Система факторизации

В математике можно показать, что каждая функция может быть записана как композиция сюръективной функции, за которой следует инъективная функция. Системы факторизации являются обобщением этой ситуации в теории категорий .

Определение [ править ]

Система факторизации ( E , M ) для категории C состоит из двух классов морфизмов E и M категории C, таких что:

1. Е и М оба содержат все изоморфизмы из C и замкнуты относительно композиции.
2. Каждый морфизм f языка C факторизуется, как некоторые морфизмы и .${\ displaystyle f = m \ circ e}$${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle m \ in M}$
3. Факторизация является функториальной : если и - два морфизма такие, что для некоторых морфизмов и , то существует единственный морфизм, который коммутирует следующую диаграмму :${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle vme = m'e'u}$${\ displaystyle e, e '\ in E}$${\ displaystyle m, m '\ in M}$${\ displaystyle w}$

Замечание: это морфизм из в в категорию стрелки .${\ Displaystyle (и, v)}$${\ displaystyle me}$${\displaystyle m'e'}$

Ортогональность [ править ]

Два морфизма и называются ортогональными , обозначаются , если для каждой пары морфизмов и таких, что существует единственный морфизм такой, что диаграмма${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e\downarrow m}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle ve=mu}$${\displaystyle w}$

ездит на работу. Это понятие можно расширить, чтобы определить ортогоналы множеств морфизмов с помощью

${\displaystyle H^{\uparrow }=\{e\quad |\quad \forall h\in H,e\downarrow h\}}$ и ${\displaystyle H^{\downarrow }=\{m\quad |\quad \forall h\in H,h\downarrow m\}.}$

Поскольку в факторизационной системе содержатся все изоморфизмы, условие (3) определения эквивалентно${\displaystyle E\cap M}$

(3 ') и${\displaystyle E\subseteq M^{\uparrow }}$${\displaystyle M\subseteq E^{\downarrow }.}$

Доказательство: На предыдущей диаграмме (3) возьмите (тождество на соответствующем объекте) и .${\displaystyle m:=id,\ e':=id}$${\displaystyle m':=m}$

Эквивалентное определение [ править ]

Пара классов морфизмов C является системой факторизации тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:${\displaystyle (E,M)}$

1. Каждый морфизм f языка C может быть факторизован как with и${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in M.}$
2. ${\displaystyle E=M^{\uparrow }}$ и ${\displaystyle M=E^{\downarrow }.}$

Слабые системы факторизации [ править ]

Пусть е и м два морфизм в категории C . Тогда e обладает свойством левого подъема относительно m (соответственно m обладает свойством правого подъема относительно e ), когда для каждой пары морфизмов u и v, таких что ve  =  mu, существует морфизм w такой, что следующая диаграмма коммутирует. Разница с ортогональностью в том, что w не обязательно уникально.

Слабая система разложения ( Е , М ) для категории C состоит из двух классов морфизмов Х и М из С таким образом, что: ^[1]

1. Класс Е в точности класс морфизмов , имеющих подъемное свойство влево относительно каждый морфизм в M .
2. Класс М точно класс морфизмов , имеющие правильное подъемное свойство относительно каждый морфизм в Е .
3. Каждый морфизм f языка C факторизуется, как некоторые морфизмы и .${\displaystyle f=m\circ e}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle m\in M}$

Это понятие приводит к лаконичному определению категорий моделей : категория модели - это пара, состоящая из категории C и классов (так называемых) слабых эквивалентностей W , расслоений F и кофибраций C, так что

• C имеет все пределы и копределы,

• ${\displaystyle (C\cap W,F)}$ является слабой системой факторизации, и

• ${\displaystyle (C,F\cap W)}$это слабая система факторизации. ^[2]

Модельная категория - это полная и неполная категория, снабженная модельной структурой. Отображение называется тривиальным расслоением, если оно принадлежит, и тривиальным корасслоением, если оно принадлежит объекту , называется фибрантным, а морфизм конечного объекта - расслоением, и он называется кобрантом, если морфизм исходного объекта это кофибрация. ^[3]${\displaystyle F\cap W,}$${\displaystyle C\cap W.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\rightarrow 1}$${\displaystyle 0\rightarrow X}$

Ссылки [ править ]

• Питер Фрейд , Макс Келли (1972). «Категории непрерывных функторов I». Журнал чистой и прикладной алгебры . 2 .
• Риль, Эмили (2014), категоричная теория гомотопий , Cambridge University Press, DOI : 10,1017 / CBO9781107261457 , ISBN 978-1-107-04845-4, Руководство по ремонту  3221774

Внешние ссылки [ править ]

• Риль, Эмили (2008), Системы факторизации (PDF)