В теории трансцендентных чисел , то теорема Линдеман-Вейерштрасса является результатом , который является очень полезным в установлении трансцендентности чисел. В нем говорится следующее.
Теорема Lindemann-Вейерштрасса - если α 1 , ..., α п являются алгебраические числа , которые линейно независимы над рациональными числами ℚ, то е α 1 , ..., е α п являются алгебраически независимы над ℚ.
Другими словами, поле расширения ℚ ( e α 1 , ..., e α n ) имеет степень трансцендентности n над ℚ.
Эквивалентная формулировка ( Baker 1990 , глава 1, теорема 1.4) следующая.
Эквивалентная формулировка - Если α 1 , ..., α п являются различными алгебраические числа, то экспонент е α 1 , ..., е α п линейно независимы над алгебраическими числами.
Эта эквивалентность прообразы линейная зависимость над алгебраическими числами в алгебраической связи по ℚ , используя тот факт , что симметричный полином , аргументы которого являются все конъюгаты друг друга дает рациональное число.
Теорема названа в честь Фердинанда фон Линдеманна и Карла Вейерштрасса . Линдеманн доказал в 1882 г., что e α трансцендентно для любого ненулевого алгебраического числа α, тем самым установив, что π трансцендентно (см. Ниже). [1] Вейерштрасс доказал приведенное выше более общее утверждение в 1885 году. [2]
Теорема, наряду с теоремой Гельфонда – Шнайдера , расширяется теоремой Бейкера , и все они далее обобщаются гипотезой Шенуэля .
Соглашение об именовании
Теорема также известна по- разному как теоремы Эрмита-Lindemann и теоремы Эрмита-Линдеманн-Вейерштрасса . Чарльз Эрмит первым доказал более простую теорему, в которой показатели α i должны быть рациональными целыми числами, а линейная независимость гарантируется только для рациональных целых чисел [3] [4], результат, который иногда называют теоремой Эрмита. [5] Хотя, по-видимому, это довольно частный случай вышеупомянутой теоремы, общий результат можно свести к этому более простому случаю. Линдеманн был первым, кто ввел алгебраические числа в работу Эрмита в 1882 году. [1] Вскоре после этого Вейерштрасс получил полный результат [2], а некоторые математики сделали дальнейшие упрощения, в первую очередь Дэвид Гильберт [6] и Пол Гордан . [7]
Трансцендентность e и π
Трансцендентность из е и П является прямым следствием этой теоремы.
Предположим, что α - ненулевое алгебраическое число; тогда {α} - линейно независимое множество над рациональными числами, и поэтому согласно первой формулировке теоремы { e α } является алгебраически независимым множеством; или, другими словами, e α трансцендентен. В частности, e 1 = e трансцендентно. (Более элементарное доказательство того, что е трансцендентно, изложено в статье о трансцендентных числах .)
В качестве альтернативы, согласно второй формулировке теоремы, если α - ненулевое алгебраическое число, то {0, α} является набором различных алгебраических чисел, и поэтому набор { e 0 , e α } = {1, e α } линейно независима над алгебраическими числами, и, в частности, e α не может быть алгебраическим и поэтому трансцендентно.
Чтобы доказать, что π трансцендентно, мы докажем, что оно не алгебраично. Если бы π было алгебраическим, π i также было бы алгебраическим, и тогда по теореме Линдемана – Вейерштрасса e π i = −1 (см . Тождество Эйлера ) было бы трансцендентным, противоречие. Следовательно, π не является алгебраическим, а это означает, что он трансцендентен.
Небольшой вариант того же доказательства покажет, что если α ненулевое алгебраическое число, то sin (α), cos (α), tan (α) и их гиперболические аналоги также трансцендентны.
p -адическая гипотеза
p -адическая гипотеза Линдемана – Вейерштрасса. - Пусть р некотороепростое числоиα 1 , ..., α п являются р -адические числа, алгебраические и линейно независимы надℚ,такимчто| α i | p <1 / p для всех i ; то p -адические экспонентыexp p (α 1 ),. . . , exp p (α n )- p -адические числа, алгебраически независимые надℚ.
Модульная гипотеза
Аналог теоремы о модулярной функции j был выдвинут Даниэлем Бертраном в 1997 г. и остается открытой проблемой. [8] Запись д = е 2 π я τ для нома и J (т) = J ( д ), гипотеза состоит в следующем.
Модульная гипотеза - Пусть д 1 , ..., д п быть ненулевые алгебраические числа в комплексном единичном круге таким образом, что на 3 п чисел
алгебраически зависимы над . Тогда существуют два индекса 1 ≤ i < j ≤ n такие, что q i и q j мультипликативно зависимы.
Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
Теорема Линдеманна – Вейерштрасса (переформулировка Бейкера). - Если a 1 , ..., a n - алгебраические числа, а α 1 , ..., α n - различные алгебраические числа, то [9]
имеет только тривиальное решение для всех
Доказательство
Доказательство опирается на две предварительные леммы. Обратите внимание, что самой леммы B уже достаточно, чтобы вывести исходное утверждение теоремы Линдеманна – Вейерштрасса.
Предварительные леммы
Лемма A. - Пусть c (1), ..., c ( r ) - целые числа и для каждого k от 1 до r , пусть { γ ( k ) 1 , ..., γ ( k ) m ( k ) } - корни ненулевого многочлена с целыми коэффициентами. Если γ ( k ) i ≠ γ ( u ) v всякий раз, когда ( k , i ) ≠ ( u , v ) , то
имеет только тривиальное решение для всех
Доказательство леммы A. Для упрощения набора обозначений:
Тогда утверждение становится
Пусть p - простое число, и определим следующие многочлены:
где ℓ - ненулевое целое число такое, чтовсе алгебраические целые числа. Определить [10]
Используя интегрирование по частям, приходим к
где является степень по, а также является J -й производной. Это также верно для s- комплекса (в этом случае интеграл следует рассматривать как контурный интеграл, например, по прямому отрезку от 0 до s ), потому что
примитив .
Рассмотрим следующую сумму:
В последней строке мы предположили, что заключение леммы неверно. Для завершения доказательства нам нужно прийти к противоречию. Мы сделаем это, оценив двумя разными способами.
Первый является целым алгебраическим числом, которое делится на p ! для и исчезает для пока не а также , в этом случае он равен
Это не делится на p, когда p достаточно велико, потому что в противном случае, положив
(которое является ненулевым алгебраическим целым числом) и вызывает произведение его сопряженных элементов (которое все еще не равно нулю), мы бы получили, что p делит, что неверно.
Так ненулевое целое алгебраическое число, делящееся на ( p - 1) !. Сейчас
Поскольку каждый получается делением фиксированного многочлена с целыми коэффициентами на , это имеет вид
где является многочленом (с целыми коэффициентами), не зависящим от i . То же верно и для производных.
Следовательно, по основной теореме о симметрических многочленах
фиксированный многочлен с рациональными коэффициентами, вычисляемыми в (это видно по группировке одинаковых степеней фигурирующую в разложении и использующую тот факт, что эти алгебраические числа являются полным набором сопряженных). То же самое и с, т.е. равно , где G - полином с рациональными коэффициентами, не зависящими от i .
Ну наконец то рационально (опять же по основной теореме о симметричных многочленах) и является ненулевым целым алгебраическим числом, делящимся на (поскольку 's - целые алгебраические числа, делящиеся на ). Следовательно
Однако ясно, что есть:
где F i - многочлен, коэффициенты которого являются абсолютными значениями коэффициентов f i (это непосредственно следует из определения). Таким образом
и так построением у нас есть для достаточно большого C, не зависящего от p , что противоречит предыдущему неравенству. Это доказывает лемму A. ∎
Лемма B. - Если b (1), ..., b ( n ) - целые числа, а γ (1), ..., γ ( n ) - различные алгебраические числа , то
имеет только тривиальное решение для всех
Доказательство леммы B: предположение
получим противоречие и тем самым докажем лемму B.
Выберем многочлен с целыми коэффициентами, равный нулю на всех и пусть быть всеми его отдельными корнями. Пусть b ( n + 1) = ... = b ( N ) = 0.
Полином
исчезает в по предположению. Поскольку произведение симметрично, для любого мономы а также имеют одинаковый коэффициент в разложении Р .
Таким образом, расширяя соответственно и группируя члены с одинаковым показателем, мы видим, что полученные показатели образуют полный набор конъюгатов и, если два члена имеют сопряженные показатели, они умножаются на один и тот же коэффициент.
Итак, мы находимся в ситуации леммы A. Чтобы прийти к противоречию, достаточно увидеть, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Это видно, если снабдить C лексикографическим порядком и выбрать для каждого фактора в продукте термин с ненулевым коэффициентом, который имеет максимальный показатель в соответствии с этим порядком: произведение этих терминов имеет ненулевой коэффициент в разложении и не упрощаться никаким другим термином. Это доказывает лемму B. ∎
Заключительный этап
Теперь перейдем к доказательству теоремы: пусть a (1), ..., a ( n ) - ненулевые алгебраические числа , а α (1), ..., α ( n ) - различные алгебраические числа. Тогда предположим, что:
Мы покажем, что это приводит к противоречию, и тем самым докажем теорему. Доказательство очень похоже на доказательство леммы B, за исключением того, что на этот раз выбор сделан по a ( i ):
Для любого i ∈ {1, ..., n } a ( i ) алгебраический, поэтому он является корнем неприводимого многочлена с целыми коэффициентами степени d ( i ). Обозначим различные корни этого многочлена a ( i ) 1 , ..., a ( i ) d ( i ) , причем a ( i ) 1 = a ( i ).
Пусть S - функции σ, которые выбирают по одному элементу из каждой из последовательностей (1, ..., d (1)), (1, ..., d (2)), ..., (1, .. ., d ( n )), так что для каждого 1 ≤ i ≤ n σ ( i ) является целым числом от 1 до d ( i ). Сформируем многочлен от переменных
Поскольку произведение производится по всем возможным функциям выбора σ, Q симметрична относительнодля каждого i . Следовательно, Q - многочлен с целыми коэффициентами от элементарных симметричных многочленов от указанных выше переменных для каждого i и от переменных y i . Каждый из последних симметричных многочленов является рациональным числом при вычислении в.
Вычисленный полином обращается в нуль, потому что один из вариантов просто σ ( i ) = 1 для всех i , для которых соответствующий множитель обращается в нуль согласно нашему предположению выше. Таким образом, вычисленный многочлен представляет собой сумму вида
где мы уже сгруппировали члены с одинаковым показателем степени. Итак, в левой части у нас есть различные значения β (1), ..., β ( N ), каждое из которых по-прежнему является алгебраическим (являясь суммой алгебраических чисел), и коэффициенты. Сумма нетривиальна: если максимальна в лексикографическом порядке, коэффициент при это просто произведение a ( i ) j (с возможными повторениями), которое не равно нулю.
Умножая уравнение на соответствующий целочисленный множитель, мы получаем идентичное уравнение, за исключением того, что теперь все b (1), ..., b ( N ) являются целыми числами. Следовательно, согласно лемме B равенство не может выполняться, и мы приходим к противоречию, которое завершает доказательство. ∎
Заметим , что лемма А достаточно , чтобы доказать , что е является иррациональным , так как в противном случае мы можем написать е = р / д , где и р и д ненулевые целые числа, а по лемме А мы бы QE - р ≠ 0, что противоречие. Леммы A также достаточно, чтобы доказать, что π иррационально, иначе мы можем написать π = k / n , где k и n - целые числа) и тогда ± i π - корни n 2 x 2 + k 2 = 0; таким образом, 2 - 1 - 1 = 2 e 0 + e i π + e - i π ≠ 0; но это неправда.
Точно так же леммы B достаточно для доказательства трансцендентности e , поскольку лемма B утверждает, что если a 0 , ..., a n - целые числа, не все из которых равны нулю, то
Леммы B также достаточно, чтобы доказать трансцендентность π , иначе мы имели бы 1 + e i π ≠ 0.
Эквивалентность двух утверждений
Формулировка теоремы Бейкера явно подразумевает первую формулировку. Действительно, если - алгебраические числа, линейно независимые над , а также
- многочлен с рациональными коэффициентами, то имеем
и с тех пор - алгебраические числа, линейно независимые над рациональными числами, числа алгебраичны и различны для различных n -наборов. Итак, из формулировки теоремы Бейкера мы получаемдля всех n -элементов.
Предположим теперь, что верна первая формулировка теоремы. Для Формулировка Бейкера тривиальна, поэтому предположим, что , и разреши ненулевые алгебраические числа, и различные алгебраические числа такие, что:
Как было показано в предыдущем разделе и с теми же обозначениями, используемыми там, значение полинома
в
имеет выражение в форме
где мы сгруппировали экспоненты с одинаковым показателем. Здесь, как доказано выше, - рациональные числа, не все равные нулю, и каждый показатель является линейной комбинацией с целыми коэффициентами. Тогда, поскольку а также попарно различны, -векторное подпространство из создан нетривиально, и мы можем выбрать сформировать основу для Для каждого , у нас есть
Для каждого позволять быть наименьшим общим кратным всех для , и положи . потом являются алгебраическими числами, они составляют основу , и каждый является линейной комбинацией с целыми коэффициентами. Умножая соотношение
от , где является достаточно большим положительным целым числом, мы получаем нетривиальное алгебраическое соотношение с рациональными коэффициентами, соединяющими против первой формулировки теоремы.
Смотрите также
- Теорема Гельфонда – Шнайдера.
- Теорема Бейкера ; расширение теоремы Гельфонда – Шнайдера
- Гипотеза Шануэля ; если это будет доказано, то из этого следует как теорема Гельфонда – Шнайдера, так и теорема Линдемана – Вейерштрасса.
Заметки
- ^ a b Lindemann 1882a , Lindemann 1882b .
- ^ a b Weierstrass 1885 , стр. 1067–1086,
- Перейти ↑ Hermite 1873 , pp. 18–24.
- ^ Эрмит 1874 г.
- ^ Гельфонд 2015 .
- ^ Гильберта 1893 , стр. 216-219.
- Перейти ↑ Gordan 1893 , pp. 222–224.
- ^ Бертран 1997 , стр. 339-350.
- ^ (на французском) французское Доказательство Линдеманна-Вейерштрасса (pdf) [ мертвая ссылка ]
- ^ С точностью до множителя это тот же самый интеграл, который фигурирует в доказательстве того, что e - трансцендентное число , где β 1 = 1, ..., β m = m . Дальнейшее доказательство леммы аналогично этому доказательству.
Рекомендации
- Гордан, П. (1893), "Transcendenz von e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 222-224, DOI : 10.1007 / bf01443647 , S2CID 123203471
- Эрмит, К. (1873 г.), «Sur la fonction exponentielle». , Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 77 : 18–24.
- Эрмит, К. (1874 г.), Sur la fonction exponentielle. , Париж: Готье-Виллар
- Гильберт, Д. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 216–219, doi : 10.1007 / bf01443645 , S2CID 179177945 , заархивировано из оригинала 06.10.2017 , получено 24.12.2018
- Линдеманн, Ф. (1882), «Über die Ludolph'sche Zahl». , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 2 : 679–682
- Lindemann, F. (1882), "Über die Zahl π ." , Mathematische Annalen , 20 : 213–225, doi : 10.1007 / bf01446522 , S2CID 120469397 , заархивировано из оригинала 06.10.2017 , получено 24.12.2018
- Вейерштрасс, К. (1885), «Abhandlung Зу Линдеманна». Über die Ludolph'sche Zahl ». , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin , 5 : 1067–1085
дальнейшее чтение
- Бейкер, Алан (1990), теория трансцендентных чисел , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9, Руководство по ремонту 0422171
- Бертрана, Д. (1997), "Тэта - функции и трансцендентность", Рамануйян Journal , 1 (4): 339-350, DOI : 10,1023 / A: 1009749608672 , S2CID 118628723
- Гельфонд, АО (2015) [1960], Трансцендентные и алгебраические числа , Dover Books on Mathematics, перевод Борана, Лео Ф. , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2, Руководство по ремонту 0057921
- Джейкобсон, Натан (2009) [1985], Основы алгебры , I (2-е изд.), Dover Publications , ISBN 978-0-486-47189-1
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Эрмита-Линдемана" . MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Линдеманна-Вейерштрасса» . MathWorld .