Система компьютерной алгебры ( CAS ) или система символической алгебры ( SAS ) - это любое математическое программное обеспечение со способностью манипулировать математическими выражениями способом, аналогичным традиционным ручным вычислениям математиков и ученых . Развитие систем компьютерной алгебры во второй половине 20-го века является частью дисциплины « компьютерная алгебра » или « символьные вычисления », которая стимулировала разработку алгоритмов над математическими объектами, такими как полиномы .
Системы компьютерной алгебры можно разделить на два класса: специализированные и универсальные. Специализированные посвящены определенной части математики, такой как теория чисел , теория групп или преподавание элементарной математики .
Системы компьютерной алгебры общего назначения призваны быть полезными для пользователей, работающих в любой научной области, которая требует манипулирования математическими выражениями. Чтобы быть полезной, система компьютерной алгебры общего назначения должна включать в себя различные функции, такие как:
Библиотека должна обеспечивать не только нужды пользователей, но и нужды упрощателя. Например, вычисление полиномиальных наибольших общих делителей систематически используется для упрощения выражений, содержащих дроби.
Столь большое количество требуемых компьютерных возможностей объясняет небольшое количество систем компьютерной алгебры общего назначения. Основные из них - Axiom , Maxima , Magma , Maple , Mathematica и SageMath .
Системы компьютерной алгебры начали появляться в 1960-х годах и возникли из двух совершенно разных источников - требований физиков-теоретиков и исследований в области искусственного интеллекта .
Ярким примером первой разработки была новаторская работа, проведенная позднее лауреатом Нобелевской премии по физике Мартинусом Вельтманом , который в 1963 году разработал программу для символической математики, особенно физики высоких энергий, под названием Schoonschip (по-голландски «чистый корабль»). Другой ранней системой был FORMAC .
Используя Lisp в качестве основы программирования, Карл Энгельман создал MATHLAB в 1964 году в MITER в рамках исследовательской среды искусственного интеллекта. Позже MATHLAB стал доступен пользователям систем PDP-6 и PDP-10, работающих под управлением TOPS-10 или TENEX, в университетах. Сегодня его все еще можно использовать в эмуляциях SIMH PDP-10. MATHLAB ( « математика матических лаборатории ораторский„) не следует путать с MATLAB (“ мат RIX лаборатория ораторского»), которая представляет собой систему для численных расчетов построены 15 лет спустя в Университете Нью - Мексико .
Первыми популярными системами компьютерной алгебры были muMATH , Reduce , Derive (на основе muMATH) и Macsyma ; популярный Копилефт версия Macsyma называется Maxima активно поддерживается. В 2008 году Reduce стали бесплатными программами. [1] На сегодняшний день [ когда? ] наиболее популярными коммерческими системами являются Mathematica [2] и Maple , которые обычно используются математиками-исследователями, учеными и инженерами. К свободно доступным альтернативам относится SageMath (который может выступать в качестве интерфейса в несколько других бесплатных и несвободных CAS).
В 1987 году компания Hewlett-Packard представила первый портативный калькулятор CAS серии HP-28 , и впервые в калькуляторе появилась возможность [3] упорядочивать алгебраические выражения, дифференцирование, ограниченное символьное интегрирование, ряд Тейлора. построение и решатель алгебраических уравнений. В 1999 году независимо разработанная система CAS Erable для серии HP 48 стала официально интегрированной частью микропрограммного обеспечения новой серии HP 49/50 , а годом позже - также и в серии HP 40 , тогда как в HP Prime была принята система Xcas. в 2013.
Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор TI-92 с CAS на основе программного обеспечения Derive ; в серии TI-Nspire заменены Dérivé в 2007 году ТИ-89 серии , впервые выпущенный в 1998 году, также содержит CAS.
Casio выпустила свой первый калькулятор CAS с CFX-9970G и сменила его с серией Algebra FX в 1999-2003 гг. И текущей серией ClassPad . [ необходима цитата ]
Совсем недавно системы компьютерной алгебры были реализованы с использованием искусственных нейронных сетей . [4]
Поддерживаемые символические манипуляции обычно включают:
Выше слово some указывает на то, что операция не всегда может быть выполнена.
Многие также включают:
Некоторые включают:
Некоторые системы компьютерной алгебры сосредоточены на специализированных дисциплинах; они обычно разрабатываются в академических кругах и бесплатны. Они могут быть неэффективными для числовых операций по сравнению с числовыми системами .
Выражения, которыми управляет CAS, обычно включают многочлены от нескольких переменных; стандартные функции выражений ( синус , экспонента и др.); различные специальные функции ( Γ , ζ , erf , функции Бесселя и т. д.); произвольные функции выражений; оптимизация; производные, интегралы, упрощения, суммы и произведения выражений; усеченный ряд с выражениями в виде коэффициентов, матриц выражений и т. д. Поддерживаемые числовые домены обычно включают представление вещественных чисел с плавающей запятой , целых чисел (неограниченного размера),комплексное (представление с плавающей запятой), интервальное представление вещественных чисел , рациональное число (точное представление) и алгебраические числа .
Было много сторонников более широкого использования систем компьютерной алгебры в классах начальной и средней школы. Основная причина такой пропаганды заключается в том, что системы компьютерной алгебры представляют собой математику реального мира больше, чем математику, основанную на бумаге и карандаше или ручном калькуляторе. [5] Это стремление к увеличению использования компьютеров в классах математики было поддержано некоторыми советами по образованию. Это даже было включено в учебные программы некоторых регионов. [6]
Системы компьютерной алгебры широко используются в высшем образовании. [7] [8] Многие университеты предлагают либо специальные курсы по развитию их использования, либо неявно ожидают, что студенты будут использовать их в своей курсовой работе. Компании, разрабатывающие системы компьютерной алгебры, стремятся увеличить их распространение среди программ университетов и колледжей. [9] [10]
Калькуляторы, оснащенные CAS, не разрешены в ACT , PLAN и в некоторых классах [11], хотя это может быть разрешено во всех разрешенных для калькуляторов тестах College Board , включая SAT , некоторые предметные тесты SAT и расчет AP. , Экзамены по химии , физике и статистике .