Форма Дирихле

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом . Пожалуйста, помогите улучшить статью , предоставив читателю больше контекста . ( Сентябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В области математики, известной как теория потенциала (и в функциональном анализе ), форма Дирихле - это обобщение лапласиана, которое может быть определено на любом пространстве с мерой , без необходимости упоминания частных производных . Это позволяет математикам изучать уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности на пространствах, которые не являются многообразиями : например, фракталы . Преимущество этих пространств заключается в том, что это можно сделать без использования оператора градиента., и, в частности, таким образом можно даже слабо определить «лапласиан», если исходить из формы Дирихле.

Определение [ править ]

При работе над "классической" формой Дирихле задают: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

{\mathcal {E}}(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\;dx

где часто обсуждают, что часто называют «энергией» функции . ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ $u(x)$

В более общем смысле форма Дирихле - это марковская замкнутая симметрическая форма на L ² -пространстве . ^[1] В частности, форма Дирихле на пространстве с мерой является билинейной функцией $(X,\mu )$

{\mathcal {E}}:D\times D\to \mathbb {R}

такой, что

1) представляет собой плотное подмножество из $D$ $L^{2}(X,\mu )$

2) симметрично, то есть для каждого . ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)$ $u,v\in D$

3) для каждого . ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ $u\in D$

4) Множество, снабженное скалярным произведением, определенным с помощью, является действительным гильбертовым пространством. $D$ $(u,v)_{\mathcal {E}}:=(u,v)_{L^{2}(X,\mu )}+{\mathcal {E}}(u,v)$

5) Для каждого у нас есть то и $u\in D$ $u_{*}=\min(\max(u,0),1)\in D$ ${\mathcal {E}}(u_{*},u_{*})\leq {\mathcal {E}}(u,u)$

Другими словами, форма Дирихле - это не что иное, как неотрицательная симметричная билинейная форма, определенная на плотном подмножестве таких, что выполняются 4) и 5). $L^{2}(X,\mu )$

В качестве альтернативы сама квадратичная форма известна как форма Дирихле и по-прежнему обозначается как , so . $u\to {\mathcal {E}}(u,u)$ ${\mathcal {E}}$ ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)$

Гармонические функции [ править ]

Функции, которые минимизируют энергию при определенных граничных условиях, называются гармоническими, и связанный с ними лапласиан (слабый или нет) будет равен нулю внутри, как и ожидалось.

Например, пусть будет стандартная форма Дирихле, определенная для как ${\mathcal {E}}$ $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$

{\mathcal {E}}(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\;dx

Тогда гармоническая функция в стандартном смысле, т. Е. Такая, что будет иметь, как можно видеть при интегрировании по частям. $\Delta u=0$ ${\mathcal {E}}(u)=0$

В качестве альтернативного примера стандартная форма графа Дирихле имеет вид:

{\mathcal {E}}_{G}(u,v)=\sum _{x\sim y}((u(x)-u(y))(v(x)-v(y))

где означает, что они соединены ребром. Пусть выбрано подмножество множества вершин и назовем его границей графа. Назначьте граничное условие Дирихле (выберите действительные числа для каждой граничной вершины). Можно найти функцию, которая минимизирует энергию графика, и она будет гармонической. В частности, он будет удовлетворять свойству усреднения, которое воплощено в лапласиане графа, то есть, если является гармоническим графом, то это эквивалентно свойству усреднения . $x\sim y$ $u_{G}(x)$ $\Delta _{G}u_{G}(x)=\sum _{y\sim x}(u_{G}(y)-u_{G}(x))=0$ $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$

Технически такие объекты изучаются в абстрактной теории потенциала , основанной на классическом принципе Дирихле . Теория форм Дирихле возникла в работах Берлинга и Дени ( 1958 , 1959 ) о пространствах Дирихле.

Интегральные ядра [ править ]

Другой пример формы Дирихле дает

{\mathcal {E}}(u)=\iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}(u(y)-u(x))^{2}k(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y

где - некоторое неотрицательное симметричное интегральное ядро . $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

Если ядро удовлетворяет оценке , то квадратичная форма ограничена в . Если кроме того, то форма сравнима с нормой в квадрате, и в этом случае набор, определенный выше, задается формулой . Таким образом, формы Дирихле являются естественным обобщением интегралов Дирихле. $k$ $k(x,y)\leq \Lambda |x-y|^{-n-s}$ ${\dot {H}}^{s/2}$ $\lambda |x-y|^{-n-s}\leq k(x,y)$ ${\dot {H}}^{s/2}$ $D\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ $H^{s/2}(\mathbb {R} ^{n})$

{\mathcal {E}}(u)=\int (A\nabla u,\nabla u)\;\mathrm {d} x,

где - положительно симметричная матрица. Уравнение Эйлера-Лагранжа формы Дирихле является нелокальным аналогом эллиптического уравнения в дивергентной форме. Уравнения этого типа изучаются с помощью вариационных методов, и ожидается, что они будут обладать аналогичными свойствами. ^[2]^[3]^[4] $A(x)$

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Fukushima, M, Oshima, Y., & Takeda, M. (1994). Формы Дирихле и симметричные марковские процессы. Walter de Gruyter & Co, ISBN 3-11-011626-X
^ Барлоу, Мартин Т .; Басс, Ричард Ф .; Чен, Чжэнь-Цин; Кассманн, Мориц (2009), «Нелокальные формы Дирихле и симметричные скачкообразные процессы», Труды Американского математического общества , 361 (4): 1963–1999, arXiv : math / 0609842 , doi : 10.1090 / S0002-9947-08 -04544-3 , ISSN 0002-9947
^ Kassmann, Moritz (2009), "Оценки Априорных для интегро-дифференциальных операторов с измеримыми ядрами", Вариационного исчисление и дифференциальные уравнения в частных , 34 (1): 1-21, DOI : 10.1007 / s00526-008-0173-6 , ISSN 0944-2669
^ Каффарелли, Луис; Чан, Чи Хин; Вассер, Алексис (2011), "Теория Закономерность для параболических нелинейных интегральных операторов", журнал Американского математического общества , 24 (24): 849-869, DOI : 10,1090 / S0894-0347-2011-00698-X , ISSN 0894- 0347

Берлинг, Арне; Запретить, J. (1958), "Espaces де Дирихле И. Ле саз élémentaire.", Acta Mathematica , 99 (1): 203-224, DOI : 10.1007 / BF02392426 , ISSN 0001-5962 , MR 0098924
Берлинг, Арне; Дени, Дж. (1959), «Пространства Дирихле», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 45 (2): 208–215, Bibcode : 1959PNAS ... 45..208B , doi : 10.1073 /pnas.45.2.208 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 90170 , MR 0106365 , PMC 222537 , PMID 16590372
Фукусима, Масатоши (1980), формы Дирихле и марковские процессы , Математическая библиотека Северной Голландии, 23 , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85421-6, Руководство по ремонту 0569058
Йост, Юрген; Кендалл, Уилфрид; Моско, Умберто; Рёкнер, Михаэль; Штурм, Карл-Теодор (1998), Новые направления в формах Дирихле , Исследования AMS / IP в продвинутой математике, 8 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv + 277, ISBN 978-0-8218-1061-3, Руководство по ремонту 1652277.
"Абстрактная теория потенциала" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Перейти ↑ Fukushima, M, Oshima, Y., & Takeda, M. (1994). Формы Дирихле и симметричные марковские процессы. Walter de Gruyter & Co, ISBN 3-11-011626-X

[BBCK-2] Барлоу, Мартин Т .; Басс, Ричард Ф .; Чен, Чжэнь-Цин; Кассманн, Мориц (2009), «Нелокальные формы Дирихле и симметричные скачкообразные процессы», Труды Американского математического общества , 361 (4): 1963–1999, arXiv : math / 0609842 , doi : 10.1090 / S0002-9947-08 -04544-3 , ISSN 0002-9947

[K-3] Kassmann, Moritz (2009), "Оценки Априорных для интегро-дифференциальных операторов с измеримыми ядрами", Вариационного исчисление и дифференциальные уравнения в частных , 34 (1): 1-21, DOI : 10.1007 / s00526-008-0173-6 , ISSN 0944-2669

[CCV-4] Каффарелли, Луис; Чан, Чи Хин; Вассер, Алексис (2011), "Теория Закономерность для параболических нелинейных интегральных операторов", журнал Американского математического общества , 24 (24): 849-869, DOI : 10,1090 / S0894-0347-2011-00698-X , ISSN 0894- 0347

[1]