В некоторых случаях функция Матье относится к решениям дифференциального уравнения Матье для произвольных значений а также . Когда не может возникнуть путаницы, другие авторы используют этот термин специально для обозначения- или же -периодические решения, существующие только при особых значениях а также . [4] Точнее, для заданных (реальных) такие периодические решения существуют для бесконечного числа значений , называемые характеристическими числами , условно обозначаемые как две отдельные последовательности а также , для . Соответствующие функции обозначены а также , соответственно. Иногда их также называют косинус-эллиптическими и синус-эллиптическими , или функциями Матье первого рода .
В результате предположения, что является действительным, как характеристические числа, так и связанные с ними функции являются действительными. [5]
а также можно далее классифицировать по четности и периодичности (как в отношении) следующим образом: [4]
Функция
Паритет
Период
четный
четный
странный
странный
Индексация с целым числом , помимо того, что служит для упорядочивания характеристических чисел в порядке возрастания, удобен тем, что а также стать пропорциональным а также в виде . С участием целое число, это приводит к классификации а также как функции Матье (первого рода) целого порядка. Для общего а также кроме них могут быть определены решения, включая функции Матье дробного порядка, а также непериодические решения.
Модифицированные функции Матье
Тесно связаны модифицированные функции Матье , также известные как радиальные функции Матье, которые являются решениями модифицированного дифференциального уравнения Матье.
которое можно связать с исходным уравнением Матье, взяв . Соответственно, модифицированные функции Матье первого рода интегрального порядка, обозначаемые а также , определены из [6]
Эти функции являются действительными, когда это реально.
Нормализация
Обычная нормализация [7], которая будет использоваться в этой статье, состоит в том, чтобы требовать
а также требовать а также в виде .
Теория Флоке
Многие свойства дифференциального уравнения Матье можно вывести из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, называемой теорией Флоке . Центральный результат - теорема Флоке :
Теорема Флоке [8] - уравнение Матье всегда имеет хотя бы одно решение. такой, что , где - константа, которая зависит от параметров уравнения и может быть действительной или комплексной.
Характерные числа естественно связать с этими ценностями что приводит к . [9] Отметим, однако, что теорема гарантирует только существование хотя бы одного решения, удовлетворяющего, когда уравнение Матье на самом деле имеет два независимых решения для любого заданного , . Действительно, оказывается, что с равное одному из характеристических чисел, уравнение Матье имеет только одно периодическое решение (то есть с периодом или же ), и это решение является одним из , . Другое решение непериодическое и обозначается а также соответственно и называемые функцией Матье второго рода . [10] Этот результат можно формально сформулировать как теорему Инса :
Теорема Инса [11] - Определите в основном периодическую функцию как функцию, удовлетворяющую . Тогда, кроме тривиального случая , Уравнение Матье никогда не имеет двух (независимых) принципиально периодических решений для одних и тех же значений а также .
Пример из теоремы Флоке с , , (действительная часть - красный цвет; мнимая часть - зеленый)
Эквивалентное утверждение теоремы Флоке состоит в том, что уравнение Матье допускает комплексное решение вида
где - комплексное число, показатель Флоке (или иногда показатель Матье ) и - комплекснозначная функция, периодическая по с периодом . Пример наносится вправо.
Другие типы функций Матье
Второй вид
Поскольку уравнение Матье является дифференциальным уравнением второго порядка, можно построить два линейно независимых решения. Согласно теории Флоке, еслиравно характеристическому числу, одно из этих решений можно считать периодическим, а другое - непериодическим. Периодическое решение является одним из а также , называемая функцией Матье первого рода целого порядка. Непериодический обозначается либо а также соответственно, и называется функцией Матье второго рода (целого порядка). Непериодические решения неустойчивы, т. Е. Расходятся как. [12]
Вторые решения, соответствующие модифицированным функциям Матье а также естественно определяются как а также .
Дробный порядок
Функции Матье дробного порядка можно определить как эти решения а также , нецелое число, которое превращается в а также в виде . [6] Еслииррационально, они непериодичны; однако они остаются ограниченными как.
Важное свойство решений а также , для нецелое число, состоит в том, что они существуют для одного и того же значения . Напротив, когда целое число, а также никогда не происходит для одного и того же значения . (См. Теорему Инса выше.)
Эти классификации кратко изложены в таблице ниже. Аналогичным образом определяются модифицированные аналоги функции Матье.
Функции Матье первого рода можно представить в виде ряда Фурье : [4]
Коэффициенты разложения а также являются функциями но независимо от . Подстановкой в уравнение Матье можно показать, что они подчиняются трехчленным рекуррентным соотношениям в нижнем индексе. Например, для каждогонаходят [14]
Повторение второго порядка в индексе , всегда можно найти два независимых решения а также так что общее решение может быть выражено как линейная комбинация двух: . Более того, в этом частном случае асимптотический анализ [15] показывает, что один из возможных вариантов выбора фундаментальных решений обладает свойством
В частности, конечно, тогда как расходится. Письмо, мы видим, что для представления ряда Фурье сходиться, должен быть выбран так, чтобы . Эти варианты соответствуют характеристическим номерам.
В общем, однако, решение трехчленной рекуррентности с переменными коэффициентами не может быть представлено простым способом, и, следовательно, нет простого способа определить из условия . Более того, даже если приблизительное значение характеристического числа известно, его нельзя использовать для получения коэффициентов путем численного повторения повторения в сторону увеличения . Причина в том, что пока только приближает характеристическое число, не идентично и расходящееся решение в конечном итоге доминирует для достаточно больших .
Чтобы преодолеть эти проблемы, требуются более сложные полуаналитические / численные подходы, например, с использованием разложения непрерывной дроби , [16] [4] преобразования рекуррентности в матричную проблему собственных значений [17] или реализации алгоритма обратной рекуррентности. [15] Сложность трехчленного рекуррентного соотношения - одна из причин, по которой существует мало простых формул и тождеств, включающих функции Матье. [18]
На практике функции Матье и соответствующие характеристические числа могут быть вычислены с использованием предварительно упакованного программного обеспечения, такого как Mathematica , Maple , MATLAB и SciPy . Для малых значений и низкий порядок , их также можно выразить пертурбативно в виде степенных рядов , что может быть полезно в физических приложениях. [19]
Второй вид
Есть несколько способов представления функций Матье второго рода. [20] Одно представление в терминах функций Бесселя : [21]
где , а также а также являются функциями Бесселя первого и второго рода.
Измененные функции
Традиционный подход к числовому вычислению модифицированных функций Матье заключается в использовании ряда произведений функций Бесселя. [22] Для больших а также , необходимо тщательно выбирать форму ряда, чтобы избежать ошибок при вычитании. [23] [24]
Характеристики
Существует относительно немного аналитических выражений и тождеств, включающих функции Матье. Более того, в отличие от многих других специальных функций, решения уравнения Матье, вообще говоря, не могут быть выражены через гипергеометрические функции . В этом можно убедиться, преобразовав уравнение Матье в алгебраическую форму с помощью замены переменной:
Поскольку это уравнение имеет нерегулярную особую точку на бесконечности, его нельзя преобразовать в уравнение гипергеометрического типа. [18]
Качественное поведение
Примерные графики функций Матье первого рода
Участок для различных
Для малых , а также вести себя аналогично а также . Для произвольных, они могут значительно отличаться от своих тригонометрических аналогов; однако в целом они остаются периодическими. Более того, для любого реального, а также иметь точно простые нули в, и, как кластер нулей около . [25] [26]
Для и, как модифицированные функции Матье имеют тенденцию вести себя как периодические функции с затуханием.
В дальнейшем а также множители из разложений Фурье для а также можно ссылаться (см. Явное представление и вычисление ). Они зависят от а также но не зависят от .
Размышления и переводы
Благодаря их четности и периодичности, а также имеют простые свойства при отражениях и переводах на кратные : [6]
Также можно писать функции с отрицательным с точки зрения положительных : [4] [27]
Более того,
Ортогональность и полнота
Как и их тригонометрические аналоги а также , периодические функции Матье а также удовлетворять соотношениям ортогональности
Более того, с фиксированный и рассматриваемое как собственное значение, уравнение Матье имеет форму Штурма-Лиувилля . Отсюда следует, что собственные функции а также образуют полный комплект, т.е. любой - или же -периодическая функция может быть расширен серией в а также . [3]
Интегральные тождества
Решения уравнения Матье удовлетворяют классу интегральных тождеств относительно ядер это решения
Точнее, если решает уравнение Матье с заданными а также , то интеграл
где представляет собой путь в комплексной плоскости , также решает уравнение Матье с тем же а также при соблюдении следующих условий: [28]
решает
В рассматриваемых регионах существует и является аналитической
имеет такое же значение в конечных точках
Используя соответствующую замену переменных, уравнение для можно преобразовать в волновое уравнение и решить. Например, одним из решений является. Примерами полученных таким образом тождеств являются [29]
Тождества последнего типа полезны для изучения асимптотических свойств модифицированных функций Матье. [30]
Также существуют интегральные отношения между функциями первого и второго рода, например: [21]
действует для любого комплекса и настоящий .
Асимптотические разложения
Следующие асимптотические разложения справедливы для , , , а также : [31]
Таким образом, модифицированные функции Матье экспоненциально убывают при большом действительном аргументе. Подобные асимптотические разложения можно записать для а также ; они также экспоненциально затухают при большом действительном аргументе.
Для четных и нечетных периодических функций Матье и соответствующие характеристические числа можно также получить асимптотические разложения для больших . [32] В частности, для характеристических чисел с приблизительно нечетное целое число, т. е.
Обратите внимание на симметрию при замене а также от а также , что является важной особенностью расширения. Условия этого расширения были получены до срока заказа включительно.. [33] Здесь всего лишь приблизительно нечетное целое число, потому что в пределе все минимальные участки периодического потенциала становятся фактически независимыми гармоническими осцилляторами (следовательно, нечетное целое число). Уменьшая, становится возможным (на физическом языке) туннелирование через барьеры, что приводит к расщеплению характеристических чисел (в квантовой механике называются собственными значениями), соответствующие четным и нечетным периодическим функциям Матье. Это расщепление получается с помощью граничных условий [34] (в квантовой механике это обеспечивает разбиение собственных значений на энергетические зоны). [35] Граничные условия:
Наложение этих граничных условий на асимптотические периодические функции Матье, связанные с указанным выше разложением для можно получить
Соответствующие характеристические числа или собственные значения затем следует разложением, т. Е.
Вставка соответствующих выражений выше дает результат
Для это собственные значения, связанные с четными собственными функциями Матье или же (т.е. со знаком минус сверху) и нечетными собственными функциями Матье или же (т.е. с нижним знаком плюс). Явные и нормированные разложения собственных функций можно найти в [36] или. [37]
Подобные асимптотические разложения могут быть получены для решений других периодических дифференциальных уравнений, таких как функции Ламе, вытянутые и сжатые сфероидальные волновые функции .
Приложения
Дифференциальные уравнения Матье появляются в широком диапазоне контекстов в инженерии, физике и прикладной математике. Многие из этих приложений попадают в одну из двух общих категорий: 1) анализ дифференциальных уравнений в частных производных в эллиптических геометриях и 2) динамические задачи, в которых участвуют силы, периодические в пространстве или во времени. Примеры в пределах обеих категорий обсуждаются ниже.
Уравнения с частными производными
Функции Матье возникают, когда разделение переменных в эллиптических координатах применяется к 1) уравнению Лапласа в трех измерениях и 2) уравнению Гельмгольца в двух или трех измерениях. Поскольку уравнение Гельмгольца является прототипом уравнения для моделирования пространственного изменения классических волн, функции Матье можно использовать для описания множества волновых явлений. Например, в вычислительном электромагнетизме они могут быть использованы для анализа рассеяния от электромагнитных волн от эллиптических цилиндров и распространения волн в эллиптических волноводах . [38] В общей теории относительности точное решение уравнения поля Эйнштейна в виде плоской волны может быть дано в терминах функций Матье.
Совсем недавно функции Матье использовались для решения частного случая уравнения Смолуховского , описывающего статистику стационарного состояния самодвижущихся частиц . [39]
В оставшейся части этого раздела подробно рассматривается анализ двумерного уравнения Гельмгольца. [40] В прямоугольных координатах уравнение Гельмгольца имеет вид
Эллиптические координаты определяются как
где , , а также положительная константа. Уравнение Гельмгольца в этих координатах имеет вид
Постоянная кривые - конфокальные эллипсы с фокусным расстоянием; следовательно, эти координаты удобны для решения уравнения Гельмгольца на областях с эллиптическими границами. Разделение переменных через дает уравнения Матье
где - постоянная разделения.
В качестве конкретного физического примера уравнение Гельмгольца можно интерпретировать как описывающее нормальные режимы упругой мембраны при равномерном растяжении . В этом случае накладываются следующие физические условия: [41]
Периодичность по , т.е.
Непрерывность смещения по межфокальной линии:
Непрерывность производной по межфокальной линии:
Для данного , это ограничивает решения до решений вида а также , где . Это то же самое, что и ограничение допустимых значений, для данного . Ограничения на затем возникают из-за наложения физических условий на некоторую ограничивающую поверхность, такую как эллиптическая граница, определяемая формулой . Например, зажим мембраны на навязывает , что, в свою очередь, требует
Эти условия определяют нормальные режимы работы системы.
Динамические проблемы
В динамических задачах с периодически меняющимися силами уравнение движения иногда принимает форму уравнения Матье. В таких случаях знание общих свойств уравнения Матье - особенно в отношении устойчивости решений - может быть важным для понимания качественных особенностей физической динамики. [42] Классическим примером в этом направлении является перевернутый маятник . [43] Другие примеры:
колебания струны с периодически изменяющимся натяжением [42]
устойчивость железнодорожных рельсов при проезде по ним поездов
сезонно-вынужденная динамика населения
явление параметрического резонанса в вынужденных осцилляторах
движение ионов в квадрупольной ионной ловушке [44]
эффект Штарка для вращающегося электрического диполя
теории Флоке устойчивости предельных циклов
Квантовая механика
Функции Матье играют роль в некоторых квантово-механических системах, особенно с пространственно-периодическими потенциалами, такими как квантовый маятник и кристаллические решетки .
Модифицированное уравнение Матье возникает также при описании квантовой механики сингулярных потенциалов. Для частного сингулярного потенциаларадиальное уравнение Шредингера
можно преобразовать в уравнение
Преобразование достигается следующими заменами
Решая уравнение Шредингера (для этого конкретного потенциала) в терминах решений модифицированного уравнения Матье, можно получить свойства рассеяния, такие как S-матрица и поглощательная способность. [45]
Смотрите также
Список математических функций
Дифференциальное уравнение Хилла
Функция Ламе
Монохроматическая плоская электромагнитная волна
Перевернутый маятник
Заметки
^ Матье (1868).
^ Морс и Фешбах (1953).
^ а б Гутьеррес-Вега (2015).
^ a b c d e Арскотт (1964), глава III
^ Arscott (1964) 43-44
^ a b c Маклахлан (1947), глава II.
^ Арскотт (1964); Иянага (1980); Градштейн (2007); Это также нормализация, используемая системой компьютерной алгебры Maple .
^ Арскотт (1964), стр. 29.
^ В целом неверно, что периодическая функция обладает свойством . Однако это оказывается верным для функций, которые являются решениями уравнения Матье.
^ McLachlan (1951), стр. 141-157, 372
^ Арскотт (1964), стр. 34
↑ McLachlan (1947), стр. 144
↑ McLachlan (1947), стр. 372
↑ McLachlan (1947), стр. 28 год
^ a b Wimp (1984), стр. 83-84
^ Маклахлан (1947)
↑ Хаос-Кадор и Лей-Ку (2001)
^ a b Temme (2015), стр. 234
^ Müller-Kirsten (2012), стр. 420-428
^ Meixner и Schäfke (1954); Маклахлан (1947)
^ а б Малиц (2010)
↑ Джин и Чжан (1996)
^ Ван Бюрен и Бойсверт (2007)
^ Бибби и Петерсон (2013)
^ Meixner и Шефка (1954), с.134
↑ McLachlan (1947), стр. 234–235
^ Gradshteyn (2007), стр. 953
^ Arscott (1964), стр. 40-41
^ Gradshteyn (2007), стр. 763-765
^ Арскотт (1964), стр. 86
↑ McLachlan (1947), глава XI
↑ McLachlan (1947), стр. 237; Дингл и Мюллер (1962); Мюллер (1962); Дингл и Мюллер (1964)
^ Дингл и Мюллер (1962)
^ Дингл и Мюллер (1962)
^ Мюллер-Кирстен (2012)
^ Дингл и Мюллер (1962)
^ Мюллер-Кирстен (2012)
^ Бибби и Петерсон (2013); Баракат (1963); Себак и Шафай (1991); Крецшмар (1970)
^ Солон и др. (2015)
^ См Willatzen и Voon (2011), стр. 61-65
↑ McLachlan (1947), стр. 294–297.
^ a b Мейкснер и Шефке (1954), стр. 324–343
↑ Руби (1996)
↑ Март (1997)
^ Мюллер-Кирстен (2006)
Рекомендации
Арскотт, Феликс (1964). Периодические дифференциальные уравнения: введение в Матье, Ламе и родственные им функции . Pergamon Press. ISBN 9781483164885.
Баракат, Р. (1963), "Дифракция плоских волн на эллиптическом цилиндре", Журнал Американского акустического общества , 35 (12): 1990–1996, Bibcode : 1963ASAJ ... 35.1990B , doi : 10.1121 / 1,1918878
Бибби, Малькольм М .; Петерсон, Эндрю Ф. (2014). Точное вычисление функций Матье . Морган и Клейпул. DOI : 10.2200 / S00526ED1V01Y201307CEM032 . ISBN 9781627050852.
Хаос-Кадор, Л .; Лей-Ку, Э. (2002), « Повторный визит к функциям Матье: матричное вычисление и производящие функции» , Revista mexicana de física , 48 (1): 67–75
Дингл, Роберт Б .; Мюллер, Харальд JW (1964). "Вид коэффициентов поздних членов в асимптотических разложениях характеристических чисел Матье и сфероидально-волновых функций". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 216 : 123–133. ISSN 0075-4102 .
Градштейн, Израиль Соломонович ; и другие. (Февраль 2007 г.). Джеффри, Алан; Цвиллинджер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (7-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-373637-6. Руководство по ремонту 2360010 .
Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2015), «Функции Матье», в Николасе Дж. Хайэме; и другие. (ред.), Принстонский компаньон по прикладной математике , Princeton University Press, стр. 159–160
Иянага, Сёкичи; Кавада, Юкиёси, ред. (1980) [1977]. Энциклопедический словарь математики, Том I . Перевод со 2-го японского издания, версия в мягкой обложке издания 1977 г. (1-е изд.). MIT Press . ISBN 978-0-262-59010-5. Руководство по ремонту 0591028 .
Джин, JM; Чжан, Шан Цзе (1996). Вычисление специальных функций . Нью-Йорк: Вили. ISBN 9780471119630.
Kretzschmar, JG (1970), «Распространение волн в полых проводящих эллиптических волноводах», IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques , 18 (9): 547–554, Bibcode : 1970ITMTT..18..547K , doi : 10.1109 / TMTT. 1970.1127288
Malits, Пинхас (2010), «Отношения между Матьё функций первого и второго рода», Интегральные преобразования и специальные функции , 21 (6): 423-436, дой : 10,1080 / 10652460903360499
Март, Раймонд Э. (апрель 1997 г.). "Введение в масс-спектрометрию с квадрупольной ионной ловушкой". Журнал масс-спектрометрии . 32 (4): 351–369. Bibcode : 1997JMSp ... 32..351M . DOI : 10.1002 / (SICI) 1096-9888 (199704) 32: 4 <351 :: AID-JMS512> 3.0.CO; 2-Y .
Mathieu, E. (1868), «Mémoire sur Le Mouvement Vibratoire d'une Membrane de Forme Elliptique» , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées : 137–203
Маклахлан, Н.В. (1951). Теория и применение функций Матье . Издательство Оксфордского университета. Примечание: литографически перепечатано в Великобритании в University Press, Oxford, 1951 г. с исправленных листов первого издания (1947 г.).
Мейкснер, Йозеф; Schäfke, Фридрих Вильгельм (1954). Mathieusche Funktionen und Sphäroidfunktionen (на немецком языке). Берлин: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-662-00941-3 . ISBN 978-3-540-01806-3.
Морс, Филип МакКорд; Фешбах, Герман (1953-01-01). Методы теоретической физики: Ч. 1 (Переиздание ред.). Бостон, Массачусетс: McGraw-Hill Inc., США. ISBN 9780070433168.
Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2012). Введение в квантовую механику: уравнение Шредингера и интеграл по траекториям (2-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4397-73-5.
Дингл, РБ; Мюллер, HJW (1962). "Асимптотические разложения функций Матье и их характеристических чисел". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1962 (211): 11–32. DOI : 10,1515 / crll.1962.211.11 . ISSN 0075-4102 .
Мюллер, HJW (1962). «Об асимптотических разложениях функций Матье». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1962 (211): 179–190. DOI : 10,1515 / crll.1962.211.179 . ISSN 0075-4102 .
Себак, А .; Шафай, Л. (1991), "Обобщенные решения для электромагнитного рассеяния эллиптическими структурами", Computer Physics Communications , 68 (1–3): 315–330, Bibcode : 1991CoPhC..68..315S , doi : 10.1016 / 0010- 4655 (91) 90206-З
Солон, А.П .; Кейтс, штат Мэн; Тайлер, Дж. (2015), «Активные броуновские частицы и частицы типа« бег и падающие »: сравнительное исследование», The European Physical Journal Special Topics , 224 (7): 1231–1262, arXiv : 1504.07391 , Bibcode : 2015EPJST.224.1231 S , DOI : 10,1140 / epjst / e2015-02457-0
Темме, Нико М. (2015), «Специальные функции», у Николаса Дж. Хайэма; и другие. (ред.), Принстонский компаньон по прикладной математике , Princeton University Press, стр. 234
Ван Бурен, Арни Л .; Бойсверт, Джеффри Э. (2007). «Точный расчет модифицированных функций Матье целого порядка» . Квартал прикладной математики . 65 (1): 1-23. DOI : 10.1090 / S0033-569X-07-01039-5 . ISSN 0033-569X .
Лью Ян Вун, LC, Willatzen M (2011). Разделимые краевые задачи в физике . Wiley-VCH. DOI : 10.1002 / 9783527634927 . ISBN 978-3-527-41020-0. (бесплатный онлайн-доступ к приложению о функциях Матье)
Слабак, Джет (1984). Вычисление с рекуррентными отношениями . Pitman Publishing. С. 83–84. ISBN 0-273-08508-5.
Вольф, Г. (2010), «Функции Матье и уравнение Хилла» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
Внешние ссылки
Вайсштейн, Эрик В. «Функция Матье» . MathWorld .
Список уравнений и тождеств для функций Матье functions.wolfram.com
"Функции Матье" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Тимоти Джонс, Уравнения Матье и идеальная ловушка РЧ-Поля (2006)
Уравнение Матье , EqWorld
Цифровая библиотека математических функций NIST: функции Матье и уравнение Хилла