Сфероид Маклорена

Сфероид Маклорена представляет собой сплюснутый сфероид , возникающий при вращении самогравитирующего жидкого тела однородной плотности с постоянной угловой скоростью. Этот сфероид назван в честь шотландского математика Колина Маклорена ^, который сформулировал его для формы Земли в 1742 году. плотное железное ядро. Сфероид Маклорена считается простейшей моделью вращающихся эллипсоидальных фигур в гидростатическом равновесии , поскольку он предполагает однородную плотность.

Для сфероида с экваториальной большой полуосью и полярной малой полуосью угловая скорость относительно определяется формулой Маклорена ^[2]${\ Displaystyle а}$${\ Displaystyle с}$${\ Displaystyle \ Омега}$${\ Displaystyle с}$

где – эксцентриситет меридиональных сечений сфероида, – плотность , – гравитационная постоянная . Формула предсказывает две возможные равновесные фигуры , когда одна является сферой ( ), а другая - сильно сплющенным сфероидом ( ). Максимальная угловая скорость возникает при эксцентриситете и ее значение равно , так что выше этой скорости не существует равновесных фигур. Угловой момент равен${\ Displaystyle е}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega \rightarrow 0}$${\displaystyle e\rightarrow 0}$${\displaystyle e\rightarrow 1}$${\displaystyle e=0.92996}$${\displaystyle \Omega ^{2}/(\pi G\rho )=0.449331}$${\displaystyle L}$

где - масса сфероида и - средний радиус , радиус сферы того же объема, что и сфероид.${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {a}}}$

Для сфероида Маклорена с эксцентриситетом больше 0,812670 ^[3] эллипсоид Якоби с таким же угловым моментом имеет меньшую полную энергию. Если такой сфероид состоит из вязкой жидкости и если он подвергается возмущению, нарушающему его вращательную симметрию, то он будет постепенно вытягиваться в эллипсоидальную форму Якоби, рассеивая при этом свою избыточную энергию в виде тепла. Это называется вековой нестабильностью . Однако для аналогичного сфероида, состоящего из невязкой жидкости, возмущение просто приведет к незатухающим колебаниям. Это описывается как динамическая (или обычная ) устойчивость .

Сфероид Маклорена с эксцентриситетом более 0,952887 ^[3] является динамически неустойчивым. Даже если он состоит из невязкой жидкости и не имеет средств потери энергии, подходящее возмущение будет расти (по крайней мере, вначале) экспоненциально. Динамическая нестабильность подразумевает вековую нестабильность (а вековая стабильность подразумевает динамическую стабильность). ^[4]

Угловая скорость для сфероида Маклорена