Функция Ламе

В математике функция Ламе или эллипсоидальная гармоническая функция является решением уравнения Ламе , обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Он был представлен в статье ( Gabriel Lamé  1837 ). Уравнение Ламе появляется в методе разделения переменных, применяемом к уравнению Лапласа в эллиптических координатах . В некоторых частных случаях решения могут быть выражены в терминах многочленов, называемых многочленами Ламе .

Уравнение Ламе [ править ]

Уравнение Ламе:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + (A + B \ wp (x)) y = 0,}$

где A и B - константы, а - эллиптическая функция Вейерштрасса . Наиболее важный случай - это когда , где - эллиптическая синусоидальная функция , и для целого числа n и эллиптического модуля, и в этом случае решения расширяются до мероморфных функций, определенных на всей комплексной плоскости. Для других значений B решения имеют точки ветвления .${\ displaystyle \ wp}$${\ displaystyle B \ wp (x) = - \ kappa ^ {2} \ operatorname {sn} ^ {2} x}$${\ displaystyle \ operatorname {sn}}$${\ Displaystyle \ каппа ^ {2} = п (п + 1) к ^ {2}}$${\ displaystyle k}$

Заменив независимую переменную на with , уравнение Ламе также можно переписать в алгебраической форме как${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t = \ operatorname {sn} x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,}$

которое после замены переменной становится частным случаем уравнения Гойна .

Более общая форма уравнения Ламе - это эллипсоидальное уравнение или уравнение эллипсоидальной волны, которое можно записать (заметьте, теперь мы пишем , а не как выше)${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(\Lambda -\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x-\Omega ^{2}k^{4}\operatorname {sn} ^{4}x)y=0,}$

где это эллиптический модуль эллиптических функций Якоби и и константа. Поскольку уравнение становится уравнением Ламе с . Поскольку уравнение сводится к уравнению Матье${\displaystyle k}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega =0}$${\displaystyle \Lambda =A}$${\displaystyle \Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda ,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+(\lambda -2h^{2}\cos 2z)y=0.}$

Форма Вейерштрасса уравнения Ламе совершенно непригодна для вычислений (как также замечает Арскотт, стр. 191). Наиболее подходящей формой уравнения является якобианская форма, как указано выше. Алгебраические и тригонометрические формы также неудобны в использовании. Уравнения Ламе возникают в квантовой механике как уравнения малых флуктуаций относительно классических решений - называемых периодическими инстантонами , скачками или пузырями - уравнений Шредингера для различных периодических и ангармонических потенциалов. ^{[1] [2]}

Асимптотические разложения [ править ]

Асимптотические разложения периодических эллипсоидальных волновых функций, а вместе с тем и функций Ламе для больших значений были получены Мюллером. ^{[3] [4] [5]} Полученное им асимптотическое разложение для собственных значений - это приблизительно с нечетным целым числом (и будет более точно определено граничными условиями - см. Ниже),${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (q)={}&q\kappa -{\frac {1}{2^{3}}}(1+k^{2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2}+3)-4k^{2}(q^{2}+5)\}\\[6pt]&{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{\Big \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)-4k^{2}(1+k^{2})(5q^{4}+34q^{2}+9)\\[6pt]&{}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\Big \}}-\cdots ,\end{aligned}}}$

(еще один (пятый) член, не приведенный здесь, был вычислен Мюллером, первые три члена также были получены Инсом ^[6] ). Наблюдайте, что члены поочередно четные и нечетные в и (как в соответствующих расчетах для функций Матье , сжатых сфероидальных волновых функций и вытянутых сфероидальных волновых функций ). При следующих граничных условиях (в которых четверть периода задается полным эллиптическим интегралом)${\displaystyle q}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle K(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Ec} (2K)=\operatorname {Ec} (0)=0,\;\;\operatorname {Es} (2K)=\operatorname {Es} (0)=0,}$

а также (производная в простом смысле)

${\displaystyle (\operatorname {Ec} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Ec} )_{0}^{'}=0,\;\;(\operatorname {Es} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Es} )_{0}^{'}=0,}$

определяющие соответственно эллипсоидальные волновые функции

${\displaystyle \operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}-1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}}}$

периодов и для одного получает${\displaystyle 4K,2K,2K,4K,}$${\displaystyle q_{0}=1,3,5,\ldots }$

${\displaystyle q-q_{0}=\mp 2{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}\left[1-{\frac {3(q_{0}^{2}+1)(1+k^{2})}{2^{5}\kappa }}+\cdots \right].}$

Здесь верхний знак относится к решениям, а нижний - к решениям . Наконец, расширяя примерно один, получаем${\displaystyle \operatorname {Ec} }$${\displaystyle \operatorname {Es} }$${\displaystyle \Lambda (q)}$${\displaystyle q_{0},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\pm }(q)\simeq {}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\left({\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\[6pt]={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left[1-{\frac {q_{0}(1+k^{2})}{2^{2}\kappa }}-{\frac {1}{2^{6}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(q_{0}^{2}+1)-4k^{2}(q_{0}^{2}+2q_{0}+5)\}+\cdots \right]\\[6pt]\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}{\Big [}1-{\frac {1}{2^{5}\kappa }}(1+k^{2})(3q_{0}^{2}+8q_{0}+3)\\[6pt]&{}+{\frac {1}{3.2^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0}^{2}-88q_{0}-87)\\[6pt]&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0}+15)\}-\cdots {\Big ]}.\end{aligned}}}$

В пределе уравнения Матье (к которому можно свести уравнение Ламе) эти выражения сводятся к соответствующим выражениям случая Матье (как показано Мюллером).

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Арскотт, Ф.М. (1964), Периодические дифференциальные уравнения , Оксфорд: Pergamon Press , стр. 191–236..
• Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955), Высшие трансцендентные функции (PDF) , Bateman Manuscript Project, Vol. III, Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw-Hill , стр. XVII + 292, MR  0066496 , Zbl  0064.06302 |volume= has extra text (help)CS1 maint: discouraged parameter (link).
• Ламе, Г. (1837), «Изотермы поверхностей в соответствии с принципами гомогенности и равновесия температуры» , Journal de mathématiques pures et appliquées , 2 : 147–188.. Доступно в Gallica .
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Уравнение Ламе" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Функция Ламе" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Фолькмер, Х. (2010), «Функция Ламе» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012), Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям, 2-е изд. , World Scientific