Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из теории динамических систем )
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теория динамических систем - это область математики, используемая для описания поведения сложных динамических систем , обычно с помощью дифференциальных или разностных уравнений . Когда используются дифференциальные уравнения, теория называется непрерывными динамическими системами . С физической точки зрения, непрерывные динамические системы представляет собой обобщение классической механики , обобщение , где уравнения движения постулируются непосредственно и не ограничивается , чтобы быть уравнения Эйлера-Лагранжа о наличии принципа наименьшего действия. Когда используются разностные уравнения, теория называется дискретными динамическими системами . Когда временная переменная проходит по набору, который дискретен на некоторых интервалах и непрерывен на других интервалах, или является любым произвольным набором времени, таким как набор Кантора , получаются динамические уравнения на временных шкалах . Некоторые ситуации также можно моделировать смешанными операторами, такими как дифференциально-разностные уравнения .

Эта теория имеет дело с долгосрочным качественным поведением динамических систем и изучает природу и, когда это возможно, решения уравнений движения систем, которые часто в основном являются механическими или иными физическими по своей природе, такими как планетные орбиты и поведение электронных схем , а также систем, возникающих в биологии , экономике и других областях. Большая часть современных исследований сосредоточена на изучении хаотических систем .

Эта область исследований также называется просто динамическими системами , математической теорией динамических систем или математической теорией динамических систем .

Аттрактор Лоренца является примером нелинейной системы динамической. Изучение этой системы помогло породить теорию хаоса .

Обзор [ править ]

Теория динамических систем и теория хаоса имеют дело с долгосрочным качественным поведением динамических систем . Здесь основное внимание уделяется не поиску точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (что часто безнадежно), а, скорее, ответам на такие вопросы, как «успокоится ли система до устойчивого состояния в долгосрочной перспективе, и если да, то какое? возможны установившиеся состояния? »или« Зависит ли долгосрочное поведение системы от ее начального состояния? »

Важная цель - описать неподвижные точки или устойчивые состояния данной динамической системы; это значения переменной, которые не меняются с течением времени. Некоторые из этих фиксированных точек привлекательны , что означает, что если система запускается в соседнем состоянии, она сходится к фиксированной точке.

Точно так же человек интересуется периодическими точками , состояниями системы, которые повторяются через несколько временных шагов. Периодические точки также могут быть привлекательными. Теорема Шарковского представляет собой интересное утверждение о числе периодических точек одномерной дискретной динамической системы.

Даже простые нелинейные динамические системы часто демонстрируют кажущееся случайным поведение, которое было названо хаосом . [1] Раздел динамических систем, который занимается чистым определением и исследованием хаоса, называется теорией хаоса .

История [ править ]

Концепция теории динамических систем берет свое начало в механике Ньютона . Здесь, как и в других естественных и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем неявно задается соотношением, которое дает состояние системы только на короткое время в будущем.

До появления быстрых вычислительных машин решение динамической системы требовало сложных математических методов и могло быть выполнено только для небольшого класса динамических систем.

Некоторые прекрасные презентации математической теории динамических систем включают Бельтрами (1990) , Люенбергер (1979) , Падуло и Арбиб (1974) и Строгац (1994) . [2]

Концепции [ править ]

Динамические системы [ править ]

Основная статья: Динамическая система (определение)

Концепция динамической системы - это математическая формализация любого фиксированного «правила», которое описывает временную зависимость положения точки в ее окружающем пространстве . Примеры включают математические модели, которые описывают качание маятника часов, поток воды в трубе и количество рыб каждую весну в озере.

Динамическая система имеет состояние определяется совокупностью действительных чисел , или в более общем плане с помощью набора из точек в соответствующем пространстве состояний . Небольшие изменения в состоянии системы соответствуют небольшим изменениям в числах. Числа также являются координатами геометрического пространства - многообразия . Правило эволюции динамической системы является фиксированным правилом , которое описывает то , что будущие состояния следует из текущего состояния. Правило может быть детерминированным (для заданного временного интервала одно будущее состояние может быть точно предсказано с учетом текущего состояния) или стохастическим. (эволюцию состояния можно предсказать только с определенной вероятностью).

Динамизм [ править ]

Динамизм , также называемый динамической гипотезой или динамической гипотезой в когнитивной науке или динамическим познанием , представляет собой новый подход в когнитивной науке, примером которого является работа философа Тима ван Гелдера . Он утверждает, что дифференциальные уравнения больше подходят для моделирования познания, чем более традиционные компьютерные модели.

Нелинейная система [ править ]

Основная статья: Нелинейная система

В математике , нелинейная система является системой , которая не является линейной -ie, система , которая не удовлетворяет принципу суперпозиции . Менее технически нелинейная система - это любая проблема, в которой переменные, которые необходимо решить, не могут быть записаны как линейная сумма независимых компонентов. Неоднородная система, которая является линейной отдельно от наличия функции от независимых переменных , является нелинейным по строгому определению, но такие системы обычно изучаются наряду с линейными системами, так как они могут быть преобразованы к линейной системе до тех пор , как конкретное решение известно.

Связанные поля [ править ]

Арифметическая динамика [ править ]

Арифметическая динамика - это область, возникшая в 1990-х годах, которая объединяет две области математики, динамические системы и теорию чисел . Классически дискретная динамика относится к изучению итерации собственных карт комплексной плоскости или реальной линии . Арифметическая динамика - это изучение теоретико-числовых свойств целочисленных, рациональных, p -адических и / или алгебраических точек при повторном применении полиномиальной или рациональной функции .

Теория хаоса [ править ]

Теория хаоса описывает поведение определенных динамических систем, то есть систем, состояние которых изменяется со временем, которые могут демонстрировать динамику, очень чувствительную к начальным условиям (обычно называемую эффектом бабочки ). В результате такой чувствительности, проявляющейся в экспоненциальном росте возмущений в начальных условиях, поведение хаотических систем оказывается случайным . Это происходит, даже если эти системы являются детерминированными , что означает, что их будущая динамика полностью определяется их начальными условиями, без каких-либо случайных элементов. Такое поведение известно как детерминированный хаос или просто хаос .

Сложные системы [ править ]

Сложные системы - это научная область, изучающая общие свойства систем, которые считаются сложными в природе , обществе и науке . Это также называется теорией сложных систем , наукой о сложности , изучением сложных систем и / или науками о сложности . Ключевыми проблемами таких систем являются трудности с их формальным моделированием и симуляцией . С этой точки зрения в различных контекстах исследования сложные системы определяются на основе их различных атрибутов.
Изучение сложных систем придает новую жизнь многим областям науки, в которых более типичная редукционистская стратегия потерпела неудачу. Поэтому сложные системы часто используются как широкий термин, охватывающий исследовательский подход к проблемам во многих различных дисциплинах, включая нейронауки , социальные науки , метеорологию , химию , физику , информатику , психологию , искусственную жизнь , эволюционные вычисления , экономику , предсказание землетрясений, молекулярную биологию. и исследования в природе жизнисами клетки .

Теория управления [ править ]

Теория управления - это междисциплинарный раздел инженерии и математики , отчасти она связана с влиянием на поведение динамических систем .

Эргодическая теория [ править ]

Эргодическая теория - это раздел математики , изучающий динамические системы с инвариантной мерой и связанные с ними проблемы. Его первоначальное развитие было мотивировано проблемами статистической физики .

Функциональный анализ [ править ]

Функциональный анализ - это раздел математики и, в частности, анализа , связанный с изучением векторных пространств и операторов, действующих на них. Его исторические корни лежат в изучении функциональных пространств , в частности преобразований функций , таких как преобразование Фурье , а также в изучении дифференциальных и интегральных уравнений . Это использование слова « функционал» восходит к вариационному исчислению., подразумевая функцию, аргумент которой является функцией. Его использование в целом приписывают математику и физику Вито Вольтерре, а его основание в значительной степени приписывают математику Стефану Банаху .

Графические динамические системы [ править ]

Концепция графических динамических систем (GDS) может использоваться для захвата широкого спектра процессов, происходящих в графах или сетях. Основная тема математического и вычислительного анализа графических динамических систем состоит в том, чтобы связать их структурные свойства (например, сетевое соединение) и возникающую в результате глобальную динамику.

Проектируемые динамические системы [ править ]

Проекционные динамические системы - это математическая теория, изучающая поведение динамических систем, в которых решения ограничены набором ограничений. Дисциплина имеет общие связи и приложения как со статическим миром задач оптимизации и равновесия, так и с динамическим миром обыкновенных дифференциальных уравнений . Спроецированная динамическая система задается потоком спроецированного дифференциального уравнения.

Символическая динамика [ править ]

Символическая динамика - это практика моделирования топологической или гладкой динамической системы дискретным пространством, состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, с динамикой (эволюцией), заданной оператором сдвига .

Системная динамика [ править ]

Системная динамика - это подход к пониманию поведения систем во времени. Он имеет дело с внутренними контурами обратной связи и временными задержками, которые влияют на поведение и состояние всей системы. [3] Что отличает использование системной динамики от других подходов к изучению систем, так это использование контуров обратной связи, запасов и потоков . Эти элементы помогают описать, как даже кажущиеся простыми системы демонстрируют непонятную нелинейность .

Топологическая динамика [ править ]

Топологическая динамика - это раздел теории динамических систем, в котором качественные, асимптотические свойства динамических систем изучаются с точки зрения общей топологии .

Приложения [ править ]

В биомеханике [ править ]

В спортивной биомеханике теория динамических систем появилась в науках о движении как жизнеспособная основа для моделирования спортивных результатов и эффективности. С точки зрения динамических систем, двигательная система человека представляет собой очень сложную сеть взаимозависимых подсистем (например, дыхательных, кровеносных, нервных, скелетно-мышечных, перцептивных), которые состоят из большого количества взаимодействующих компонентов (например, клеток крови, кислорода молекулы, мышечная ткань, метаболические ферменты, соединительная ткань и кости). В теории динамических систем модели движения возникают в результате общих процессов самоорганизации физических и биологических систем. [4] Нет никаких исследований, подтверждающих какие-либо утверждения, связанные с концептуальным применением этой структуры.

В когнитивной науке [ править ]

Теория динамических систем применялась в области нейробиологии и когнитивного развития , особенно в неопиажеских теориях когнитивного развития . Это убеждение, что когнитивное развитие лучше всего представлено физическими теориями, а не теориями, основанными на синтаксисе и ИИ . Также считалось, что дифференциальные уравнения являются наиболее подходящим инструментом для моделирования поведения человека. Эти уравнения интерпретируются как представление когнитивной траектории агента в пространстве состояний . Другими словами, сторонники динамики утверждают, что психологиядолжно быть (или является) описанием (с помощью дифференциальных уравнений) познания и поведения агента при определенных внешних и внутренних давлениях. Часто используется язык теории хаоса.

В нем ум учащегося достигает состояния дисбаланса, когда старые шаблоны ломаются. Это фазовый переход когнитивного развития. Самоорганизация (спонтанное создание связанных форм) наступает, когда уровни активности связываются друг с другом. Новообразованные макроскопические и микроскопические структуры поддерживают друг друга, ускоряя процесс. Эти связи формируют структуру нового состояния порядка в сознании посредством процесса, называемого « гребешком» (повторяющееся наращивание и коллапс сложной работы). Это новое, новое состояние является прогрессивным, дискретным, своеобразным и непредсказуемым. [5]

Теория динамических систем недавно была использована для объяснения давно остававшейся без ответа проблемы в развитии ребенка, известной как ошибка A-not-B . [6]

В развитии второго языка [ править ]

Основная статья: Динамический подход к развитию второго языка

Применение теории динамических систем для изучения овладения вторым языком приписывается Дайан Ларсен-Фриман, которая опубликовала в 1997 году статью, в которой утверждала, что овладение вторым языком следует рассматривать как процесс развития, который включает в себя истощение языка, а также овладение языком. [7] В своей статье она утверждала, что язык следует рассматривать как динамическую систему, которая является динамической, сложной, нелинейной, хаотической, непредсказуемой, чувствительной к начальным условиям, открытой, самоорганизующейся, чувствительной к обратной связи и адаптивной.

См. Также [ править ]

Связанные темы
  • Список тем динамических систем
  • Карта Бейкера
  • Биологические приложения теории бифуркаций
  • Динамическая система (определение)
  • Внедренное встроенное познание
  • Числа Фибоначчи
  • Фракталы
  • Карта пряника
  • Гало орбита
  • Список типов теории систем
  • Колебание
  • Посткогнитивизм
  • Рекуррентная нейронная сеть
  • Комбинаторика и динамические системы
  • Синергетика
  • Системография
Родственные ученые
  • Люди в системах и контроле
  • Дмитрий Аносов
  • Владимир Арнольд
  • Николай Боголюбов
  • Андрей Колмогоров
  • Николай Крылов
  • Юрген Мозер
  • Яков Григорьевич Синай
  • Стивен Смейл
  • Гилель Фюрстенберг
  • Григорий Маргулис
  • Илон Линденштраус

Заметки [ править ]

  1. ^ Grebogi, C .; Ott, E .; Йорк, Дж. (1987). «Хаос, странные аттракторы и границы фрактальных бассейнов в нелинейной динамике». Наука . 238 (4827): 632–638. Bibcode : 1987Sci ... 238..632G . DOI : 10.1126 / science.238.4827.632 . JSTOR  1700479 . PMID  17816542 . S2CID  1586349 .
  2. ^ Джером Р. Буземейер (2008), «Динамические системы» . Появиться в: Энциклопедия когнитивной науки , Macmillan. Проверено 8 мая 2008 г. Архивировано 13 июня 2008 г. в Wayback Machine.
  3. ^ MIT System Dynamics in Education Project (SDEP) Архивировано 9 мая 2008 г. на Wayback Machine
  4. ^ Пол S стекольщик, Кит Дэвид, Роджер M Bartlett (2003). "ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ: Соответствующая основа для исследований биомеханики спорта, ориентированных на результат" . in: Sportscience 7. Доступ 2008-05-08.
  5. ^ Льюис, Марк Д. (2000-02-25). «Перспективы динамических системных подходов для комплексного учета человеческого развития» (PDF) . Развитие ребенка . 71 (1): 36–43. CiteSeerX 10.1.1.72.3668 . DOI : 10.1111 / 1467-8624.00116 . PMID 10836556 . Проверено 4 апреля 2008 .   
  6. ^ Смит, Линда Б .; Эстер Телен (30.07.2003). «Развитие как динамическая система» (PDF) . Тенденции в когнитивных науках . 7 (8): 343–8. CiteSeerX 10.1.1.294.2037 . DOI : 10.1016 / S1364-6613 (03) 00156-6 . PMID 12907229 . S2CID 5712760 . Проверено 4 апреля 2008 .    
  7. ^ "Хаос / Наука о сложности и освоение второго языка" . Прикладная лингвистика. 1997 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Abraham, Frederick D .; Авраам, Ральф ; Шоу, Кристофер Д. (1990). Визуальное введение в теорию динамических систем для психологии . Воздушный пресс. ISBN 978-0-942344-09-7. OCLC  24345312 .
  • Бельтрами, Эдвард Дж. (1998). Математика для динамического моделирования (2-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-085566-7. OCLC  36713294 .
  • Гайек, Отомар (1968). Динамические системы в плоскости . Академическая пресса. OCLC  343328 .
  • Люенбергер, Дэвид Г. (1979). Введение в динамические системы: теория, модели и приложения . Вайли. ISBN 978-0-471-02594-8. OCLC  4195122 .
  • Мишель, Энтони; Кайнин Ван; Бо Ху (2001). Качественная теория динамических систем . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-8247-0526-8. OCLC  45873628 .
  • Падуло, Луи; Арбиб, Майкл А. (1974). Теория систем: единый подход в пространстве состояний к непрерывным и дискретным системам . Сондерс. ISBN 9780721670355. OCLC  947600 .
  • Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC  49839504 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Энциклопедия динамических систем когнитивной науки.
  • Определение динамической системы в MathWorld.
  • Журнал DSWeb Dynamical Systems