элемент Кокстера

В математике число Кокстера h является порядком элемента Кокстера неприводимой группы Кокстера . Он назван в честь Х.С.М. Коксетера . ^[1]

Определения

Обратите внимание, что в этой статье предполагается конечная группа Кокстера. Для бесконечных групп Кокстера существует несколько классов сопряженности элементов Кокстера, и они имеют бесконечный порядок.

Есть много разных способов определить число Кокстера h неприводимой системы корней.

Элемент Кокстера является продуктом всех простых отражений. Произведение зависит от порядка, в котором они взяты, но разные порядки дают сопряженные элементы, имеющие один и тот же порядок .

Число Кокстера — это порядок любого элемента Кокстера; .
Число Кокстера равно 2 m / n , где n — ранг, а m — количество отражений. В кристаллографическом случае m равно половине числа корней ; 2m + n — размерность соответствующей полупростой алгебры Ли .
Если старший корень равен Σ m _i α _i для простых корней α _i , то число Кокстера равно 1 + Σ m _i .
Число Кокстера — это высшая степень фундаментального инварианта группы Кокстера, действующей на многочлены.

Число Коксетера для каждого типа Дынкина указано в следующей таблице:

Коксетер группа		Диаграмма Кокстера	Диаграмма Дынкина	Отражения m = nh /2 ^[2]	число Кокстера h	Двойное число Кокстера	Степени фундаментальных инвариантов
А _н	[3,3...,3]	...	...	п ( п +1)/2	п + 1	п + 1	2, 3, 4, ..., п + 1
Б _н	[4,3...,3]	...	...	п ²	2 н	2 п - 1	2, 4, 6, ..., 2 п
С _н	[4,3...,3]	...	...	п ²	2 н	п + 1	2, 4, 6, ..., 2 п
Д _н	[3,3,..3 ^1,1 ]	...	...	п ( п -1)	2 п - 2	2 п - 2	н ; 2, 4, 6, ..., 2 п - 2
Е ₆	[3 ^2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
Е ₇	[3 ^3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
Е ₈	[3 ^4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
Ф ₄	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
Г ₂	[6]			6	6	4	2, 6
Н ₃	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
Н ₄	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
я ₂ ( р )	[п]		-	п	п		2, с

Инварианты группы Кокстера, действующие на полиномы, образуют алгебру полиномов, образующими которой являются фундаментальные инварианты; их степени приведены в таблице выше. Заметьте, что если m является степенью фундаментального инварианта, то таковым является и h + 2 − m .

Собственными значениями элемента Кокстера являются числа e ^{2π i ( m − 1)/ h} , когда m пробегает степени фундаментальных инвариантов. Поскольку это начинается с m = 2, они включают примитивный корень h из единицы , ζ _h = e ^{2π i / h} , что важно в плоскости Кокстера , ниже.

Групповой заказ

Существуют соотношения между порядком g группы Кокстера и числом Кокстера h : ^[3]

[р]: 2ч/г _р = 1
[p,q]: 8/g _p,q = 2/p + 2/q -1
[p,q,r]: 64h/g _p,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
[p,q,r,s]: 16/g _p,q,r,s = 8/g _p,q,r + 8/g _q,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1 /к - 1/р - 1/с +1
...

Например, [3,3,5] имеет h = 30, поэтому 64 * 30/g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, поэтому g = 1920 * 15/2 . = 960*15 = 14400.

элементы Кокстера

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив его . ( декабрь 2008 г. )

Отдельные элементы Кокстера соответствуют ориентациям диаграммы Кокстера (т . е. колчанам Дынкина ): простые отражения, соответствующие исходным вершинам, записываются первыми, нисходящие вершины — позже, а стоки — последними. (Выбор порядка среди несмежных вершин не имеет значения, поскольку они соответствуют коммутирующим отражениям.) Особым выбором является чередующаяся ориентация, при которой простые отражения разбиваются на два набора несмежных вершин, а все ребра ориентированы от первого ко второму набору. ^[4] Переменная ориентация создает специальный элемент Кокстера w , удовлетворяющий , где w ₀ — самый длинный элемент , при условии, что число Кокстера h ${\ Displaystyle ш ^ {ч / 2} = ш_ {0}}$ даже.

Для симметрической группы на n элементах элементами Кокстера являются определенные n -циклы: произведение простых отражений есть элемент Кокстера . ^[5] Для четного n элемент Кокстера с переменной ориентацией имеет вид: ${\ Displaystyle А_ {п-1} \ конг S_ {п}}$ ${\ Displaystyle (1,2) (2,3) \ cdots (п {-} 1 \, п)}$ ${\ Displaystyle (1,2,3, \ точки, п)}$

(1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).

Среди n -циклов есть различные элементы Кокстера. $2^{n-2}$ $(n{-}1)!$

Группа диэдра Dih _p порождается двумя отражениями, образующими угол , и, таким образом, два элемента Кокстера являются их произведением в любом порядке, то есть поворотом на . $2\pi /2p$ $\pm 2\pi /p$

Коксетер самолет

Проекция корневой системы E ₈ на плоскость Кокстера, показывающая 30-кратную симметрию.

Для данного элемента Кокстера w существует единственная плоскость P , на которой w действует посредством поворота на 2π/ h. Это называется плоскостью Кокстера ^[6] и представляет собой плоскость, на которой P имеет собственные значения e ^{2π i / h} и e ^{−2π i / h} = e ^{2π i ( h −1)/ h} . ^[7] Эта плоскость была впервые систематически изучена в ( Coxeter 1948 ), ^[8] и впоследствии использована в ( Steinberg 1959 ).) для обеспечения единообразных доказательств свойств элементов Кокстера. ^[8]

Плоскость Кокстера часто используется для рисования диаграмм многогранников и систем корней большой размерности - вершины и ребра многогранника или корни (и некоторые ребра, соединяющие их) ортогонально проецируются на плоскость Кокстера, что дает многоугольник Петри с h - кратно-вращательная симметрия. ^[9] Для корневых систем ни один корень не отображается в ноль, что соответствует элементу Кокстера, не фиксирующему какой-либо корень или, скорее, ось (не имеющему собственного значения 1 или −1), поэтому проекции орбит при w образуют h - кратные круговые конфигурации ^{[9 ]} и есть пустой центр, как в E ₈схема вверху справа. Для многогранников вершина может отображаться в ноль, как показано ниже. Проекции на плоскость Кокстера изображены ниже для платоновых тел .

В трех измерениях симметрия правильного многогранника {p,q} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри, определяемая как композиция трех отражений, имеет симметрию ротоинверсии Sh , [2 ⁺ ,h ₊^] , порядок h . Добавляя зеркало, симметрия может быть удвоена до антипризматической симметрии, D _hd , [2 ⁺ ,h], порядка 2h . В ортогональной двумерной проекции это становится двугранной симметрией , Dih _h , [h], порядка 2 h .

Коксетер группа	А ₃ Т д	Б ₃ О ч		Н ₃ Я ч
Правильный многогранник	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Симметрия	S ₄ , [2 ⁺ ,4 ⁺ ], (2×) D _2d , [2 ⁺ ,4], (2*2)	S ₆ , [2 ⁺ ,6 ⁺ ], (3×) D _3d , [2 ⁺ ,6], (2*3)		S ₁₀ , [2 ⁺ ,10 ⁺ ], (5×) D _5d , [2 ⁺ ,10 ], (2*5)
Симметрия плоскости Кокстера	Дих ₄ , [4], (*4•)	Дих ₆ , [6], (*6•)		Дих ₁₀ , [10], (*10•)
Многоугольники Петри Платоновых тел, демонстрирующие 4-кратную, 6-кратную и 10-кратную симметрию.

В четырех измерениях симметрия правильного полихорона {p, q, r} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представляет собой двойное вращение , определяемое как композиция 4 отражений, с симметрией + ¹ / _h [C _h × C _h ] ^[10] ( Джон Х. Конвей ), (C _2h /C ₁ ;C _2h /C ₁ ) (# 1 ', Патрик дю Валь (1964) ^[11] ), порядок h .

Коксетер группа	А ₄	Б ₄		Ф ₄	Н ₄
Правильный полихорон	{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{5,3,3}	{3,3,5}
Симметрия	+ ¹ / ₅ [С ₅ × С ₅ ]	+ ¹ / ₈ [С ₈ × С ₈ ]		+ ¹ / ₁₂ [С ₁₂ × С ₁₂ ]	+ ¹ / ₃₀ [С ₃₀ × С ₃₀ ]
Симметрия плоскости Кокстера	Дих ₅ , [5], (*5•)	Дих ₈ , [8], (*8•)		Дих ₁₂ , [12], (*12•)	Дих ₃₀ , [30], (*30•)
Многоугольники Петри правильных четырехмерных тел, демонстрирующие 5-кратную, 8-кратную, 12-кратную и 30-кратную симметрию.

В пяти измерениях симметрия правильного 5-многогранника {p,q,r,s} с одним отмеченным направленным многоугольником Петри представлена комбинацией 5 отражений.

Коксетер группа	А ₅	Б ₅		Д ₅
Правильный политерон	{3,3,3,3}	{3,3,3,4}	{4,3,3,3}	ч{4,3,3,3}
Симметрия плоскости Кокстера	Дих ₆ , [6], (*6•)	Дих ₁₀ , [10], (*10•)		Дих ₈ , [8], (*8•)

В измерениях с 6 по 8 есть 3 исключительные группы Кокстера; один равномерный многогранник из каждого измерения представляет собой корни исключительных групп Ли E _n . Элементов Кокстера 12, 18 и 30 соответственно.

Группы _{_} _
Коксетер группа	Е6	Е7	Е8
График	1 22	2 31	4 21
Симметрия плоскости Кокстера	Дих ₁₂ , [12], (*12•)	Дих ₁₈ , [18], (*18•)	Дих ₃₀ , [30], (*30•)

Смотрите также

Самый длинный элемент группы Кокстера

Примечания

^ Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Чендлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Коксетера: размышления и прогнозы , Книжный магазин AMS, с. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
^ Коксетер , Правильные многогранники , §12.6 Количество отражений, уравнение 12.61
^ Регулярные многогранники, с. 233
^ Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы , Биркхаузер (2010)
^ ( Хамфрис 1992 , стр. 75 )
↑ Самолеты Coxeter , заархивированные 10 февраля 2018 г. в Wayback Machine , и другие самолеты Coxeter , заархивированные 21 августа 2017 г. в Wayback Machine , Джон Стембридж.
^ ( Хамфрис 1992 , раздел 3.17, «Действие на плоскости», стр. 76–78 )
^ а б ( Чтение 2010 , стр. 2)
^ а б ( Стембридж 2007 )
↑ О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5
^ Патрик Дю Валь, Гомографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Оксфорд , 1964.

использованная литература

Коксетер, HSM (1948), Правильные многогранники , Метуэн и Ко.
Стейнберг, Р. (июнь 1959 г.), «Конечные группы отражения», Transactions of the American Mathematical Society , 91 (3): 493–504, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993261
Хиллер, Ховард Геометрия групп Кокстера. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 стр. ISBN 0-273-08517-4
Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражения и группы Коксетера , Cambridge University Press , стр. 74–76 (раздел 3.16, Элементы Коксетера ), ISBN 978-0-521-43613-7
Стембридж, Джон (9 апреля 2007 г.), Coxeter Planes , заархивировано из оригинала 10 февраля 2018 г. , получено 21 апреля 2010 г.
Стекольщик, Р. (2008), Заметки о преобразованиях Кокстера и переписке Маккея , Монографии Спрингера по математике, arXiv : math/0510216 , doi : 10.1007/978-3-540-77399-3 , ISBN 978-3-540-77398-6, S2CID 117958873
Рединг, Натан (2010), «Непересекающиеся перегородки, кластеры и плоскость Коксетера» , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B63b : 32
Бернштейн, И. Н.; Гельфанд, И.М.; Пономарев В.А. Функторы Кокстера и теорема Габриэля // УМН. наук 28 (1973), вып. 2(170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .

[1] Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Чендлер Дэвис; Эрлих В. Эллерс (2006), Наследие Коксетера: размышления и прогнозы , Книжный магазин AMS, с. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1

[2] Коксетер , Правильные многогранники , §12.6 Количество отражений, уравнение 12.61

[3] Регулярные многогранники, с. 233

[4] Джордж Люстиг, Введение в квантовые группы , Биркхаузер (2010)

[5] ( Хамфрис 1992 , стр. 75 )

[6] Самолеты Coxeter , заархивированные 10 февраля 2018 г. в Wayback Machine , и другие самолеты Coxeter , заархивированные 21 августа 2017 г. в Wayback Machine , Джон Стембридж.

[7] ( Хамфрис 1992 , раздел 3.17, «Действие на плоскости», стр. 76–78 )

[readp2-8] а б ( Чтение 2010 , стр. 2)

[stem2007-9] а б ( Стембридж 2007 )

[10] О кватернионах и октонионах , 2003, Джон Хортон Конвей и Дерек А. Смит ISBN 978-1-56881-134-5

[11] Патрик Дю Валь, Гомографии, кватернионы и вращения , Оксфордские математические монографии, Clarendon Press , Оксфорд , 1964.

[1]