В математике , временная шкала исчисления является объединение теории разностных уравнений с тем, что из дифференциальных уравнений , объединяющих интегральное и дифференциальное исчисление с исчислением конечных разностей , предлагая формализм для изучения гибридных дискретно-непрерывных динамических систем . У него есть приложения в любой области, где требуется одновременное моделирование дискретных и непрерывных данных. Он дает новое определение производной, так что если дифференцировать функцию, определенную на действительных числах, то определение эквивалентно стандартному дифференцированию, но если использовать функцию, определенную на целых числах, то это эквивалентнооператор прямой разницы .
История
Исчисление шкалы времени было введено в 1988 году немецким математиком Стефаном Хильгером . [1] Однако аналогичные идеи использовались раньше и восходят, по крайней мере, к введению интеграла Римана – Стилтьеса , который объединяет суммы и интегралы.
Динамические уравнения
Многие результаты, касающиеся дифференциальных уравнений, довольно легко переносятся на соответствующие результаты для разностных уравнений, в то время как другие результаты кажутся полностью отличными от своих непрерывных аналогов. [2] Изучение динамических уравнений во временных масштабах выявляет такие несоответствия и помогает избежать доказательства результатов дважды - один раз для дифференциальных уравнений и еще раз для разностных уравнений. Общая идея состоит в том, чтобы доказать результат для динамического уравнения, в котором область определения неизвестной функции представляет собой так называемую шкалу времени (также известную как набор времени), которая может быть произвольным замкнутым подмножеством вещественных чисел. Таким образом, результаты применимы не только к набору из действительных чисел или множества целых чисел , но и более общие шкалы времени , таких как множество Кантора .
Три самых популярных примера исчисления на шкалах времени - это дифференциальное исчисление , разностное исчисление и квантовое исчисление . Динамические уравнения в масштабе времени имеют потенциал для применения, например, в динамике популяций . Например, они могут моделировать популяции насекомых, которые непрерывно развиваются в течение сезона, вымирают зимой, пока их яйца инкубируются или находятся в состоянии покоя, а затем вылупляются в новом сезоне, создавая неперекрывающуюся популяцию.
Формальные определения
Временная шкала (или мера цепь ) представляет собой замкнутое подмножество в реальной линии . Обычное обозначение для общей шкалы времени:.
Двумя наиболее часто встречающимися примерами шкал времени являются действительные числа. и шкала дискретного времени.
Отдельная точка временной шкалы определяется как:
Операции на шкалах времени
Операторы перехода вперед и назад представляют собой ближайшую точку на шкале времени справа и слева от данной точки., соответственно. Формально:
- (оператор прямого сдвига / перехода)
- (оператор обратного сдвига / перехода)
зернистость - это расстояние от точки до ближайшей точки справа и определяется по формуле:
Для правильной плотной , а также .
Для левого плотного,
Классификация очков
Для любой , является:
- осталось плотным, если
- право плотно, если
- осталось разбросанным, если
- право разбросано, если
- плотная, если обе плотные слева и справа плотные
- изолирован, если оба рассеиваются слева и справа
Как показано на рисунке справа:
- Точка является плотным
- Точка это осталось плотное и право рассеянные
- Точка это изолированные
- Точка это осталось рассеиваются и правой плотной
Непрерывность
Непрерывность временной шкалы переопределяется как эквивалент плотности. Шкала времени называется непрерывной вправо в точке если он плотный в точке . Точно так же шкала времени называется непрерывной слева в точке если он оставлен плотным в точке .
Производная
Возьмите функцию:
- ,
(где ℝ может быть любым банаховым пространством , но для простоты установлено на действительную линию).
Определение: дельта-производная (также производная Хильгера) существует тогда и только тогда, когда:
Для каждого существует район из такой, что:
для всех в .
Брать потом , , ; - производная, используемая в стандартном исчислении . Если( целые числа ),, , - прямой разностный оператор, используемый в разностных уравнениях.
Интеграция
Интеграл дельта определяется как первообразной по отношению к производной дельта. Если имеет непрерывную производную один набор
Преобразование Лапласа и z-преобразование
Преобразование Лапласа может быть определена для функций на временных масштабах, которая использует ту же самую таблицу преобразований для любого произвольного масштаба времени. Это преобразование можно использовать для решения динамических уравнений в масштабах времени. Если шкала времени представляет собой неотрицательные целые числа, тогда преобразование равно [2] модифицированному Z-преобразованию :
Частичная дифференциация
Уравнения в частных производных и уравнения в частных производных объединены в уравнения динамики в частных производных на временных масштабах. [3] [4] [5]
Множественная интеграция
Множественная интеграция по шкалам времени рассматривается в Bohner (2005). [6]
Стохастические динамические уравнения на временных масштабах
Стохастические дифференциальные уравнения и стохастические разностные уравнения могут быть обобщены на стохастические динамические уравнения во временных масштабах. [7]
Теория меры на шкалах времени
С каждой шкалой времени связана естественная мера [8] [9], определяемая через
где обозначает меру Лебега, а - оператор обратного сдвига, определенный на . Дельта-интеграл оказывается обычным интегралом Лебега – Стилтьеса по этой мере
а дельта-производная оказывается производной Радона – Никодима по этой мере [10]
Распределения по шкалам времени
Дирак и Кронекер объединены во временных масштабах , как дельта Хильгера : [11] [12]
Интегральные уравнения на временных масштабах
Интегральные уравнения и уравнения суммирования объединяются в интегральные уравнения на временных масштабах. [ необходима цитата ]
Дробное исчисление на шкалах времени
Дробное исчисление на шкалах времени рассматривается в Бастосе, Мозырской и Торресе. [13]
Смотрите также
- Анализ фракталов для динамических уравнений на канторовом множестве .
- Многокомасштабный анализ
- Метод усреднения
- Метод усреднения Крылова – Боголюбова.
Рекомендации
- ^ Хильгер, Стефан (1989). Ein Maßkettenkalkül mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten (докторская диссертация). Universität Würzburg. OCLC 246538565 .
- ^ а б Мартин Бонер и Аллан Петерсон (2001). Динамические уравнения на шкалах времени . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4225-9.
- ^ Ahlbrandt, Calvin D .; Мориан, Кристина (2002). «Уравнения с частными производными на шкалах времени» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 141 (1–2): 35–55. Bibcode : 2002JCoAM.141 ... 35А . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (01) 00434-4 .
- ^ Джексон, Б. (2006). «Частные динамические уравнения на временных масштабах» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 186 (2): 391–415. Bibcode : 2006JCoAM.186..391J . DOI : 10.1016 / j.cam.2005.02.011 .
- ^ Bohner, M .; Гусейнов, Г.С. (2004). «Частичная дифференциация по шкалам времени» (PDF) . Динамические системы и приложения . 13 : 351–379.
- ^ Bohner, M; Гусейнов, Г.С. (2005). «Множественная интеграция по временным шкалам». Динамические системы и приложения . CiteSeerX 10.1.1.79.8824 .
- ^ Саньял, Суман (2008). Стохастические динамические уравнения (кандидатская диссертация). Миссурийский университет науки и технологий . ProQuest 304364901 .
- ^ Гусейнов, Г.С. (2003). «Интеграция по шкалам времени». J. Math. Анальный. Прил . 285 : 107–127. DOI : 10.1016 / S0022-247X (03) 00361-5 .
- ^ Дениз, А. (2007). Теория меры на шкалах времени (PDF) (магистерская диссертация). Измирский технологический институт .
- ^ Eckhardt, J .; Тешл, Г. (2012). «О связи производных Хильгера и Радона – Никодима». J. Math. Анальный. Прил . 385 (2): 1184–1189. arXiv : 1102,2511 . DOI : 10.1016 / j.jmaa.2011.07.041 .
- ^ Дэвис, Джон М .; Gravagne, Ian A .; Джексон, Билли Дж .; Маркс, Роберт Дж. II; Рамос, Алиса А. (2007). «Снова о преобразовании Лапласа во временных масштабах». J. Math. Анальный. Прил . 332 (2): 1291–1307. Bibcode : 2007JMAA..332.1291D . DOI : 10.1016 / j.jmaa.2006.10.089 .
- ^ Дэвис, Джон М .; Gravagne, Ian A .; Маркс, Роберт Дж. II (2010). «Двусторонние преобразования Лапласа на шкалах времени: сходимость, свертка и характеристика стационарных стохастических временных рядов». Схемы, системы и обработка сигналов . 29 (6): 1141–1165. DOI : 10.1007 / s00034-010-9196-2 .
- ^ Бастос, Нуно РО; Мозырская, Дорота; Торрес, Delfim FM (2011). «Дробные производные и интегралы на шкале времени через обратное обобщенное преобразование Лапласа». Международный журнал математики и вычислений . 11 (J11): 1–9. arXiv : 1012,1555 . Bibcode : 2010arXiv1012.1555B .
дальнейшее чтение
- Агарвал, Рави; Бонер, Мартин; О'Реган, Донал; Петерсон, Аллан (2002). «Динамические уравнения на временных шкалах: обзор» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 141 (1-2): 1-26. Bibcode : 2002JCoAM.141 .... 1A . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (01) 00432-0 .
- Динамические уравнения на шкале времени Специальный выпуск журнала "Вычислительная и прикладная математика" (2002 г.)
- Динамические уравнения и приложения. Специальный выпуск " Усовершенствования в разностных уравнениях" (2006 г.)
- Динамические уравнения на шкалах времени: качественный анализ и приложения. Специальный выпуск нелинейной динамики и теории систем (2009 г.)
Внешние ссылки
- Группа шкал времени Университета Бэйлора
- Timescalewiki.org