В машиностроении параметры Денавита – Хартенберга (также называемые параметрами DH ) - это четыре параметра, связанные с определенным соглашением о прикреплении систем отсчета к звеньям пространственной кинематической цепи или робота-манипулятора .
Жак Денавит и Ричард Хартенберг ввели это соглашение в 1955 году, чтобы стандартизировать системы координат для пространственных связей . [1] [2]
Ричард Пол продемонстрировал ее ценность для кинематического анализа робототехнических систем в 1981 году. [3] Несмотря на то, что было разработано множество соглашений для присоединения систем отсчета, соглашение Денавита – Хартенберга остается популярным подходом.
Соглашение Денавита – Хартенберга
Обычно используемое соглашение для выбора системы отсчета в робототехнических приложениях - это соглашение Денавита и Хартенберга (D – H), которое было введено Жаком Денавитом и Ричардом С. Хартенбергом . В этом соглашении рамки координат прикрепляются к соединениям между двумя звеньями, так что одно преобразование связано с соединением [Z], а второе - со звеном [X]. Преобразования координат вдоль серийного робота, состоящего из n звеньев, образуют уравнения кинематики робота:
где [T] - преобразование, определяющее конечную ссылку.
Чтобы определить преобразования координат [Z] и [X], соединения, соединяющие звенья, моделируются как шарнирные или скользящие соединения, каждое из которых имеет уникальную линию S в пространстве, которая образует ось соединения и определяет относительное движение две ссылки. Типичный серийный робот характеризуется последовательностью из шести строк S i , i = 1, ..., 6, по одной для каждого сустава в роботе. Для каждой последовательности линий S i и S i +1 существует общая нормальная линия A i , i +1 . Система из шести шарнирных осей S i и пяти общих нормальных линий A i , i +1 формирует кинематический каркас типичного серийного робота с шестью степенями свободы. Денавит и Хартенберг ввели соглашение, согласно которому оси координат Z назначаются осям сустава S i, а оси координат X назначаются общим нормалям A i , i +1 .
Это соглашение позволяет определять движение звеньев вокруг общей оси шарнира S i по смещению винта ,
где θ i - вращение вокруг, а d i - скольжение по оси Z - любой из параметров может быть постоянным в зависимости от конструкции робота. Согласно этому соглашению размеры каждого звена в последовательной цепи определяются смещением винта вокруг общей нормали A i , i +1 от сочленения S i до S i +1 , которое задается формулой
где α i , i +1 и r i , i +1 определяют физические размеры звена в терминах угла, измеренного вокруг, и расстояния, измеренного по оси X.
Таким образом, системы отсчета представлены следующим образом:
в - ось в направлении оси шарнира
в -ось параллельна обычной нормали :(или от zn-1) Если нет единственной общей нормали (параллельная топоров), то (ниже) - свободный параметр. Направление из к , как показано на видео ниже.
Четыре параметра классической конвенции DH показаны красным текстом, которые . С этими четырьмя параметрами мы можем перевести координаты из к .
Следующие четыре параметра преобразования известны как параметры D – H :. [4]
: смещение по предыдущему к общему нормальному
: угол о предыдущем , из старых к новому
: длина обычного нормального (также известного как , но если вы используете это обозначение, не путайте с ). Предполагая поворотный шарнир, это радиус относительно предыдущего.
: угол около обычного нормального, от старого ось к новому ось
Визуализация параметризации D – H доступна: YouTube
При компоновке кадра можно выбрать, будет ли предыдущий ось или следующая точки по общей нормали. Последняя система позволяет более эффективно разветвлять цепочки, поскольку все несколько фреймов могут указывать от своего общего предка, но в альтернативной компоновке предок может указывать только на одного преемника. Таким образом, обычно используемые обозначения помещают каждую нисходящую цепочку ось коллинеарна с общей нормалью, что дает расчеты преобразования, показанные ниже.
Мы можем отметить ограничения на отношения между осями:
в -ось перпендикулярна обоим а также топоры
в -ось пересекает оба а также топоры
происхождение сустава находится на пересечении а также
завершает правостороннюю систему отсчета на основе а также
Матрица Денавита – Хартенберга
Обычно смещение винта разделяют на произведение чистого перемещения вдоль линии и чистого вращения вокруг прямой [5] [6], так что
а также
Используя эту нотацию, каждая связь может быть описана преобразованием координат из параллельной системы координат в предыдущую систему координат.
Обратите внимание, что это продукт двух смещений винта . Матрицы, связанные с этими операциями:
Это дает:
где R - подматрица 3 × 3, описывающая вращение, а T - подматрица 3 × 1, описывающая перемещение.
В некоторых книгах порядок преобразования пары последовательного вращения и перевода (например, а также ) заменяется. Однако, поскольку порядок умножения матриц для такой пары не имеет значения, результат тот же. Например:.
Использование матриц Денавита и Хартенберга
Обозначения Денавита и Хартенберга дают стандартную методологию для написания кинематических уравнений манипулятора. Это особенно полезно для серийных манипуляторов, где матрица используется для представления позы (положения и ориентации) одного тела по отношению к другому.
Положение тела относительно может быть представлена матрицей позиций, обозначенной символом или же
Эта матрица также используется для преобразования точки из кадра к
Где верхний левый подматрица представляет взаимную ориентацию двух тел, а верхний правый представляет их относительное положение или, более конкретно, положение тела в кадре n - 1, представленном элементом кадра n .
Положение тела относительно тела может быть получено как произведение матриц, представляющих позу в отношении и что из в отношении
Важным свойством матриц Денавита и Хартенберга является то, что обратная матрица
Дополнительные матрицы могут быть определены для представления скорости и ускорения тел. [5] [6] Скорость тела относительно тела может быть представлен в рамке по матрице
где угловая скорость тела относительно тела и все компоненты выражены в кадре ; скорость одной точки тела относительно тела (полюс). Полюс - это точка проходя через начало кадра .
Матрицу ускорения можно определить как сумму производной скорости по времени плюс квадрат скорости.
Скорость и ускорение в кадре точки тела можно оценить как
Также можно доказать, что
Матрицы скорости и ускорения складываются в соответствии со следующими правилами
другими словами, абсолютная скорость - это сумма родительской скорости плюс относительная скорость; для ускорения также присутствует член Кориолиса.
Компоненты матриц скорости и ускорения выражаются в произвольной системе отсчета и преобразовать из одного кадра в другой по следующему правилу
Динамика
Для динамики необходимы еще три матрицы для описания инерции , линейный и угловой момент , а силы и моменты наносится на тело.
Инерция :
где масса, представляют положение центра масс, а члены представляют инерцию и определяются как
Матрица действий , содержащий силу и крутящий момент :
Матрица моментума , содержащий линейные и угловой импульс
Все матрицы представлены компонентами вектора в определенном кадре. . Трансформация компонентов из рамы к кадру следует правилу
Описанные матрицы позволяют кратко записывать динамические уравнения.
Закон Ньютона:
Импульс:
Первое из этих уравнений выражает закон Ньютона и является эквивалентом векторного уравнения (сила равна массе, умноженной на ускорение) плюс (угловое ускорение в зависимости от инерции и угловой скорости); второе уравнение позволяет оценить линейный и угловой момент, когда известны скорость и инерция.
Измененные параметры DH
В некоторых книгах, таких как « Введение в робототехнику: механика и управление» (3-е издание) [7], используются модифицированные параметры DH. Отличие классических параметров DH от модифицированных параметров DH заключается в расположении привязки системы координат к звеньям и порядке выполняемых преобразований.
Измененные параметры DH
По сравнению с классическими параметрами DH координаты кадра помещается на ось i - 1, а не на ось i в классическом соглашении DH. Координатыпомещается на ось i , а не на ось i + 1 в классическом соглашении DH.
Другое отличие состоит в том, что согласно модифицированному соглашению матрица преобразования задается следующим порядком операций:
Таким образом, матрица модифицированных параметров DH принимает вид
Обратите внимание, что в некоторых книгах (например: [8] ) используется а также для указания длины и поворота звена n - 1, а не звена n . Как следствие, формируется только с параметрами, использующими один и тот же индекс.
В некоторых книгах порядок преобразования пары последовательного вращения и перевода (например, а также ) заменяется. Однако, поскольку порядок умножения матриц для такой пары не имеет значения, результат тот же. Например:.
Опубликованы обзоры конвенций ЦО и их различий. [9] [10] Визуализацию определения параметров DH можно легко наблюдать и понимать с помощью программного обеспечения для моделирования под названием RoboAnalyzer . [11]
^ Денавит, Жак; Хартенберг, Ричард Шойнеманн (1955). «Кинематическая запись для механизмов нижних пар на основе матриц». Trans ASME J. Appl. Мех . 23 : 215–221.
^Хартенберг, Ричард Шойнеманн; Денавит, Жак (1965). Кинематический синтез связей . Серия McGraw-Hill в машиностроении. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 435. Архивировано 28.09.2013 . Проверено 13 января 2012 .
^Spong, Mark W .; Видьясагар, М. (1989). Динамика и управление роботом . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 9780471503521.
^ а бЛеньяни, Джованни; Казоло, Федерико; Ригеттини, Паоло; Заппа, Бруно (1996). «Однородный матричный подход к трехмерной кинематике и динамике - I. Теория». Теория механизмов и машин . 31 (5): 573–587. DOI : 10.1016 / 0094-114X (95) 00100-D .
^ а бЛеньяни, Джованни; Казоло, Федерико; Ригеттини, Паоло; Заппа, Бруно (1996). «Однородный матричный подход к трехмерной кинематике и динамике - II. Приложения к цепям твердых тел и серийным манипуляторам». Теория механизмов и машин . 31 (5): 589–605. DOI : 10.1016 / 0094-114X (95) 00101-4 .
^ Джон Дж. Крейг, Введение в робототехнику: механика и управление (3-е издание) ISBN 978-0201543612
^Халил, Висама; Домбре, Этьен (2002). Моделирование, идентификация и управление роботами . Нью-Йорк: Тейлор Фрэнсис. ISBN 1-56032-983-1. Архивировано 12 марта 2017 года . Проверено 22 сентября 2016 .
^Липкин, Харви (2005). «Заметка о нотации Денавита – Хартенберга в робототехнике». Том 7: 29 Механизмы и робототехника конференции, Части А и В . 2005 . С. 921–926. DOI : 10.1115 / DETC2005-85460 . ISBN 0-7918-4744-6.
^Уолдрон, Кеннет; Шмиделер, Джеймс (2008). «Кинематика». Справочник Springer по робототехнике . С. 9–33. DOI : 10.1007 / 978-3-540-30301-5_2 . ISBN 978-3-540-23957-4.
^«RoboAnalyzer: Программное обеспечение для обучения робототехнике на основе 3D-моделей: домашняя страница» . Робоанализатор . Проверено 20 июня 2020 .