Чтобы установить изоморфизм Дольбо, нам нужно доказать лемму Дольбо – Гротендика (или -Лемма Пуанкаре). Сначала докажем одномерный вариант-Лемма Пуанкаре; мы будем использовать следующую обобщенную форму интегрального представления Коши для гладких функций :
Предложение : Пусть открытый шар с центром в радиуса открыть и , тогда
Лемма (-Лемма Пуанкаре на комплексной плоскости): Пусть быть как прежде и гладкая форма, то
удовлетворяет на
Доказательство. Мы утверждаем, что определенная выше, является корректно определенной гладкой функцией, такой что находится на местном уровне -точный. Чтобы показать это, мы выбираем точку и открытый район , то можно найти гладкую функцию носитель которого компактен и лежит в а также Тогда мы можем написать
и определить
С в тогда четко очерченный и гладкий; мы отмечаем, что
что действительно хорошо определено и гладко, поэтому то же самое верно и для . Теперь покажем, что на .
поскольку голоморфен в .
применяя обобщенную формулу Коши к мы нашли
поскольку , но потом на . QED
Доказательство леммы Дольбо – Гротендика.
Теперь мы готовы доказать лемму Дольбо – Гротендика; представленное здесь доказательство принадлежит Гротендику . [1] Обозначим черезоткрытый полидиск с центром в с радиусом .
Лемма (Дольбо – Гротендик): Пусть где открыть и такой, что , то существует который удовлетворяет: на
Прежде чем приступить к доказательству, заметим, что любое -форму можно записать как
для мультииндексов , поэтому мы можем свести доказательство к случаю .
Доказательство. Позволять наименьший индекс такой, что в пучке -модулей, проводим индукцию по . Для у нас есть поскольку ; далее мы предполагаем, что если тогда существует такой, что на . Тогда предположим и обратите внимание, что мы можем написать
С является -закрыто следует, что голоморфны по переменным и разгладить оставшиеся на полидиске . Кроме того, мы можем применить-Лемма Пуанкаре о гладких функциях на открытом шаре , значит, существует семейство гладких функций которые удовлетворяют
также голоморфны в . Определять
тогда
поэтому мы можем применить к нему предположение индукции, существует такой, что
а также завершает шаг индукции. QED
- Предыдущую лемму можно обобщить, допуская полидиски с для некоторых компонентов полирадиуса.
Лемма (расширенная Дольбо-Гротендика). Если открытый полидиск с а также , тогда
Доказательство. Мы рассматриваем два случая: а также .
Случай 1. Пусть, и мы покрываем с полидисками , то по лемме Дольбо – Гротендика можно найти формы бидегри на открыть так, чтобы ; мы хотим показать это
Действуем индукцией по : случай, когда выполняется по предыдущей лемме. Пусть утверждение верно для и возьми с участием
Затем находим -форма определены в открытой окрестности такой, что . Позволять быть открытым соседством тогда на и мы можем снова применить лемму Дольбо-Гротендика, чтобы найти -форма такой, что на . Теперь позвольте быть открытым набором с а также гладкая функция такая, что:
потом является корректно определенной гладкой формой на что удовлетворяет
отсюда форма
удовлетворяет
Случай 2. Если вместо этогомы не можем применить лемму Дольбо-Гротендика дважды; мы принимаем а также как и раньше, мы хотим показать, что
Снова проведем индукцию по : для ответ дает лемма Дольбо-Гротендика. Далее мы предполагаем, что утверждение верно для. Мы принимаем такой, что охватывает , то мы можем найти -форма такой, что
что также удовлетворяет на , т.е. является голоморфным -форму где бы то ни было, поэтому по теореме Стоуна – Вейерштрасса мы можем записать ее как
где являются многочленами и
но тогда форма
удовлетворяет
что завершает шаг индукции; поэтому мы построили последовательность который равномерно сходится к некоторому -форма такой, что . QED