Виртуальная черная дыра

где - тензор Эйнштейна , объединяющий тензор Риччи , скалярную кривизну и метрический тензор ; - космологическая постоянная ; а - тензор энергии-импульса вещества; - математическая константа пи ; это скорость света ; и - гравитационная постоянная Ньютона .${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle c}$${\displaystyle G}$

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, то есть искривленным. Небольшая его область - это примерно плоское пространство-время.

Для любого тензорного поля , можно назвать плотность тензорной, где является определяющим фактором в метрическом тензоре . Интеграл является тензором, если область интегрирования мала. Это не тензор, если область интегрирования не мала, потому что тогда она состоит из суммы тензоров, расположенных в разных точках, и не преобразуется каким-либо простым образом при преобразовании координат. ^[3] Здесь мы рассматриваем только небольшие области. Это также верно для интегрирования по трехмерной гиперповерхности .${\displaystyle N_{\mu \nu ...}}$${\displaystyle N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}}$${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ ${\displaystyle S^{\nu }}$

Таким образом, уравнения Эйнштейна для небольшой пространственно-временной области могут быть интегрированы с помощью трехмерной гиперповерхности . Есть ^[4]${\displaystyle S^{\nu }}$

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$

Поскольку интегрируемая пространственно-временная область мала, мы получаем тензорное уравнение

где - компонента 4-импульса материи, - компонента радиуса кривизны малой области.${\displaystyle P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$${\displaystyle R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. С тех пор${\displaystyle P_{\mu }=mc\,U_{\mu }}$

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{s}\,U_{\mu }}$

где - радиус Шварцшильда , - 4-х скоростная, - гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин как компонентов гравитационного радиуса .${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle U_{\mu }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle R_{\mu }}$${\displaystyle r_{s}}$

На небольшой площади пространство-время почти плоское и это уравнение можно записать в операторной форме

${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}}$

или же

Тогда коммутатор операторов и есть${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }}$${\displaystyle {\hat {x}}_{\mu }}$

${\displaystyle [{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}}$

Отсюда следуют указанные соотношения неопределенностей

Подставляя значения и и уменьшая идентичные константы с двух сторон, мы получаем принцип неопределенности Гейзенберга${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }}$${\displaystyle \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$

${\displaystyle \Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

В частном случае статического сферически-симметричного поля и статического распределения материи так и остались${\displaystyle U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)}$

${\displaystyle \Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{s}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}$

где - радиус Шварцшильда , - радиальная координата. Здесь и , поскольку вещество движется со скоростью света в масштабе Планка.${\displaystyle r_{s}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle R_{0}=r_{s}}$${\displaystyle x_{0}=c\,t=r}$

Последнее соотношение неопределенностей позволяет сделать некоторые оценки уравнений общей теории относительности в масштабах Планка . Например, уравнение для инвариантного интервала в в решении Шварцшильда имеет вид${\displaystyle dS}$

${\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{s}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Заменить согласно соотношению неопределенностей . Мы получаем${\displaystyle r_{s}\approx \ell _{P}^{2}/r}$

${\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Видно, что на планковском масштабе метрика пространства-времени ограничена снизу планковской длиной (появляется деление на ноль), и на этом масштабе существуют реальные и виртуальные планковские черные дыры.${\displaystyle r=\ell _{P}}$

Аналогичные оценки можно сделать и в других уравнениях общей теории относительности . Например, анализ уравнения Гамильтона – Якоби для центрально-симметричного гравитационного поля в пространствах разной размерности (с помощью полученного соотношения неопределенности) указывает на предпочтение трехмерного пространства для возникновения виртуальных черных дыр ( квантовая пена , основа «ткани» Вселенной.). ^[4] Это могло предопределить трехмерность наблюдаемого пространства.

Описанное выше соотношение неопределенности справедливо для сильных гравитационных полей, так как в любой достаточно малой области сильного поля пространство-время существенно плоское.