Число Дотти

Номер Дотти является единственным реальным фиксированная точка из косинуса функции.

В математике число Дотти - это константа, которая является единственным действительным корнем уравнения

${\ Displaystyle \ соз х = х,}$

где аргумент в радианах . Десятичное разложение числа Дотти равно . ^[1]${\ displaystyle \ cos}$${\ displaystyle 0.739085 ...}$

Можно тривиально доказать, что уравнение имеет только одно решение по теореме о промежуточном значении в вещественной плоскости. Это единственная вещественная неподвижная точка на косинус функции и является нетривиальным примером универсального притягивающей неподвижной точки. Это также трансцендентное число из-за теоремы Линдеманна-Вейерштрасса . ^[2] Обобщенный случай для комплексной переменной имеет бесконечно много корней, но, в отличие от числа Дотти, они не притягивают неподвижные точки.${\ Displaystyle \ соз г = г}$${\displaystyle z}$

Используя ряд Тейлора, обратный к at (или, что то же самое, теорему об обращении Лагранжа ), число Дотти может быть выражено как бесконечный ряд, где каждое является рациональным числом, определенным для нечетных n как${\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$

^{[3] [4] [5] [nb 1]}

Название константы происходит от Самуэля Каплана (2007) и относится к французскому профессору, который наблюдал число после, многократно нажимая кнопку косинуса на своем калькуляторе. ^[3]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Миллер, TH (февраль 1890 г.). «О численных значениях корней уравнения cosx = x» . Труды Эдинбургского математического общества . 9 : 80–83. DOI : 10.1017 / S0013091500030868 .
• Салов, Валерий (2012). «Неизбежное число Дотти. Итералы косинуса и синуса». arXiv : 1212.1027 .
• Азарян, Мохаммад К. (2008). «О ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ И ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКАХ ЕЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ» (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики .