Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера.

Часть серии по
Физическая космология
Большой взрыв  · Вселенная Возраст вселенной Хронология Вселенной
Ранняя вселенная Эпоха Планка Эпоха великого объединения Электрослабая эпоха Эпоха кварков Адронная эпоха Эпоха лептона Фотонная эпоха Нуклеосинтез Большого взрыва Инфляция Темные века Звездная эра Фоны Космический фоновый радиационный фон (CBR) Фон гравитационных волн (ФГВ) Космический микроволновый фон (CMB)  · Космический нейтринный фон (CNB) Космический инфракрасный фон (ИНБ)
Расширение  · Будущее Закон Хаббла  · Красное смещение Расширение Вселенной Ускоряющееся расширение Вселенной Сопутствующие и правильные расстояния Метрика FLRW  · Уравнения Фридмана Неоднородная космология Хронология далекого будущего Будущее расширяющейся Вселенной Конечная судьба вселенной Тепловая смерть вселенной Большой разрыв Большой хруст Большой отскок Распад ложного вакуума Маленький Рип Распад протона Виртуальная черная дыра
Компоненты  · Структура Составные части Лямбда-CDM модель Барионная материя Экзотическая материя Вырожденная материя Нейтроний КХД имеет значение Странное дело Отрицательное вещество Энергия Отрицательная энергия Нулевая энергия Энергия вакуума Радиация Фоновое излучение Темная энергия Квинтэссенция Фантомная энергия Темная материя Холодная темная материя Теплая темная материя Смешанная темная материя Горячая темная материя Светлая темная материя Самовзаимодействующая темная материя Скалярное поле темной материи Темное излучение Темная жидкость Темный поток Зеркальная материя Состав Форма вселенной Реионизация  · Формирование структуры Формирование галактики Мультивселенная Вселенная Наблюдаемая Вселенная Объем Хаббла Крупномасштабная конструкция Большая группа квазаров Нить галактики Сверхскопление Скопление галактик Группа галактик Местная группа Галактика Ореол темной материи Звездное скопление Солнечная система Планетная система Пустота
Эксперименты Бумеранг Исследователь космического фона (COBE) Обзор темной энергии Евклид Проект Illustris Обсерватория Веры К. Рубин Космическая обсерватория Планка Слоан цифровой обзор неба (SDSS) Обзор красного смещения галактики 2dF ("2dF") ВселеннаяМашина Микроволновый датчик анизотропии Wilkinson (WMAP)
Ученые Ааронсон Альфвен Альфер Бхарадвадж Коперник де Ситтер Дике Эддингтон Элерс Эйнштейн Эллис Фридман Галилео Гамов Гут Хокинг Хаббл Лемэтр Linde Mather Ньютон Penzias Вбивать в голову Шмидт Шварцшильд Smoot Старобинский Steinhardt Suntzeff Сюняев Толман Уилсон Зельдович
История темы Открытие космического микроволнового фонового излучения История теории большого взрыва Религиозные интерпретации теории большого взрыва Хронология космологических теорий
Категория  Астрономический портал
v т е

Фридман-Леметр-Robertson-Walker ( FLRW ; / е р я д м ə п л ə м ɛ т г ə  ... /   ) метрикой является точным решением из уравнений Эйнштейна в ОТО ; он описывает однородную , изотропную , расширяющуюся (или иным образом сжимающуюся) Вселенную, которая линейно связана , но не обязательнопросто связано . ^{[1] [2] [3]} Общий вид метрики следует из геометрических свойств однородности и изотропности; Полевые уравнения Эйнштейна нужны только для получения масштабного фактора Вселенной как функции времени. В зависимости от географических или исторических предпочтений группа из четырех ученых - Александра Фридмана , Жоржа Лемэтра , Ховарда П. Робертсона и Артура Джеффри Уокера - обычно группируется как Фридманн или Фридман-Робертсон-Уокер ( FRW ) или Робертсон-Уокер ( RW ). или жеФридман – Леметр ( Флорида ). Эта модель иногда называют стандартной модели современной космологии , ^[4] , хотя такое описание также связано с дальнейшей разработанной модели лямбда-CDM . Модель FLRW была разработана названными авторами независимо в 1920-х и 1930-х годах.

Общая метрика [ править ]

Метрика FLRW начинается с предположения об однородности и изотропии пространства. Также предполагается, что пространственный компонент метрики может зависеть от времени. Общая метрика, удовлетворяющая этим условиям:

${\ Displaystyle -c ^ {2} \ mathrm {d} \ tau ^ {2} = - c ^ {2} \ mathrm {d} t ^ {2} + {a (t)} ^ {2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2}}$

где распространяется в трехмерном пространстве равномерной кривизны, то есть в эллиптическом пространстве , евклидовом пространстве или гиперболическом пространстве . Обычно он записывается как функция трех пространственных координат, но для этого существует несколько соглашений, подробно описанных ниже. не зависит от t - вся временная зависимость находится в функции a ( t ), известной как « масштабный коэффициент ».${\ Displaystyle \ mathbf {\ Sigma}}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$

Полярные координаты с уменьшенной окружностью [ править ]

В полярных координатах с приведенной окружностью пространственная метрика имеет вид

${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} r ^ {2}} {1-kr ^ {2}}} + r ^ {2} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2}, \ quad {\ text {where}} \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2} = \ mathrm {d} \ theta ^ { 2} + \ sin ^ {2} \ theta \, \ mathrm {d} \ phi ^ {2}.}$

k - постоянная, представляющая кривизну пространства. Есть два общих соглашения о единицах измерения:

• k может иметь единицы длины ^-2 , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) не имеет единиц измерения. k - гауссова кривизна пространства в то время, когда a ( t ) = 1. r иногда называют приведенной окружностью, потому что она равна измеренной длине окружности (при этом значении r ) с центром в начале координат. , деленное на 2 π (как r в координатах Шварцшильда ). В соответствующих случаях a ( t) Часто выбираются равными 1 в настоящее космологической эпохи, так что меры сопутствующее расстояния .${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma}}$
• В качестве альтернативы, k можно считать принадлежащим набору {-1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ± 1, a ( t ) - это радиус кривизны пространства, его также можно записать как R ( t ).

Недостатком уменьшенных координат окружности является то, что они покрывают только половину 3-сферы в случае положительной кривизны - окружности за этой точкой начинают уменьшаться, что приводит к вырождению. (Это не проблема, если пространство эллиптическое , т. Е. 3-сфера с обозначенными противоположными точками.)

Гиперсферические координаты [ править ]

В гиперсферических или нормированных по кривизне координатах координата r пропорциональна радиальному расстоянию; это дает

${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Sigma} ^ {2} = \ mathrm {d} r ^ {2} + S_ {k} (r) ^ {2} \, \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega} ^ {2}}$

где по-прежнему и${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {\ Omega}}$

${\displaystyle S_{k}(r)={\begin{cases}{\sqrt {k}}^{\,-1}\sin(r{\sqrt {k}}),&k>0\\r,&k=0\\{\sqrt {|k|}}^{\,-1}\sinh(r{\sqrt {|k|}}),&k<0.\end{cases}}}$

Как и раньше, существует два общих соглашения о единицах измерения:

• k может иметь единицы длины ^-2 , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) не имеет единиц измерения. k - тогда гауссова кривизна ^{[ требуется уточнение ]} пространства в то время, когда a ( t ) = 1. Где это уместно, a ( t ) часто выбирается равным 1 в нынешнюю космологическую эру, так что это измеряет сопутствующее расстояние .${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } }$
• В качестве альтернативы, как и раньше, k можно считать принадлежащим набору {-1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ± 1, a ( t ) - это радиус кривизны пространства, его также можно записать как R ( t ). Обратите внимание, что когда k = +1, r по существу является третьим углом наряду с θ и φ . Вместо r можно использовать  букву χ .

Хотя это обычно определяется кусочно, как указано выше, S является аналитической функцией как k, так и r . Его также можно записать в виде степенного ряда

${\displaystyle S_{k}(r)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}k^{n}r^{2n+1}}{(2n+1)!}}=r-{\frac {kr^{3}}{6}}+{\frac {k^{2}r^{5}}{120}}-\cdots }$

или как

${\displaystyle S_{k}(r)=r\;\mathrm {sinc} \,(r{\sqrt {k}})}$

где синк является ненормализованной функцией синка и является одним из мнимых, ноля или реальных квадратных корней к . Эти определения верны для всех k .${\displaystyle {\sqrt {k}}}$

Декартовы координаты [ править ]

Когда k = 0, можно просто написать

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}.}$

Это можно продолжить до k ≠ 0, задав

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$,

${\displaystyle y=r\sin \theta \cos \phi \,}$, и

${\displaystyle z=r\sin \theta \sin \phi \,}$,

где r - одна из радиальных координат, определенных выше, но это бывает редко.

Кривизна [ править ]

Декартовы координаты [ править ]

В плоском пространстве FLRW с использованием декартовых координат оставшиеся компоненты тензора Риччи равны ^[5]${\displaystyle (k=0)}$

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},\quad R_{xx}=R_{yy}=R_{zz}=c^{-2}(a{\ddot {a}}+2{\dot {a}}^{2})}$

а скаляр Риччи равен

${\displaystyle R=6c^{-2}\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{a^{2}(t)}}\right).}$

Сферические координаты [ править ]

В более общем пространстве FLRW, использующем сферические координаты (названные выше «полярными координатами уменьшенной окружности»), уцелевшие компоненты тензора Риччи равны ^[6]

${\displaystyle R_{tt}=-3{\frac {\ddot {a}}{a}},}$

${\displaystyle R_{rr}={\frac {c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k}{1-kr^{2}}}}$

${\displaystyle R_{\theta \theta }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)}$

${\displaystyle R_{\phi \phi }=r^{2}(c^{-2}(a(t){\ddot {a}}(t)+2{\dot {a}}^{2}(t))+2k)\sin ^{2}(\theta )}$

а скаляр Риччи равен

${\displaystyle R=6\left({\frac {{\ddot {a}}(t)}{c^{2}a(t)}}+{\frac {{\dot {a}}^{2}(t)}{c^{2}a^{2}(t)}}+{\frac {k}{a^{2}(t)}}\right).}$

Решения [ править ]

Полевые уравнения Эйнштейна не используются при выводе общей формы для метрики: это следует из геометрических свойств однородности и изотропии. Однако для определения эволюции во времени требуются уравнения поля Эйнштейна вместе со способом вычисления плотности, например, космологическое уравнение состояния .${\displaystyle a(t)}$${\displaystyle \rho (t),}$

Эта метрика имеет аналитическое решение уравнений поля Эйнштейна, дающих уравнения Фридмана, когда тензор энергии-импульса аналогичным образом предполагается изотропным и однородным. В результате получаются следующие уравнения: ^[7]${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}={\frac {8\pi G}{3}}\rho }$

${\displaystyle 2{\frac {\ddot {a}}{a}}+\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}=-{\frac {8\pi G}{c^{2}}}p.}$

Эти уравнения являются основой стандартной космологической модели Большого взрыва, включая текущую модель ΛCDM . ^[8] Поскольку модель FLRW предполагает однородность, некоторые популярные источники ошибочно утверждают, что модель Большого взрыва не может объяснить наблюдаемую кусковость Вселенной. В строго модели FLRW нет скоплений галактик, звезд или людей, поскольку это объекты, намного более плотные, чем типичная часть Вселенной. Тем не менее, модель FLRW используется в качестве первого приближения для эволюции реальной, неоднородной Вселенной, потому что ее легко вычислить, а модели, которые рассчитывают комковатость во Вселенной, добавляются к моделям FLRW в качестве расширений. Большинство космологов сходятся во мнении, что наблюдаемая Вселеннаяхорошо аппроксимируется почти моделью FLRW , т. е. моделью, которая следует метрике FLRW, за исключением первичных флуктуаций плотности . По состоянию на 2003 ^[update]г. теоретические последствия различных расширений модели FLRW, по-видимому, хорошо поняты, и цель состоит в том, чтобы согласовать их с наблюдениями COBE и WMAP .

Если пространство-время многосвязно , то каждое событие будет представлено более чем одним кортежем координат. ^{[ необходима цитата ]}

Интерпретация [ править ]

Приведенная выше пара уравнений эквивалентна следующей паре уравнений

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}}$

с , индекс пространственной кривизны, служащий постоянной интегрирования для первого уравнения.${\displaystyle k}$

Первое уравнение может быть выведено также из термодинамических соображений и эквивалентно первому закону термодинамики , предполагая, что расширение Вселенной является адиабатическим процессом (что неявно предполагается при выводе метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера).

Второе уравнение утверждает, что и плотность энергии, и давление вызывают уменьшение скорости расширения Вселенной , то есть оба вызывают замедление расширения Вселенной. Это следствие гравитации , когда давление играет такую ​​же роль, как плотность энергии (или массы), согласно принципам общей теории относительности . С другой стороны, космологическая постоянная вызывает ускорение расширения Вселенной.${\displaystyle {\dot {a}}}$

Космологическая постоянная [ править ]

Космологическая постоянная может быть опущен , если мы сделаем следующие замены

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho +{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p-{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}.}$

Следовательно, космологическую постоянную можно интерпретировать как возникшую из формы энергии, которая имеет отрицательное давление, равное по величине ее (положительной) плотности энергии:

${\displaystyle p=-\rho c^{2}.\,}$

Такая форма энергии - обобщение понятия космологической постоянной - известна как темная энергия .

Фактически, чтобы получить член, вызывающий ускорение расширения Вселенной, достаточно иметь скалярное поле, удовлетворяющее

${\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.\,}$

Такое поле иногда называют квинтэссенцией .

Ньютоновская интерпретация [ править ]

Это связано с МакКри и Милном ^[9], хотя иногда ошибочно приписывается Фридману. Уравнения Фридмана эквивалентны этой паре уравнений:

${\displaystyle -a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,}$

${\displaystyle {\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {G{\frac {4\pi a^{3}}{3}}\rho }{a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.}$

Первое уравнение говорит, что уменьшение массы, содержащейся в фиксированном кубе (сторона которого на мгновение равна a ), представляет собой количество, которое уходит через стороны из-за расширения Вселенной, плюс массовый эквивалент работы, совершаемой давлением на материал. быть исключенным. Это сохранение массы-энергии ( первый закон термодинамики ), содержащегося в части Вселенной.

Второе уравнение говорит, что кинетическая энергия (если смотреть из исходной точки) частицы единичной массы, движущейся с расширением, плюс ее (отрицательная) гравитационная потенциальная энергия (относительно массы, содержащейся в сфере материи ближе к исходной точке) равна к константе, связанной с кривизной Вселенной. Другими словами, энергия (относительно начала координат) движущейся частицы в свободном падении сохраняется. Общая теория относительности просто добавляет связь между пространственной кривизной Вселенной и энергией такой частицы: положительная полная энергия подразумевает отрицательную кривизну, а отрицательная полная энергия подразумевает положительную кривизну.

Предполагается, что член космологической постоянной рассматривается как темная энергия и, таким образом, объединен с членами плотности и давления.

В эпоху Планка нельзя пренебрегать квантовыми эффектами. Таким образом, они могут вызвать отклонение от уравнений Фридмана.

Имя и история [ править ]

Советский математик Александр Фридман впервые получил основные результаты модели FLRW в 1922 и 1924 годах. ^{[10] [11]} Хотя престижный физический журнал Zeitschrift für Physik опубликовал его работу, современники ее не заметили. Фридман напрямую общался с Альбертом Эйнштейном , который от имени Zeitschrift für Physik выступал в качестве научного рецензента работы Фридмана. В конце концов Эйнштейн признал правильность расчетов Фридмана, но не смог оценить физическое значение предсказаний Фридмана.

Фридман умер в 1925 году. В 1927 году Жорж Лемэтр , бельгийский священник, астроном и профессор периодической физики в Католическом университете Левена , независимо получил результаты, аналогичные результатам Фридмана, и опубликовал их в Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Летопись Брюссельского научного общества). ^{[12] [13]} Перед лицом наблюдательных данных о расширении Вселенной, полученных Эдвином Хабблом в конце 1920-х годов, результаты Леметра были замечены, в частности, Артуром Эддингтоном , а в 1930–31 годах статья Лемэтра была переведена на английский и английский языки. опубликовано в Ежемесячных уведомлениях Королевского астрономического общества.

Ховард П. Робертсон из США и Артур Джеффри Уокер из Великобритании более подробно исследовали проблему в 1930-х годах. ^{[14] [15] [16] [17]} В 1935 году Робертсон и Уокер строго доказали, что метрика FLRW - единственная в пространстве-времени, которая является пространственно однородной и изотропной (как отмечалось выше, это геометрический результат и не связан особенно к уравнениям общей теории относительности, которые всегда предполагались Фридманом и Лемэтром).

Это решение, часто называемое метрикой Робертсона – Уокера, поскольку они доказали его общие свойства, отличается от динамических моделей «Фридмана – Леметра» , которые являются конкретными решениями для a ( t ), предполагающими, что единственные вклады в энергию напряжения - холод материя («пыль»), излучение и космологическая постоянная.

Радиус Вселенной Эйнштейна [ править ]

Радиус Вселенной Эйнштейна - это радиус кривизны пространства Вселенной Эйнштейна , давно заброшенной статической модели, которая должна была представлять нашу Вселенную в идеализированной форме. Положив

${\displaystyle {\dot {a}}={\ddot {a}}=0}$

в уравнении Фридмана радиус кривизны пространства этой вселенной (радиус Эйнштейна) равен ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle R_{E}=c/{\sqrt {4\pi G\rho }}}$,

где - скорость света, - ньютоновская гравитационная постоянная , - плотность пространства этой вселенной. Числовое значение радиуса Эйнштейна составляет порядка 10 ¹⁰ световых лет .${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho }$

Доказательства [ править ]

Объединив данные наблюдений из некоторых экспериментов, таких как WMAP и Planck, с теоретическими результатами теоремы Элерса-Герен-Сакса и ее обобщения, ^[18] астрофизики теперь соглашаются, что Вселенная почти однородна и изотропна (при усреднении по очень большому масштабу) и, таким образом, почти пространство-время FLRW.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• North JD: (1965) Мера Вселенной - история современной космологии , Oxford Univ. Press, Dover reprint 1990, ISBN 0-486-66517-8 
• Харрисон, ER (1967), "Классификация однородных космологических моделей", Monthly Notices Королевского астрономического общества , 137 : 69-79, Bibcode : 1967MNRAS.137 ... 69h , DOI : 10,1093 / MNRAS / 137.1.69
• д'Инверно, Рэй (1992), Введение в теорию относительности Эйнштейна , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859686-8. (См. Главу 23 для особенно ясного и краткого введения в модели FLRW.)