Упругая энергия

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Эластичная энергия»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Ведущий раздел этой статьи может быть слишком длинным для всей статьи . Помогите, переместив какой-нибудь материал из него в основную часть статьи. Пожалуйста, прочтите руководство по макету и рекомендации по разделу, чтобы убедиться, что в разделе по-прежнему содержатся все важные детали. Пожалуйста, обсудите этот вопрос на странице обсуждения статьи . ( Июнь 2015 г. ) Некоторые или все формулы, представленные в этой статье, содержат отсутствующие или неполные описания их переменных, символов или констант, что может создать двусмысленность или помешать полной интерпретации. Пожалуйста, помогите найти специалиста или улучшите эту статью самостоятельно. Подробности смотрите на странице обсуждения . ( Февраль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Упругая энергия является механической потенциальной энергия сохраняется в конфигурации материала или физической системы , как он подвергается упругой деформации пути работы выполняется на нем. Упругая энергия возникает, когда объекты непостоянно сжимаются, растягиваются или вообще деформируются каким-либо образом. Теория упругости в первую очередь разрабатывает формализмы для механики твердых тел и материалов. ^[1] (Обратите внимание, однако, что работа, выполняемая растянутой резинкой, не является примером упругой энергии. Это пример энтропийной упругости .) Уравнение упругой потенциальной энергии используется в расчетах положений механического равновесия. Энергия является потенциальной, поскольку она будет преобразована в другие формы энергии, такие как кинетическая энергия и энергия звука , когда объекту будет позволено вернуться к своей исходной форме (преобразованию) за счет его упругости .

${\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} k \, \ Delta x ^ {2} \,}$

Суть эластичности - обратимость. Силы, приложенные к упругому материалу, передают энергию материалу, который, передав эту энергию окружающей среде, может восстановить свою первоначальную форму. Однако у всех материалов есть пределы степени деформации, которую они могут выдерживать, не разрушая или необратимо изменяя свою внутреннюю структуру. Следовательно, характеристики твердых материалов включают определение, обычно с точки зрения деформации, пределов упругости. За пределами упругости материал больше не накапливает всю энергию механической работы, выполняемой над ним, в форме упругой энергии.

Упругая энергия вещества или внутри вещества - это статическая энергия конфигурации. Это соответствует энергии, запасенной в основном за счет изменения межатомных расстояний между ядрами. Тепловая энергия - это случайное распределение кинетической энергии внутри материала, приводящее к статистическим колебаниям материала относительно равновесной конфигурации. Однако есть некоторое взаимодействие. Например, для некоторых твердых объектов скручивание, изгиб и другие искажения могут генерировать тепловую энергию, вызывая повышение температуры материала. Тепловая энергия в твердых телах часто переносится внутренними упругими волнами, называемыми фононами.. Упругие волны, которые велики в масштабе изолированного объекта, обычно вызывают макроскопические колебания, в которых недостаточно хаотизации, так что их колебания представляют собой просто повторяющийся обмен между (упругой) потенциальной энергией внутри объекта и кинетической энергией движения объекта в целом.

Хотя эластичность чаще всего ассоциируется с механикой твердых тел или материалов, даже ранняя литература по классической термодинамике определяет и использует «эластичность жидкости» способами, совместимыми с широким определением, приведенным во введении выше. ^{[2] : 107 et seq.}

Твердые вещества включают сложные кристаллические материалы с иногда сложным поведением. Напротив, поведение сжимаемых жидкостей, и особенно газов, демонстрирует сущность упругой энергии с незначительным усложнением. Простая термодинамическая формула: где dU - бесконечно малое изменение извлекаемой внутренней энергии U , P - равномерное давление (сила на единицу площади), приложенное к исследуемому образцу материала, а dV - бесконечно малое изменение объема, которое соответствует изменению во внутренней энергии. Знак минус появляется потому, что dV отрицательно при сжатии положительным приложенным давлением, которое также увеличивает внутреннюю энергию. При обращении, работа, которая делается с помощью${\ Displaystyle dU = -P \, dV \,}$система является отрицательной величиной изменения ее внутренней энергии, соответствующей положительному значению dV увеличивающегося объема. Другими словами, система теряет накопленную внутреннюю энергию при работе с окружающей средой. Давление - это напряжение, а изменение объема соответствует изменению относительного расстояния между точками внутри материала. Связь между напряжением, деформацией и внутренней энергией приведенной выше формулы повторяется в формулировках для упругой энергии твердых материалов со сложной кристаллической структурой.

Упругая потенциальная энергия в механических системах [ править ]

Компоненты механических систем хранят упругую потенциальную энергию, если они деформируются при приложении к системе сил. Энергия передается объекту работой, когда внешняя сила смещает или деформирует объект. Количество переданной энергии - это векторное скалярное произведение силы и смещения объекта. Когда к системе прилагаются силы, они распределяются внутри по ее составным частям. В то время как некоторая часть передаваемой энергии может в конечном итоге сохраняться в виде кинетической энергии приобретенной скорости, деформация составляющих объектов приводит к накоплению упругой энергии.

Прототипом упругого элемента является витая пружина. Линейные упругие характеристики пружины параметризуются коэффициентом пропорциональности, называемым жесткостью пружины. Эта постоянная обычно обозначается как k (см. Также закон Гука ) и зависит от геометрии, площади поперечного сечения, длины недеформированной конструкции и природы материала, из которого изготовлена ​​катушка. В определенном диапазоне деформации k остается постоянным и определяется как отрицательное отношение смещения к величине возвращающей силы, создаваемой пружиной при этом смещении.

${\ displaystyle k = - {\ tfrac {F_ {r}} {L-L_ {o}}}}$

Деформированная длина, L , может быть больше или меньше, чем L _o , недеформированная длина, поэтому, чтобы поддерживать k положительным, F _r необходимо задавать как векторную составляющую возвращающей силы, знак которой отрицательный для L > L _o и положительный для L < L _o . Если смещение сокращено как

${\ Displaystyle (L-L_ {о}) = х \,}$

то закон Гука можно записать в обычном виде

${\ Displaystyle F_ {r} = \, - k \, x}$.

Энергия, поглощенная и удерживаемая в пружине, может быть получена с использованием закона Гука для вычисления возвращающей силы как меры приложенной силы. Это требует предположения, достаточно правильного в большинстве случаев, что в данный момент величина приложенной силы F _a равна величине результирующей возвращающей силы, но ее направление и, следовательно, знак различны. Другими словами, предположим, что в каждой точке смещения F _a = k x , где F _a - составляющая приложенной силы вдоль направления x

${\ displaystyle {\ vec {F_ {a}}} \ cdot {\ vec {x}} = F_ {a} \, x.}$

Для каждого бесконечно малого смещения dx приложенная сила равна просто kx, а продукт этого - бесконечно малый перенос энергии в пружину dU . Таким образом, полная упругая энергия, передаваемая в пружину от нулевого смещения до конечной длины L, представляет собой интеграл

${\ displaystyle U = \ int _ {0} ^ {L-L_ {o}} {k \ x \ dx} = {\ tfrac {1} {2}} k (L-L_ {o}) ^ {2 }}$

Для материала с модулем Юнга Y (то же, что и модуль упругости λ ), площадь поперечного сечения A ₀ , начальная длина l ₀ , которая растягивается на длину :${\ displaystyle \ Delta l}$

${\displaystyle U_{e}=\int {\frac {YA_{0}\Delta l}{l_{0}}}\,d\left(\Delta l\right)={\frac {YA_{0}{\Delta l}^{2}}{2l_{0}}}}$

где U _e - упругая потенциальная энергия.

Упругая потенциальная энергия на единицу объема определяется как:

${\displaystyle {\frac {U_{e}}{A_{0}l_{0}}}={\frac {Y{\Delta l}^{2}}{2l_{0}^{2}}}={\frac {1}{2}}Y{\varepsilon }^{2}}$

где - деформация материала.${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}}$

В общем случае упругая энергия определяется как свободная энергия, приходящаяся на единицу объема f, как функция компонент тензора деформаций ε _ij

${\displaystyle f(\varepsilon _{ij})={\frac {1}{2}}\lambda \varepsilon _{ii}^{2}+\mu \varepsilon _{ij}^{2}}$

где λ и μ - упругие коэффициенты Ламе, и мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании . Отмечая термодинамическую связь между компонентами тензора напряжений и компонентами тензора деформаций, ^[1]

${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\frac {\partial f}{\partial \varepsilon _{ij}}}\right)_{T},}$

где индекс T означает, что температура поддерживается постоянной, тогда мы находим, что если закон Гука справедлив, мы можем записать плотность упругой энергии как

${\displaystyle f={\frac {1}{2}}\varepsilon _{ij}\sigma _{ij}.}$

Системы континуума [ править ]

Сыпучий материал можно искажать разными способами: растягивать, разрезать, изгибать, скручивать и т. Д. Каждый вид искажения вносит свой вклад в упругую энергию деформируемого материала. Таким образом, в ортогональных координатах упругая энергия, приходящаяся на единицу объема из-за деформации, представляет собой сумму вкладов:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}C_{ijkl}\varepsilon _{ij}\varepsilon _{kl}}$ ,

где - тензор 4-го ранга , называемый тензором упругости или иногда жесткости ^[3], который является обобщением модулей упругости механических систем, и является тензором деформации ( обозначение суммирования Эйнштейна использовалось для суммирования по повторяющимся индексам) . Значения зависят от кристаллической структуры материала: в общем случае из-за симметричной природы и тензор упругости состоит из 21 независимого коэффициента упругости. ^[4] Это число может быть уменьшено за счет симметрии материала: 9 для ромбического кристалла, 5 для гексагонального${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \varepsilon }$структура и 3 для кубической симметрии. ^[5] Наконец, для изотропного материала есть только два независимых параметра , где и - константы Ламе , а - дельта Кронекера .${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu (\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \delta _{ij}}$

Сам тензор деформации может быть определен таким образом, чтобы отражать искажение любым способом, который приводит к инвариантности относительно полного вращения, но наиболее распространенное определение, в котором обычно выражаются тензоры упругости, определяет деформацию как симметричную часть градиента смещения со всеми нелинейными членами подавлено:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i})}$

где - смещение в точке по направлению, а - частная производная по направлению. Обратите внимание, что:${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle i^{th}}$${\displaystyle \partial _{j}}$${\displaystyle j^{th}}$

${\displaystyle \varepsilon _{jj}=\partial _{j}u_{j}}$

где суммирование не предполагается. Хотя полные обозначения Эйнштейна суммируют по повышенным и пониженным парам индексов, значения компонент тензора упругости и деформации обычно выражаются со всеми пониженными индексами. Таким образом, будьте осторожны (как здесь), что в некоторых контекстах повторяющийся индекс не подразумевает сумму превышений этого индекса ( в данном случае), а просто один компонент тензора.${\displaystyle j}$

См. Также [ править ]

• Заводной
• Эластичность резины

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• ^[1]