Алгебра Дирака

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален
Найти источники: «Алгебра Дирака» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( декабрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математической физике , то алгебра Дирака является алгебра Клиффорда Cℓ ₄ ( С ), который можно рассматривать как Cℓ _1,3 ( C ). Это было введено математиком-физиком П.А.М. Дираком в 1928 году при разработке уравнения Дирака для частиц со спином 1/2 с матричным представлением с гамма-матрицами Дирака , которые представляют генераторы алгебры.

Гамма-элементы имеют определяющее соотношение

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }\mathbf {1}

где - компоненты метрики Минковского с сигнатурой (+ - - -), а - единичный элемент алгебры ( единичная матрица в случае матричного представления). Это позволяет определить скалярное произведение $\eta ^{\mu \nu }\,$ $\mathbf {1}$

\displaystyle \langle a,b\rangle =\sum _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }a_{\mu }b_{\nu }^{\dagger }

где

\,a=\sum _{\mu }a_{\mu }\gamma ^{\mu }

и .

\,b=\sum _{\nu }b_{\nu }\gamma ^{\nu }

Высшие силы [ править ]

Сигмы ^[1]

\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right],

( I4 )

только $6$ из них ненулевые из-за антисимметрии скобки, охватывают внутри шестимерное пространство представления тензорного $(1, 0) \oplus (0, 1)$ -представления алгебры Лоренца . Более того, они обладают коммутационными соотношениями алгебры Ли, ^[2] ${\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )$

i\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \tau }\right]=\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }-\eta ^{\mu \rho }\sigma ^{\nu \tau }-\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\tau \nu }\sigma ^{\rho \mu },

( I5 )

и , следовательно , образует представление алгебры Лоренца (в дополнении к затягивающей представление пространства) сидит внутри $($ ${\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} ),$ $1 / 2, 0) \oplus (0, 1 / 2)$ спиновое представление.

Вывод из уравнения Дирака и Клейна – Гордона [ править ]

Определяющую форму гамма-элементов можно вывести, если принять ковариантную форму уравнения Дирака :

-i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +mc\psi =0\,.

и уравнение Клейна – Гордона :

-\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi

должно быть дано, и требует, чтобы эти уравнения приводили к согласованным результатам.

Вывод из требования согласованности (доказательство)

Умножение уравнения Дирака на сопряженное уравнение дает:

\psi ^{\dagger }(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)(-i\hbar \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+mc)\psi =0\,.

Требование согласованности с уравнением Клейна – Гордона немедленно приводит к:

\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}

где - антикоммутатор , - метрика Минковского с сигнатурой (+ - - -) и - единичная матрица 4x4. ^[3] $\{,\}$ $\eta ^{\mu \nu }\,$ $\ I_{4}\,$

Cℓ _1,3 ( $ℂ$ ) и Cℓ _1,3 ( $ℝ$ ) [ править ]

Алгебру Дирака можно рассматривать как комплексификацию алгебры вещественного пространства-времени Cℓ _1,3 ( $ℝ$ ):

\mathrm {C\ell } _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {C\ell } _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} .

Cℓ _1,3 ( $ℝ$ ) отличается от Cℓ _1,3 ( $ℂ$ ): в Cℓ _1,3 ( $ℝ$ ) разрешены только действительные линейные комбинации гамма-матриц и их произведений.

Сторонники геометрической алгебры стремятся работать с действительными алгебрами везде, где это возможно. Они утверждают, что обычно возможно (и обычно поучительно) идентифицировать присутствие воображаемой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре Клиффорда, квадратов к -1, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. Некоторые из этих сторонников также задаются вопросом, нужно ли или даже полезно ли вводить дополнительную мнимую единицу в контексте уравнения Дирака.

В математике римановой геометрии принято определять алгебру Клиффорда Cℓ _{p, q} ( $ℝ$ ) для произвольных размерностей $p, q$ ; антикоммутация спиноров Вейля естественным образом возникает из алгебры Клиффорда. ^[4] Спиноры Вейля преобразуются под действием спиновой группы . Комплексификация спиновой группы, называемая спинковой группой , представляет собой произведение спиновой группы с кругом, причем произведение является просто условным обозначением для идентификации с $\mathrm {Spin} (n)$ $\mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)$ $\mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}$ $S^{1}\cong U(1)$ $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ $(a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}$ $(-a,-u).$ Геометрическая точка этого состоит в том, что он отделяет реальный спинор, ковариантный относительно преобразований Лоренца, от компонента, который можно отождествить с волокном электромагнитного взаимодействия. Это перепутывание четности и зарядового сопряжения способом, подходящим для установления связи между дираковскими частицами и античастицами (эквивалентно, киральными состояниями в базисе Вейля). Биспинор , постольку , поскольку он имеет линейно независимые левые и правые компоненты, могут взаимодействовать с электромагнитным полем. Это отличается от спинора Майораны и спинора ELKO, которые не могут ( т.е. они электрически нейтральны), поскольку они явно ограничивают спинор так, чтобы не взаимодействовать с ним. $U(1)$ $U(1)$ $\times _{\mathbb {Z} _{2}}$ $S^{1}$ часть происходит от усложнения.

Поскольку представление заряда и четности может быть запутанной темой в обычных учебниках квантовой теории поля, более тщательное рассмотрение этих тем в общей геометрической обстановке может прояснить ситуацию. Стандартные изложения алгебры Клиффорда строят спиноры Вейля из первых принципов; то, что они «автоматически» антикоммутируют, является элегантным геометрическим побочным продуктом конструкции, полностью игнорируя любые аргументы, апеллирующие к принципу исключения Паули (или иногда распространенное ощущение, что переменные Грассмана были введены посредством специальной аргументации).

В современной практике физики алгебра Дирака продолжает оставаться стандартной средой, в которой «живут» спиноры уравнения Дирака, а не алгеброй пространства-времени.

См. Также [ править ]

Гамма-матрицы более высокой размерности
Фирц идентичность

Ссылки [ править ]

^ Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.6
^ Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.4,раздел 5.4.
^ см. также: Victoria Martin, Lecture Notes SH Particle Physics 2012 , Lecture Notes 5–7, Section 5.5 Гамма-матрицы
^ Юрген Йост (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)", Springer Universitext. См. Раздел 1.8

[1] Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.6

[ReferenceA-2] Вайнберг 2002 , уравнение 5.4.4,раздел 5.4.

[3] см. также: Victoria Martin, Lecture Notes SH Particle Physics 2012 , Lecture Notes 5–7, Section 5.5 Гамма-матрицы

[4] Юрген Йост (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)", Springer Universitext. См. Раздел 1.8

[1]