Дифференциальное уравнение задержки

Дифференциальные уравнения

Объем

Естественные науки Инженерное дело
Астрономия Физика Химия Биология Геология
Прикладная математика
Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы
Социальные науки
Экономика Динамика населения

Классификация

Типы

По типу переменной
Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный
Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связано / развязано Точный Однородный / неоднородный
Функции
Заказ Оператор Обозначение

Решение

В математике , дифференциальные уравнения задержки ( DDEs ) представляют собой тип дифференциального уравнения , в котором производная от неизвестной функции в определенный момент времени дается в терминах значений функции в предыдущий раз. DDE также называют системами с запаздыванием , системами с последействием или мертвым временем, наследственными системами, уравнениями с отклоняющимся аргументом или дифференциально-разностными уравнениями. Они принадлежат к классу систем с функциональным состоянием , то есть уравнений в частных производных (УЧП), которые являются бесконечномерными, в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений.(ОДУ) с конечномерным вектором состояния. Четыре момента могут дать возможное объяснение популярности DDE: ^[1]

Последействие - это прикладная проблема: хорошо известно, что, наряду с растущими ожиданиями динамических характеристик, инженерам нужно, чтобы их модели вели себя как реальный процесс. Многие процессы включают в свою внутреннюю динамику явления последействия. Кроме того, исполнительные механизмы , датчики и коммуникационные сети , которые теперь участвуют в контурах управления с обратной связью, вносят такие задержки. Наконец, помимо фактических задержек, для упрощения моделей очень высокого порядка часто используются временные запаздывания. Затем интерес к DDE продолжает расти во всех областях науки и особенно в области техники управления.
Системы с задержкой по-прежнему устойчивы ко многим классическим контроллерам: можно было подумать, что простейший подход состоит в замене их какими-то конечномерными приближениями. К сожалению, игнорирование эффектов, которые адекватно представлены DDE, не является общей альтернативой: в лучшем случае (постоянные и известные задержки) это приводит к такой же степени сложности в конструкции управления. В худших случаях (например, с изменяющимися во времени задержками) это может иметь катастрофические последствия с точки зрения стабильности и колебаний.
Добровольное введение отсрочек может принести пользу системе контроля . ^[2]
Несмотря на свою сложность, DDE часто появляются как простые бесконечномерные модели в очень сложной области дифференциальных уравнений в частных производных (PDE).

Общий вид дифференциального уравнения с запаздыванием для ${\ Displaystyle х (т) \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$ является

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x_ {t}),}

куда ${\ Displaystyle х_ {т} = \ {х (\ тау): \ тау \ leq т \}}$ представляет траекторию решения в прошлом. В этом уравнении ${\ displaystyle f}$ является функциональным оператором из ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ times C ^ {1} (\ mathbb {R}, \ mathbb {R} ^ {n})}$ к ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}. \,}$

Примеры

Непрерывная задержка

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} х (t + \ tau) \, {\ rm {d}} \ mu (\ tau) \ right)}

Дискретная задержка

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x (t), x (t- \ tau _ {1}), \ dotsc, x (t- \ tau _ {m}))}

для

{\ Displaystyle \ тау _ {1}> \ dotsb> \ тау _ {м} \ geq 0}

.

Линейный с дискретными задержками

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- \ tau _ { 1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})}

куда

{\ Displaystyle A_ {0}, \ dotsc, A_ {m} \ in \ mathbb {R} ^ {п \ раз п}}

.

Уравнение пантографа

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = ax (t) + bx (\ lambda t),}

где a , b и λ - константы и 0 <λ <1. Это уравнение и некоторые более общие формы названы в честь пантографов на поездах. ^[3]^[4]

Решение DDE

DDE в основном решаются поэтапно с помощью принципа, называемого методом шагов. Например, рассмотрим DDE с одной задержкой.

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (x (t), x (t- \ tau))}

с заданным начальным условием ${\ displaystyle \ phi \ двоеточие [- \ tau, 0] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ . Тогда решение на интервале ${\ Displaystyle [0, \ тау]}$ дан кем-то ${\ Displaystyle \ psi (т)}$ которое является решением неоднородной начальной задачи

{\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} \ psi (t) = f (\ psi (t), \ phi (t- \ tau))}

,

с ${\ Displaystyle \ psi (0) = \ phi (0)}$ . Это можно продолжить для последовательных интервалов, используя решение для предыдущего интервала как неоднородный член. На практике проблема начального значения часто решается численно.

Пример

Предполагать ${\ Displaystyle е (Икс (Т), Икс (т- \ тау)) = топор (т- \ тау)}$ и ${\ displaystyle \ phi (t) = 1}$ . Тогда проблема начального значения может быть решена с помощью интегрирования,

{\ displaystyle x (t) = x (0) + \ int _ {s = 0} ^ {t} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = 1 + a \ int _ {s = 0} ^ {t} \ phi (s- \ tau) \, {\ rm {d}} s,}

т.е. ${\ displaystyle x (t) = at + 1}$ , где начальное условие определяется выражением ${\ Displaystyle х (0) = \ фи (0) = 1}$ . Аналогично для интервала ${\ Displaystyle т \ в [\ тау, 2 \ тау]}$ интегрируем и подбираем начальное условие,

{\ displaystyle {\ begin {align} x (t) = x (\ tau) & {} + \ int _ {s = \ tau} ^ {t} {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (s) \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) \\ & {} + a \ int _ {s = \ tau} ^ {t} a (s- \ tau) +1 \, {\ rm {d}} s = (a \ tau +1) + a \ int _ {s = 0} ^ {t- \ tau} as + 1 \, {\ rm {d}} s, \ end {align}}}

т.е. ${\ displaystyle x (t) = (a \ tau +1) + a (t- \ tau) \ left ({\ frac {a (t- \ tau)} {2}} + 1 \ right).}$

Сведение к ODE

В некоторых случаях дифференциальные уравнения могут быть представлены в формате, напоминающем дифференциальные уравнения с запаздыванием .

Пример 1 Рассмотрим уравнение

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} x (t + \ tau) e ^ {\ lambda \ tau} \, {\ rm {d}} \ tau \ right).}

Представлять

{\ Displaystyle у (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {0} х (т + \ тау) е ^ {\ лямбда \ тау} \, {\ rm {d}} \ тау}

получить систему ODE

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} y (t) = x- \ lambda y.}

Пример 2 Уравнение

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f \ left (t, x (t), \ int _ {- \ infty} ^ { 0} х (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau \ right)}

эквивалентно

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = f (t, x, y), \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} y (t) = \ cos (\ beta) x + \ alpha z, \ quad {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} z (t) = \ sin (\ beta) x- \ alpha y,}

куда

{\ displaystyle y = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \ cos (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau, \ quad z = \ int _ {- \ infty} ^ {0} x (t + \ tau) \ sin (\ alpha \ tau + \ beta) \, {\ rm {d}} \ tau.}

Характеристическое уравнение

Подобно ODE , многие свойства линейных DDE можно охарактеризовать и проанализировать с помощью характеристического уравнения . ^[5] Характеристическое уравнение, связанное с линейным DDE с дискретными задержками.

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = A_ {0} x (t) + A_ {1} x (t- \ tau _ { 1}) + \ dotsb + A_ {m} x (t- \ tau _ {m})}

является

{\ displaystyle {\ rm {det}} (- \ lambda I + A_ {0} + A_ {1} e ^ {- \ tau _ {1} \ lambda} + \ dotsb + A_ {m} e ^ {- \ tau _ {m} \ lambda}) = 0}

.

Корни λ характеристического уравнения называются характеристическими корнями или собственными значениями, а множество решений часто называют спектром . Из-за экспоненты в характеристическом уравнении DDE имеет, в отличие от случая ODE, бесконечное количество собственных значений, что делает спектральный анализ более сложным. Однако у спектра есть некоторые свойства, которые можно использовать при анализе. Например, даже несмотря на то, что существует бесконечное количество собственных значений, есть только конечное количество собственных значений справа от любой вертикальной линии в комплексной плоскости. ^{[ необходима цитата ]}

Это характеристическое уравнение представляет собой нелинейную проблему собственных значений, и существует множество методов численного вычисления спектра. ^[6] В некоторых особых случаях можно явно решить характеристическое уравнение. Рассмотрим, например, следующий DDE:

{\ displaystyle {\ frac {\ rm {d}} {{\ rm {d}} t}} x (t) = - x (t-1).}

Характеристическое уравнение:

{\ displaystyle - \ lambda -e ^ {- \ lambda} = 0. \,}

Для комплексного λ существует бесконечное число решений этого уравнения. Они даны

{\ displaystyle \ lambda = W_ {k} (- 1)}

,

где W _к является к - й ветви функции Ламберта W .

Приложения

Динамика диабета ^[7]
Эпидемиология ^[8]^[9]
Динамика населения ^[10]^[11]
Классическая электродинамика ^[12]

См. Также

Функционально-дифференциальное уравнение

Ссылки

^ Ричард, Жан-Пьер (2003). «Системы с временной задержкой: обзор некоторых недавних достижений и открытых проблем». Automatica . 39 (10): 1667–1694. DOI : 10.1016 / S0005-1098 (03) 00167-5 .
^ Лаваи, Джавад; Соджуди, Сомайе; Мюррей, Ричард М. (2010). «Простая реализация контроллеров непрерывного времени на основе задержки» . Труды Американской конференции по контролю за 2010 г .: 5781–5788. DOI : 10,1109 / ACC.2010.5530439 .
^ Грибель, Томас (2017-01-01). «Уравнение пантографа в квантовом исчислении» . Магистерские диссертации .
^ Окендон, Джон Ричард; Тайлер, AB; Темпл, Джордж Фредерик Джеймс (1971-05-04). «Динамика токосъемной системы электровоза» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 322 (1551): 447–468. DOI : 10,1098 / rspa.1971.0078 .
^ Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области дизайна и управления. Общество промышленной и прикладной математики. С. 3–32. DOI : 10.1137 / 1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0.
^ Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области дизайна и управления. Общество промышленной и прикладной математики. С. 33–56. DOI : 10.1137 / 1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0.
^ Makroglou, Афина; Ли, Цзясю; Куанг, Ян (2006-03-01). «Математические модели и программные средства для системы регуляции глюкозы-инсулина и диабета: обзор» . Прикладная вычислительная математика . Избранные статьи, Третья международная конференция по численным решениям уравнений Вольтерра и с запаздыванием. 56 (3): 559–573. DOI : 10.1016 / j.apnum.2005.04.023 . ISSN 0168-9274 .
^ Солпитер, Эдвин Э .; Солпитер, Шелли Р. (15 февраля 1998 г.). «Математическая модель эпидемиологии туберкулеза с оценками репродуктивного числа и функции задержки заражения» . Американский журнал эпидемиологии . 147 (4): 398–406. DOI : 10.1093 / oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN 0002-9262 .
^ Кадзивара, Цуёси; Сасаки, Тору; Такеучи, Ясухиро (01.08.2012). «Построение функционалов Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием в вирусологии и эпидемиологии» . Нелинейный анализ: приложения в реальном мире . 13 (4): 1802–1826. DOI : 10.1016 / j.nonrwa.2011.12.011 . ISSN 1468-1218 .
^ Gopalsamy, К. (1992). Устойчивость и колебания в дифференциальных уравнениях динамики населения с запаздыванием . Математика и ее приложения. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0792315940.
Перейти ↑ Kuang, Y. (1993). Дифференциальные уравнения с запаздыванием и приложения в динамике населения . Математика в науке и технике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0080960029.
^ Лопес, Álvaro Г. (2020-09-01). «Об электродинамической природе квантовых флуктуаций» . Нелинейная динамика . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . DOI : 10.1007 / s11071-020-05928-5 . ISSN 1573-269X .

Дальнейшее чтение

Беллен, Альфредо; Дзеннаро, Марино (2003). Численные методы решения дифференциальных уравнений с запаздыванием . Вычислительная математика и научные вычисления. Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0198506546.
Беллман, Ричард; Кук, Кеннет Л. (1963). Дифференциально-разностные уравнения (PDF) . Математика в науке и технике. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 978-0120848508.
Бриат, Корентин (2015). Линейные системы с изменяющимися параметрами и с запаздыванием: анализ, наблюдение, фильтрация и контроль . Успехи в задержках и динамике. Гейдельберг, Германия: Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490.
Драйвер, Родни Д. (1977). Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием . Прикладные математические науки. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387902319.
Эрнё, Томас (2009). Прикладные дифференциальные уравнения с запаздыванием . Обзоры и учебные пособия по прикладным математическим наукам. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN 978-0387743714.

Внешние ссылки

Скип Томпсон (ред.). «Дифференциальные уравнения с запаздыванием» . Scholarpedia .

[1] Ричард, Жан-Пьер (2003). «Системы с временной задержкой: обзор некоторых недавних достижений и открытых проблем». Automatica . 39 (10): 1667–1694. DOI : 10.1016 / S0005-1098 (03) 00167-5 .

[2] Лаваи, Джавад; Соджуди, Сомайе; Мюррей, Ричард М. (2010). «Простая реализация контроллеров непрерывного времени на основе задержки» . Труды Американской конференции по контролю за 2010 г .: 5781–5788. DOI : 10,1109 / ACC.2010.5530439 .

[3] Грибель, Томас (2017-01-01). «Уравнение пантографа в квантовом исчислении» . Магистерские диссертации .

[4] Окендон, Джон Ричард; Тайлер, AB; Темпл, Джордж Фредерик Джеймс (1971-05-04). «Динамика токосъемной системы электровоза» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 322 (1551): 447–468. DOI : 10,1098 / rspa.1971.0078 .

[5] Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области дизайна и управления. Общество промышленной и прикладной математики. С. 3–32. DOI : 10.1137 / 1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0.

[6] Михилс, Вим; Никулеску, Сильвиу-Юлиан (2007). Устойчивость и стабилизация систем с запаздыванием . Достижения в области дизайна и управления. Общество промышленной и прикладной математики. С. 33–56. DOI : 10.1137 / 1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0.

[7] Makroglou, Афина; Ли, Цзясю; Куанг, Ян (2006-03-01). «Математические модели и программные средства для системы регуляции глюкозы-инсулина и диабета: обзор» . Прикладная вычислительная математика . Избранные статьи, Третья международная конференция по численным решениям уравнений Вольтерра и с запаздыванием. 56 (3): 559–573. DOI : 10.1016 / j.apnum.2005.04.023 . ISSN 0168-9274 .

[8] Солпитер, Эдвин Э .; Солпитер, Шелли Р. (15 февраля 1998 г.). «Математическая модель эпидемиологии туберкулеза с оценками репродуктивного числа и функции задержки заражения» . Американский журнал эпидемиологии . 147 (4): 398–406. DOI : 10.1093 / oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN 0002-9262 .

[9] Кадзивара, Цуёси; Сасаки, Тору; Такеучи, Ясухиро (01.08.2012). «Построение функционалов Ляпунова для дифференциальных уравнений с запаздыванием в вирусологии и эпидемиологии» . Нелинейный анализ: приложения в реальном мире . 13 (4): 1802–1826. DOI : 10.1016 / j.nonrwa.2011.12.011 . ISSN 1468-1218 .

[10] Gopalsamy, К. (1992). Устойчивость и колебания в дифференциальных уравнениях динамики населения с запаздыванием . Математика и ее приложения. Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0792315940.

[11] Перейти ↑ Kuang, Y. (1993). Дифференциальные уравнения с запаздыванием и приложения в динамике населения . Математика в науке и технике. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0080960029.

[12] Лопес, Álvaro Г. (2020-09-01). «Об электродинамической природе квантовых флуктуаций» . Нелинейная динамика . 102 (1): 621–634. arXiv : 2001.07392 . DOI : 10.1007 / s11071-020-05928-5 . ISSN 1573-269X .