Коммутативная магма

В математике существуют магмы , которые коммутативны , но не ассоциативны . Простым примером такой магмы может служить детская игра « камень, ножницы, бумага» . Такие магмы порождают неассоциативные алгебры .

Пусть обозначает жесты «камень», «бумага» и «ножницы» соответственно, и рассмотрим бинарную операцию , полученную из правил игры следующим образом: ${\ Displaystyle М: = \ {г, р, с \}}$ ${\ Displaystyle \ cdot: М \ раз М \ до М}$

По определению магма коммутативна, но она также и неассоциативна, как показано: ${\ Displaystyle (М, \ cdot)}$

Операция « среднего » над рациональными числами (или любой коммутативной системой счисления, замкнутой относительно деления) также коммутативна, но не в общем случае ассоциативна, например ${\ Displaystyle х \ oplus у = (х + у) / 2}$

Конструкция, примененная в предыдущем разделе к «камень-ножницы-бумага», легко применима к вариантам игры с другим количеством жестов, как описано в разделе « Вариации» , если есть два игрока и условия между ними симметричны; более абстрактно, его можно применить к любому трихотомическому бинарному отношению (например, к «ударам» в игре). Результирующая магма будет ассоциативной, если отношение транзитивно и, следовательно, является (строгим) тотальным порядком ; в противном случае, если он конечен, он содержит направленные циклы(как камень-ножницы-бумага-камень) и магма неассоциативна. Чтобы увидеть последнее, рассмотрите возможность объединения всех элементов в цикле в обратном порядке, т. е. так, чтобы каждый объединенный элемент побеждал предыдущий; результатом является последний объединенный элемент, в то время как ассоциативность и коммутативность означают, что результат зависит только от набора элементов в цикле.

В нижней строке приведенной выше диаграммы Карно приведены дополнительные примеры операций, определенных над целыми числами (или любым коммутативным кольцом ).