Эварист Галуа | |
---|---|
Родившийся | |
Умер | 31 мая 1832 г. Париж, Королевство Франция | (20 лет)
Альма-матер | École préparatoire |
Известен | Работы по теории уравнений , теории групп и теории Галуа |
Научная карьера | |
Поля | Математика |
Влияния | Адриан-Мари Лежандр Жозеф-Луи Лагранж |
Подпись | |
Эварист Галуа ( / ɡ æ л ж ɑ / ; [1] Французский: [evaʁist ɡalwa] ; 25 октября 1811 - 31 мая 1832) был французский математик и политический деятель. Еще в подростковом возрасте, он был в состоянии определить необходимое и достаточное условие для полинома , чтобы быть разрешимы радикалами , решая ту самую проблему , которая была открыта в течение 350 лет. Его работа заложила основу теории Галуа и теорию групп , [2] две основных ветви абстрактной алгебры. Он был стойким республиканцем и активно участвовал в политических беспорядках, окружавших Французскую революцию 1830 года . За свою политическую деятельность он неоднократно подвергался арестам, отбыв один срок тюремного заключения сроком на несколько месяцев. По причинам, которые остаются неясными, вскоре после выхода из тюрьмы он дрался на дуэли и умер от полученных ран. [3]
Галуа родился 25 октября 1811 года в семье Николя-Габриэля Галуа и Аделаиды-Мари (урожденной Деманте). [2] [4] Его отец был республиканцем и главой либеральной партии Бурк-ла-Рейна . Его отец стал мэром деревни [2] после того, как Людовик XVIII вернулся на престол в 1814 году. Его мать, дочь юриста , свободно читала латынь и классическую литературу и отвечала за образование своего сына в течение его первых двенадцати лет. .
В октябре 1823 года он вошел в лицее Луи-ле-Гран , [5] В возрасте 14 лет он начал принимать серьезный интерес к математике . [5]
Он нашел копию « Éléments de Géométrie» Адриана-Мари Лежандра , которую, как говорят, он прочитал «как роман» и усвоил при первом чтении. В 15 лет он читал оригинальные статьи Жозефа-Луи Лагранжа , такие как Réflexions sur la résolution algébrique des équations, которые, вероятно, послужили мотивом для его более поздних работ по теории уравнений [6], и Leçons sur le Calcul des fonctions , работы, предназначенной для профессиональных математики, но его работа в классе оставалась скучной, а учителя обвиняли его в негативном влиянии на амбиции и оригинальность. [4]
В 1828 году он без обычной подготовки по математике попытался сдать вступительный экзамен в Политехническую школу , самое престижное учебное заведение по математике во Франции, и потерпел неудачу из-за отсутствия объяснений на устном экзамене. В том же году он поступил в École Normale (тогда известную как l'École préparatoire), гораздо более низкое учебное заведение для математических исследований в то время, где он нашел некоторых профессоров, симпатизирующих ему. [ необходима цитата ]
В следующем году первый документ Галуа, на цепных дробях , [7] был опубликован. Примерно в то же время он начал делать фундаментальные открытия в теории полиномиальных уравнений . Он представил в Академию наук две статьи по этой теме . Огюстен-Луи Коширеферировал эти статьи, но отказался принять их к публикации по причинам, которые до сих пор остаются неясными. Однако, несмотря на многие утверждения об обратном, широко распространено мнение, что Коши признал важность работы Галуа и просто предложил объединить две статьи в одну, чтобы принять участие в конкурсе на главный приз Академии по математике. . Коши, выдающийся математик того времени, хотя и придерживался политических взглядов, противоположных взглядам Галуа, считал работу Галуа вероятным победителем. [8]
28 июля 1829 года отец Галуа скончался самоубийством после ожесточенного политического спора с деревенским священником. [9] Пару дней спустя Галуа предпринял вторую и последнюю попытку поступить в Политехнический институт, но снова потерпел неудачу. [9] Бесспорно, что Галуа был более чем квалифицирован; однако мнения о том, почему он потерпел неудачу, расходятся. Более правдоподобные версии утверждают, что Галуа сделал слишком много логических шагов и сбил с толку некомпетентного экзаменатора, что привело Галуа в ярость. Недавняя смерть его отца, возможно, также повлияла на его поведение. [4]
Получив отказ в приеме в Политехническую школу , Галуа сдал экзамены на степень бакалавра, чтобы поступить в Нормальную школу . [9] Он сдал экзамен и получил ученую степень 29 декабря 1829 года. [9] Его экзаменатор по математике сообщил: «Этот ученик иногда непонятен в выражении своих идей, но он умен и демонстрирует замечательный исследовательский дух».
Он несколько раз отправлял свои мемуары по теории уравнений, но из-за различных событий они не были опубликованы при его жизни. Хотя его первая попытка была отклонена Кошами, в феврале 1830 г. По предложению Кошей он представил его секретарит Академию Жозеф Фурье , [9] , которые будут рассмотрены на Гран - при Академии. К сожалению, вскоре после этого умер Фурье [9], и мемуары были утеряны. [9] Премия была присуждена в том же году Нильсу Хенрику Абелю посмертно, а также Карлу Густаву Якобу Якоби . Несмотря на утерянные мемуары, Галуа опубликовал в этом году три статьи, одна из которых заложила основы теории Галуа . [10]Второй был о численном разрешении уравнений ( поиск корней в современной терминологии). [11] Третья была важна в теории чисел , в которой впервые была сформулирована концепция конечного поля . [12]
Галуа жил во время политических потрясений во Франции. Карл X сменил Людовика XVIII в 1824 году, но в 1827 году его партия потерпела серьезное поражение на выборах, и к 1830 году оппозиционная либеральная партия стала большинством . Шарль, столкнувшись с политической оппозицией палат, устроил государственный переворот и издал свои печально известные июльские указы , положившие начало июльской революции [9], которая закончилась тем, что королем стал Луи Филипп . В то время как их коллеги из Политехнического института творили историю на улицах во время Les Trois Glorieuses , Галуа,École Normale была заперта директором школы. Галуа был в ярости и написал резкое письмо с критикой директора, которое он отправил в Gazette des Écoles , подписав письмо своим полным именем. Хотя газета " редактора опустили подпись для публикации, Галуа был исключен. [13]
Хотя его исключение формально должно было вступить в силу 4 января 1831 года, Галуа немедленно бросил школу и присоединился к стойкому республиканскому артиллерийскому отряду Национальной гвардии . Он делил свое время между математической работой и политикой. Из-за разногласий вокруг подразделения, вскоре после того, как Галуа стал его членом, 31 декабря 1830 года артиллерия Национальной гвардии была расформирована из опасений, что они могут дестабилизировать правительство. Примерно в то же время девятнадцать офицеров бывшего подразделения Галуа были арестованы и обвинены в заговоре с целью свержения правительства.
В апреле 1831 года с офицеров были сняты все обвинения, и 9 мая 1831 года в их честь был проведен банкет, на котором присутствовали многие выдающиеся люди, такие как Александр Дюма . Слушания стали бурными. В какой-то момент Галуа встал и предложил тост, в котором он сказал: «За Луи Филиппа », с кинжалом над чашей. Республиканцы на банкете интерпретировали тост Галуа как угрозу жизни короля и приветствовали его. На следующий день он был арестован в доме своей матери и содержался под стражей в тюрьме Сент-Пелажи до 15 июня 1831 года, когда его судили. [8] Адвокат Галуа умно утверждал, что Галуа на самом деле сказал: «Луи-Филиппу:если он предаст , "но квалификатор был заглушен возгласами приветствия. Прокурор задал еще несколько вопросов, и, возможно, под влиянием молодости Галуа присяжные в тот же день оправдали его. [8] [9] [13] [14 ]
На следующий день взятия Бастилии (14 июля 1831 г.) Галуа возглавил протест, одетый в форму расформированной артиллерии, и явился хорошо вооруженным несколькими пистолетами, заряженной винтовкой и кинжалом. Его снова арестовали. [9] Во время своего пребывания в тюрьме Галуа однажды впервые выпил алкоголь, подстрекаемый своими сокамерниками. Один из этих заключенных, Франсуа-Винсент Распай , записал в письме от 25 июля, что сказал Галуа в пьяном виде. Из письма: [8]
И говорю вам, я умру на дуэли по случаю какой-нибудь coquette de bas étage . Почему? Потому что она пригласит меня отомстить за ее честь, которую скомпрометировал другой.
Знаешь, чего мне не хватает, друг мой? Я могу довериться только тебе: это тот, кого я могу любить и любить только духом. Я потерял отца, и никто никогда его не заменял, ты меня слышишь ...?
Первая строка - это навязчивое пророчество о том, как Галуа действительно умрет; вторая показывает, как на Галуа глубоко повлияла потеря отца. Распайль продолжает, что Галуа, все еще находясь в бреду, попытался покончить жизнь самоубийством, и что ему это удалось бы, если бы его сокамерники насильно не остановили его. [8] Спустя несколько месяцев, когда 23 октября состоялся суд над Галуа, он был приговорен к шести месяцам тюремного заключения за незаконное ношение униформы. [9] [15] [16] Находясь в тюрьме, он продолжал развивать свои математические идеи. Он был освобожден 29 апреля 1832 года.
Галуа вернулся к математике после исключения из Нормальной школы , хотя продолжал проводить время в политической деятельности. После того, как его исключение стало официальным в январе 1831 года, он попытался открыть частный класс по продвинутой алгебре, что вызвало некоторый интерес, но это уменьшилось, так как казалось, что его политическая активность имела приоритет. [4] [8] Симеон Дени Пуассон попросил его представить свою работу по теории уравнений, что он и сделал 17 января 1831 года. Примерно 4 июля 1831 года Пуассон объявил работу Галуа «непонятной», заявив, что «аргумент [Галуа] не является достаточно ясным и недостаточно развитым, чтобы мы могли судить о его строгости»; однако отчет об отклонении заканчивается обнадеживающей нотой: «Затем мы предлагаем автору опубликовать всю свою работу, чтобы сформировать окончательное мнение». [17]Хотя доклад Пуассона был сделан до ареста Галуа 14 июля, Галуа попал в тюрьму только в октябре. В свете его характера и ситуации в то время неудивительно, что Галуа бурно отреагировал на письмо с отказом и решил отказаться от публикации своих статей через Академию и вместо этого публиковать их в частном порядке через своего друга Огюста Шевалье. Очевидно, однако, Галуа не проигнорировал совет Пуассона, поскольку он начал собирать все свои математические рукописи, еще находясь в тюрьме, и продолжал шлифовать свои идеи до своего освобождения 29 апреля 1832 г. [13], после чего его каким-то образом уговорили на дуэль. [9]
Роковой поединок Галуа произошел 30 мая. [18] Истинные мотивы дуэли неясны. Было много предположений о причинах этого. Что известно, так это то, что за пять дней до своей смерти он написал письмо Шевалье, в котором явно говорится о прерванном романе. [8]
Некоторое архивное исследование оригинальных писем предполагает, что женщиной, вызывающей романтический интерес, была Стефани-Фелиси Потерин дю Мотель [19], дочь врача из общежития, где Галуа останавливался в последние месяцы своей жизни. Доступны фрагменты писем от нее, скопированные самим Галуа (многие части, такие как ее имя, либо стерты, либо намеренно опущены). [20]Письма намекают, что дю Мотель доверила некоторые из своих проблем Галуа, и это могло побудить его спровоцировать дуэль от ее имени. Это предположение подтверждается и другими письмами, которые Галуа позже написал своим друзьям в ночь перед своей смертью. Двоюродный брат Галуа, Габриэль Деманте, когда его спросили, знает ли он причину дуэли, упомянул, что Галуа «оказался в присутствии предполагаемого дяди и предполагаемого жениха, каждый из которых спровоцировал дуэль». Сам Галуа воскликнул: «Я стал жертвой печально известной кокетки и двух ее обманщиков». [13]
Гораздо более подробные предположения, основанные на этих скудных исторических подробностях, были интерполированы многими биографами Галуа (в первую очередь Эриком Темпл Беллом в книге «Люди математики» ), например, часто повторяющееся предположение, что весь инцидент был организован полицией и роялистом. фракции для устранения политического врага. [15]
Что касается своего соперника по дуэли, Александр Дюма называет Пешо д'Эрбенвилля [14] , который фактически был одним из девятнадцати артиллерийских офицеров, оправдание которых было отмечено на банкете, повлекшем за собой первый арест Галуа. [21]Однако Дюма одинок в этом утверждении, и если он был прав, непонятно, почему д'Эрбинвиль был замешан в этом. Было высказано предположение, что в то время он был «предполагаемым женихом Дю Мотеля» (в конечном итоге она вышла замуж за кого-то другого), но никаких явных доказательств, подтверждающих это предположение, найдено не было. С другой стороны, сохранившиеся газетные вырезки всего через несколько дней после дуэли дают описание его оппонента (обозначенного инициалами «LD»), которое, по-видимому, более точно относится к одному из друзей Галуа-республиканцев, скорее всего, к Эрнесту Дюшатле, который был заключен в тюрьму с Галуа по тем же обвинениям. [22] Учитывая противоречивую доступную информацию, истинная личность его убийцы вполне может быть утеряна для истории.
Какими бы ни были причины дуэли, Галуа был настолько уверен в своей неминуемой смерти, что не спал всю ночь, писал письма своим друзьям-республиканцам и составлял то, что стало его математическим завещанием, знаменитое письмо Огюсту Шевалье с изложением его идей и три прилагаемых рукописи. . [23] Математик Герман Вейль сказал об этом завещании: «Это письмо, если судить по новизне и глубине содержащихся в нем идей, возможно, является наиболее существенным произведением во всей литературе человечества». Однако легенда о Галуа, изливавшем свои математические мысли на бумагу в ночь перед смертью, кажется преувеличенной. [8] В этих заключительных документах он обрисовал острые углы некоторых работ, которые он делал в области анализа, и аннотировал копию рукописи, представленной в Академию, и другие документы.
Рано утром 30 мая 1832 года он был ранен в живот , [18] был брошен его противниками и его собственными секундантами и был найден проходившим мимо фермером. Он умер на следующее утро [18] в десять часов в больнице Кочин (вероятно, от перитонита ), отказавшись от должности священника. Его похороны закончились беспорядками. [18] Были планы поднять восстание во время его похорон, но в то же время лидеры узнали о смерти генерала Жана Максимилиана Ламарка , и восстание было отложено без какого-либо восстания до 5 июня . Только младший брат Галуа был уведомлен о событиях до смерти Галуа.[24] Ему было 20 лет. Его последними словами к младшему брату Альфреду были:
«Ne Pleure pas, Альфред! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!»
( Не плачь, Альфред! Мне нужно все свое мужество, чтобы умереть в двадцать !)
2 июня Эварист Галуа был похоронен в братской могиле на кладбище Монпарнас , точное местонахождение которой неизвестно. [18] [16] На кладбище его родного города - Бурк-ла-Рейн - рядом с могилами его родственников был установлен кенотаф в его честь. [25]
В 1843 году Жозеф Лиувилль рецензировал свою рукопись и признал ее достоверной. Наконец, он был опубликован в выпуске журнала Journal de Mathématiques Pures et Appliquées за октябрь – ноябрь 1846 года . [26] [27] Самым известным вкладом этой рукописи было новое доказательство того, что не существует формулы пятой степени, т. Е. Что уравнения пятой и более высоких степеней обычно не решаются радикалами. Хотя Нильс Хенрик Абель уже доказал невозможность «формулы пятерки» радикалами в 1824 году и Паоло Руффини .опубликовал в 1799 году решение, которое оказалось ошибочным, методы Галуа привели к более глубокому исследованию того, что сейчас называется теорией Галуа. Например, с его помощью можно определить для любого полиномиального уравнения, есть ли у него решение в виде радикалов.
Из заключительных строк письма Галуа своему другу Огюсту Шевалье от 29 мая 1832 года, за два дня до смерти Галуа: [23]
Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.
Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui Trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.
(Попросите Якоби или Гаусса публично высказать свое мнение не об истине, а о важности этих теорем. Я надеюсь, что позже найдутся люди, которые сочтут полезным расшифровать весь этот беспорядок.)
На примерно 60 страницах собрания сочинений Галуа содержится много важных идей, имевших далеко идущие последствия почти для всех разделов математики. [28] [29] Его работу сравнивают с работой Нильса Хенрика Абеля , другого математика, умершего в очень молодом возрасте, и большая часть их работ имеет много общего.
Хотя многие математики до Галуа обращали внимание на то, что сейчас известно как группы , именно Галуа был первым, кто использовал слово группа (во французском языке groupe ) в смысле, близком к техническому значению, которое понимается сегодня, что сделало его одним из основателей. раздела алгебры, известного как теория групп . Он разработал концепцию, которая сегодня известна как нормальная подгруппа . Он назвал разложение группы на ее левый и правый классы смежности правильным разложением , если левый и правый классы смежности совпадают, что сегодня известно как нормальная подгруппа. [23] Он также ввел понятие конечного поля .(также известное как поле Галуа в его честь), по существу в той же форме, в которой оно понимается сегодня. [12]
В своем последнем письме к Шевалье [23] и прилагаемой рукописи, второй из трех, он провел фундаментальные исследования линейных групп над конечными полями:
Наиболее значительный вклад Галуа в математику - его развитие теории Галуа. Он понял, что алгебраическое решение полиномиального уравнения связано со структурой группы перестановок, связанных с корнями многочлена, группой Галуа многочлена. Он обнаружил, что уравнение может быть решено в радикалах, если можно найти ряд подгрупп в его группе Галуа, каждая из которых нормальна в своем преемнике с абелевым фактором, или если ее группа Галуа разрешима . Это оказался плодотворный подход, который позже математики адаптировали ко многим другим областям математики, помимо теории уравнений.к которому Галуа первоначально применил его. [28]
Галуа также внес вклад в теорию абелевых интегралов и цепных дробей .
Как написано в его последнем письме, [23] Галуа перешел от изучения эллиптических функций к рассмотрению интегралов наиболее общих алгебраических дифференциалов, которые сегодня называются абелевыми интегралами. Он разделил эти интегралы на три категории.
В своей первой статье 1828 г. [7] Галуа доказал, что правильная цепная дробь, представляющая квадратичный сурд ζ, является чисто периодической тогда и только тогда, когда ζ является редуцированным сурдом , то есть и его сопряженная дробь удовлетворяет .
Фактически, Галуа показал больше, чем это. Он также доказал, что если ζ - приведенная квадратичная дробь, а η - сопряженная с ней, то цепные дроби для ζ и для (−1 / η ) являются чисто периодическими, а повторяющийся блок в одной из этих цепных дробей является зеркальным отображением повторяющегося блока в другом. В символах мы имеем
где ζ - любое приведенное квадратичное сурд, а η - сопряженное с ним.
Из этих двух теорем Галуа можно вывести результат, уже известный Лагранжу. Если r > 1 - рациональное число, не являющееся полным квадратом, то
В частности, если n - любое неквадратное положительное целое число, расширение регулярной непрерывной дроби √ n содержит повторяющийся блок длины m , в котором первые m - 1 частные знаменатели образуют палиндромную строку.
Викискладе есть медиафайлы по теме Эвариста Галуа . |
В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Эварист Галуа |
В Wikisource есть текст статьи Британской энциклопедии 1911 года " Galois, Évariste ". |