Перейти ↑ Halpern, J. (1999). «Контрпример к теоремам Кокса и Файна» (PDF) . Журнал исследований искусственного интеллекта . 10 : 67–85. DOI : 10.1613 / jair.536 . S2CID 1538503 .  
  20. ↑ Хакерство (1967), раздел 3, стр. 316
  21. ↑ Взлом (1988, стр.124)
  22. ^ Skyrms, Брайан (1 января 1987). «Динамическая когерентность и вероятностная кинематика». Философия науки . 54 (1): 1–20. CiteSeerX 10.1.1.395.5723 . DOI : 10.1086 / 289350 . JSTOR 187470 .  
  23. ↑ Джойс, Джеймс (30 сентября 2003 г.). «Теорема Байеса» . Стэнфордская энциклопедия философии . stanford.edu.
  24. ^ Фукс, Кристофер А .; Шак, Рюдигер (1 января 2012 г.). Бен-Менахем, Йемима; Хеммо, Меир (ред.). Вероятность в физике . Коллекция Frontiers. Springer Berlin Heidelberg. стр.  233 -247. arXiv : 1103,5950 . DOI : 10.1007 / 978-3-642-21329-8_15 . ISBN 9783642213281. S2CID  119215115 .
  25. ^ ван Фрассен, Бас (1989). Законы и симметрия . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-824860-1.
  26. Перейти ↑ Wald, Abraham (1950). Статистические функции принятия решений . Вайли.
  27. ^ Бернардо, Хосе М .; Смит, Адриан FM (1994). Байесовская теория . Джон Вили. ISBN 0-471-92416-4.
  28. ^ Pfanzagl (1967, 1968)
  29. ↑ Моргенштерн (1976, стр.65)
  30. ^ Galavotti, Maria Carla (1 января 1989). «Антиреализм в философии вероятности: субъективизм Бруно де Финетти». Erkenntnis . 31 (2/3): 239–261. DOI : 10.1007 / bf01236565 . JSTOR 20012239 . S2CID 170802937 .  
  31. ^ a b c Галавотти, Мария Карла (1 декабря 1991 г.). «Понятие субъективной вероятности в творчестве Рэмси и де Финетти». Теория . 57 (3): 239–259. DOI : 10.1111 / j.1755-2567.1991.tb00839.x . ISSN 1755-2567 . 
  32. ^ a b Докич, Жером; Энгель, Паскаль (2003). Фрэнк Рэмси: правда и успех . Рутледж. ISBN 9781134445936.
  33. ^ Дэвидсон и др. (1957)
  34. Рианна Торнтон, Стивен (7 августа 2018 г.). «Карл Поппер». Стэнфордская энциклопедия философии .
  35. ^ Поппер, Карл (2002) [1959]. Логика научного открытия (2-е изд.). Рутледж. п. 57. ISBN 0-415-27843-0 - через Google Книги. (перевод оригинала 1935 г. на немецком языке).
  36. ↑ Пирс и Джастроу (1885)
  37. ^ a b Бернардо, JM (2005). «Справочный анализ». In Dey, DK; Рао, CR (ред.). Справочник по статистике (PDF) . 25 . Амстердам: Эльзевир. С. 17–90.

Библиография [ править ]

  • Бергер, Джеймс О. (1985). Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ . Серия Спрингера в статистике (второе изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96098-2.
  • Бессьер, Пьер; Mazer, E .; Ahuacatzin, J.-M .; Мехнача, К. (2013). Байесовское программирование . CRC Press. ISBN 9781439880326.
  • Бернардо, Хосе М .; Смит, Адриан FM (1994). Байесовская теория . Вайли. ISBN 978-0-471-49464-5.
  • Бикель, Питер Дж .; Доксум, Челл А. (2001) [1976]. Основные и избранные темы . Математическая статистика. 1 (Второе изд.). Пирсон Прентис – Холл. ISBN 978-0-13-850363-5. Руководство по ремонту  0443141 . (обновленное издание, 2007 г., Holden-Day, 1976 г.)
  • Дэвидсон, Дональд ; Суппес, Патрик ; Сигел, Сидней (1957). Принятие решений: экспериментальный подход . Издательство Стэнфордского университета .
  • де Финетти, Бруно (1937). "La Prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives" [Предвидение: его логические законы, его субъективные источники]. Annales de l'Institut Henri Poincaré (на французском языке).
  • де Финетти, Бруно (сентябрь 1989 г.) [1931]. «Вероятность: критический очерк теории вероятностей и ценности науки». Erkenntnis . 31 . (перевод де Финетти, 1931 г.)
  • де Финетти, Бруно (1964) [1937]. «Предвидение: его логические законы, его субъективные источники». В Кибурге, HE; Смоклер, HE (ред.). Исследования субъективной вероятности . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Wiley. (перевод де Финетти, 1937 г., см. выше)
  • де Финетти, Бруно (1974–1975) [1970]. Теория вероятности: критическое вводное лечение . Перевод Machi, A .; Смит, AFM . Вайли. ISBN 0-471-20141-3., ISBN 0-471-20142-1 , в двух томах. 
  • Гертц, Гэри и Джеймс Махони. 2012. Повесть о двух культурах: качественные и количественные исследования в социальных науках . Издательство Принстонского университета.
  • ДеГрут, Моррис (2004) [1970]. Оптимальные статистические решения . Библиотека Wiley Classics. Вайли. ISBN 0-471-68029-X..
  • Взлом, Ян (декабрь 1967). «Чуть более реалистичная личная вероятность». Философия науки . 34 (4): 311–325. DOI : 10.1086 / 288169 . JSTOR  186120 .
    Частично перепечатано в Gärdenfors, Peter ; Сахлин, Нильс-Эрик (1988). Решение, вероятность и полезность: избранные материалы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-33658-9.
  • Hajek, A .; Хартманн, С. (2010) [2001]. «Байесовская эпистемология». In Dancy, J .; Sosa, E .; Steup, M. (ред.). Товарищ по эпистемологии (PDF) . Вайли. ISBN 978-1-4051-3900-7. Архивировано из оригинального (PDF) 28 июля 2011 года.
  • Халд, Андерс (1998). История математической статистики с 1750 по 1930 год . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-17912-2.
  • Hartmann, S .; Спренгер, Дж. (2011). «Байесовская эпистемология». В Bernecker, S .; Причард, Д. (ред.). Routledge Companion to Epistemology (PDF) . Рутледж. ISBN 978-0-415-96219-3. Архивировано из оригинального (PDF) 28 июля 2011 года.
  • "Байесовский подход к статистическим задачам" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Хаусон, К .; Урбах, П. (2005). Научное обоснование: байесовский подход (3-е изд.). Издательская компания «Открытый суд» . ISBN 978-0-8126-9578-6.
  • Джейнс, ET (2003). Теория вероятностей: логика науки . C. University Press. ISBN 978-0-521-59271-0.( «Ссылка на отрывочное издание марта 1996 г.» .
  • МакГрейн, С.Б. (2011). Теория, которая не умрет: как правление Байеса взломало код Enigma, выследило российские подводные лодки и вышло победителем из двухвековых споров . Нью-Хейвен, Коннектикут: Издательство Йельского университета. ISBN 9780300169690. OCLC  670481486 .
  • Моргенштерн, Оскар (1978). «Некоторые размышления о полезности ». В Schotter, Эндрю (ред.). Избранные экономические труды Оскара Моргенштерна . Издательство Нью-Йоркского университета. С. 65–70. ISBN 978-0-8147-7771-8.
  • Пирс, К.С. и Джастроу Дж. (1885). «О малых различиях в ощущениях» . Воспоминания Национальной академии наук . 3 : 73–83.
  • Pfanzagl, J (1967). «Субъективная вероятность, выведенная из теории полезности Моргенштерна-фон Неймана» . У Мартина Шубика (ред.). Очерки математической экономики в честь Оскара Моргенштерна . Издательство Принстонского университета. С.  237–251 .
  • Pfanzagl, J .; Бауманн В. и Хубер Х. (1968). «События, полезность и субъективная вероятность». Теория измерения . Вайли. С. 195–220.
  • Рэмси, Фрэнк Пламптон (2001) [1931]. «Глава VII: Истина и вероятность». Основы математики и другие логические сочинения . Рутледж. ISBN 0-415-22546-9. «Глава VII: Истина и вероятность» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 27 февраля 2008 года.
  • Стиглер, С.М. (1990). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года . Белкнап Пресс; Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-40341-3.
  • Стиглер, С.М. (1999). Статистика в таблице: История статистических концепций и методов . Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-83601-4.
  • Стоун, СП (2013). Правило Байеса: учебное введение в байесовский анализ . Англия: Sebtel Press. «Глава 1 правила Байеса » .
  • Винклер, Р.Л. (2003). Введение в байесовский вывод и решение (2-е изд.). Вероятностный. ISBN 978-0-9647938-4-2. Обновленный классический учебник. Байесовская теория четко представлена