Теорема плотности (теория категорий)

В теории категорий , в области математики, то теорема плотности состояния , что каждый предпучок множеств являются копределом из изображаемых предпучков каноническим образом. ^[1]

Например, по определению симплициальное множество - это предпучок на симплексной категории Δ, а представимое симплициальное множество имеет в точности форму (называемую стандартным n- симплексом), поэтому теорема гласит: для каждого симплициального множества X ,${\ displaystyle \ Delta ^ {n} = \ operatorname {Hom} (-, [n])}$

${\ Displaystyle X \ simeq \ varinjlim \ Delta ^ {n}}$

где colim пробегает в категории индекса определяется X .

Заявление [ править ]

Пусть F предпучок категории C ; т. е. объект категории функторов . Для индекса категории , над которым копредел будет работать, пусть я быть категорией элементов из F : это категория , где${\ displaystyle {\ widehat {C}} = \ mathbf {Fct} (C ^ {\ text {op}}, \ mathbf {Set})}$

1. объект - это пара, состоящая из объекта U в C и элемента ,${\ Displaystyle (U, х)}$${\ Displaystyle х \ в F (U)}$
2. морфизм состоит из морфизма в C, такого что${\ Displaystyle (U, х) \ к (V, y)}$${\ displaystyle u: от U \ до V}$${\ displaystyle (Fu) (y) = x.}$

У него есть функтор забывчивости .${\ displaystyle p: I \ to C}$

Тогда F - копредел диаграммы (т. Е. Функтор)

${\ displaystyle I {\ overset {p} {\ to}} C \ to {\ widehat {C}}}$

где вторая стрелка есть вложение Йонедов : .${\displaystyle U\mapsto h_{U}=\operatorname {Hom} (-,U)}$

Доказательство [ править ]

Обозначим через f приведенную выше диаграмму. Чтобы показать, что копредел f равен F , нам нужно показать: для каждого предпучка G на C существует естественная биекция:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,G)\simeq \operatorname {Hom} (f,\Delta _{G})}$

где - постоянный функтор со значением G, а Hom справа означает множество естественных преобразований. Это потому, что универсальное свойство копредела сводится к тому, чтобы сказать, что это левый сопряженный к диагональному функтору${\displaystyle \Delta _{G}}$${\displaystyle \varinjlim -}$${\displaystyle \Delta _{-}.}$

Для этого позвольте быть естественным преобразованием. Это семейство морфизмов, индексированных объектами в I :${\displaystyle \alpha :f\to \Delta _{G}}$

${\displaystyle \alpha _{U,x}:f(U,x)=h_{U}\to \Delta _{G}(U,x)=G}$

который удовлетворяет свойству: для каждого морфизма в I , (поскольку )${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}$${\displaystyle \alpha _{V,y}\circ h_{u}=\alpha _{U,x}}$${\displaystyle f((U,x)\to (V,y))=h_{u}.}$

Лемма Йонеды утверждает, что существует естественная биекция . В соответствии с этим взаимно однозначным соответствием соответствует уникальный элемент . У нас есть:${\displaystyle G(U)\simeq \operatorname {Hom} (h_{U},G)}$${\displaystyle \alpha _{U,x}}$${\displaystyle g_{U,x}\in G(U)}$

${\displaystyle (Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}}$

поскольку согласно лемме Йонеды соответствует${\displaystyle Gu:G(V)\to G(U)}$${\displaystyle -\circ h_{u}:\operatorname {Hom} (h_{V},G)\to \operatorname {Hom} (h_{U},G).}$

Теперь для каждого объекта U в C , пусть будет функция, заданная . Это определяет естественное преобразование ; действительно, для каждого морфизма в I мы имеем:${\displaystyle \theta _{U}:F(U)\to G(U)}$${\displaystyle \theta _{U}(x)=g_{U,x}}$${\displaystyle \theta :F\to G}$${\displaystyle (U,x)\to (V,y),u:U\to V}$

${\displaystyle (Gu\circ \theta _{V})(y)=(Gu)(g_{V,y})=g_{U,x}=(\theta _{U}\circ Fu)(y),}$

с тех пор . Ясно, что конструкция обратима. Следовательно, это необходимая естественная биекция.${\displaystyle (Fu)(y)=x}$${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$${\displaystyle \alpha \mapsto \theta }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Тексты для выпускников по математике . 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .