В астрофизике эллипсоидальная задача Дирихле , названная в честь Питера Густава Лежена Дирихле , ставит вопрос о том, при каких условиях может существовать эллипсоидальная конфигурация во все времена однородной вращающейся жидкой массы, в которой движение в инерциальной системе отсчета является линейной функцией координат. Основная идея Дирихле заключалась в том, чтобы свести уравнения Эйлера к системе обыкновенных дифференциальных уравнений таким образом, чтобы положение жидкой частицы в однородном эллипсоиде в любой момент времени было линейной и однородной функцией начального положения жидкой частицы, с использованием лагранжевой структуры вместо Эйлеров каркас. [1] [2] [3]
История
Зимой 1856-57 годов Дирихле нашел некоторые решения уравнений Эйлера и представил их в своих лекциях по уравнениям в частных производных в июле 1857 года и опубликовал результаты в том же месяце. [4] Его работа осталась незавершенной после его внезапной смерти в 1859 году, но его записи были сопоставлены и опубликованы Ричардом Дедекиндом посмертно в 1860 году. [5]
Бернхард Риман сказал: «В своей посмертной статье, отредактированной для публикации Дедекиндом, Дирихле самым замечательным образом открыл совершенно новый путь для исследований движения самогравитирующего однородного эллипсоида. Дальнейшее развитие его прекрасного открытие представляет особый интерес для математиков даже помимо того, что оно имеет отношение к формам небесных тел, которые изначально положили начало этим исследованиям ».
Формулировка Римана-Лебовица
Задача Дирихле обобщается Бернхард Риман в 1860 году [6] и Норман Р. Lebovitz в современном виде в 1965 г. [7] Пустьбыть полуосями эллипсоида, который меняется со временем. Поскольку эллипсоид однороден, постоянство массы требует постоянства объема эллипсоида,
такой же, как и исходный объем. Рассмотрим инерциальную систему отсчета и вращающаяся рама , с участием - линейное преобразование, такое что и ясно, что ортогонален, т. е. . Мы можем определить антисимметричную матрицу с этим,
где мы можем написать двойственное из в виде (а также ), где есть не что иное, как зависящее от времени вращение вращающейся системы отсчета относительно инерциальной системы отсчета.
Без ограничения общности предположим, что инерциальная система отсчета и подвижная система отсчета изначально совпадают, т. Е. . По определению, задача Дирихле ищет решение, которое является линейной функцией начального условия. Примем следующий вид:
- .
и определим диагональную матрицу с диагональными элементами, являющимися полуосями эллипсоида, то приведенное выше уравнение может быть записано в матричной форме как
где . Тогда можно показать, что матрица преобразует вектор линейно к тому же вектору в любое более позднее время , т.е. . Из определения, мы можем реализовать вектор представляет собой единичную нормаль на поверхности эллипсоида (истинно только на границе), поскольку жидкий элемент на поверхности движется вместе с поверхностью. Таким образом, мы видим, что преобразует один единичный вектор на границе в другой единичный вектор на границе, другими словами, он ортогонален, т. е. . Таким же образом, как и раньше, мы можем определить другую антисимметричную матрицу как
- ,
где его двойник определяется как (а также ). Проблема в равномерной завихренности. с компонентами, заданными
Давление может принимать только квадратичную форму, что видно из уравнения импульса (и с использованием условия обращения в нуль на поверхности), задаваемого формулой
где это центральное давление, так что . Наконец, уравнение тензорного импульса сводится к
где - гравитационная постоянная и - диагональная матрица, диагональные элементы которой имеют вид
- .
Тензорное уравнение импульса и уравнение сохранения массы, т. Е. дает нам десять уравнений для десяти неизвестных, .
Теорема Дедекинда
В нем говорится, что если движение определяется допустимо в условиях задачи Дирихле, то движение, определяемое транспонированной из также допустимо. Другими словами, теорема может быть сформулирована так, как для любого состояния движений, которое сохраняет эллипсоидальную фигуру, существует сопряженное состояние движений, которое сохраняет ту же эллипсоидальную фигуру .
Путем транспонирования тензорного уравнения импульса видно, что роль а также меняются местами. Если есть решение для, то для того же , существует другое решение с ролью а также поменялись местами. Но меняя местами а также эквивалентно замене от . Следующие соотношения подтверждают предыдущее утверждение.
где дальше
- .
Типичной конфигурацией этой теоремы является эллипсоид Якоби, а его сопряженный элемент называется эллипсоидом Дедекинда, другими словами, оба эллипсоида имеют одинаковую форму, но их внутренние движения жидкости различны.
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Chandrasekhar, S. (1969). Эллипсоидальные фигуры равновесия (т. 10, с. 253). Нью-Хейвен: издательство Йельского университета.
- Перейти ↑ Chandrasekhar, S. (1967). Эллипсоидальные фигуры равновесия - исторический отчет. Сообщения по чистой и прикладной математике, 20 (2), 251-265.
- ^ Lebovitz, NR (1998). Математическое развитие классических эллипсоидов. Международный журнал технических наук, 36 (12), 1407-1420.
- Перейти ↑ Dirichlet G. Lejeune, Nach. фон дер Кениг. Геселл. дер Висс. zu Gött. 14 (1857) 205
- ^ Дирихле, PGL (1860). Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik (Том 8). Dieterichschen Buchhandlung.
- ^ Риман, Б. (1860). Über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite. Verlag der Dieterichschen Buchhandlung.
- ^ Норман Р. Лебовиц (1965), Эллипсоиды Римана (конспекты лекций, Inst. Ap., Cointe-Sclessin, Бельгия)