Подъемное имущество

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  «Подъемное имущество»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2017 г. )

В математике , в частности в теории категорий , свойство подъема - это свойство пары морфизмов в категории . Он используется в теории гомотопий в алгебраической топологии для определения свойств морфизмов, начиная с явно заданного класса морфизмов. Это заметно в теории категорий моделей , аксиоматической структуре теории гомотопий, введенной Дэниелом Квилленом . Он также используется в определении системы факторизации и слабой системы факторизации., понятия, относящиеся к понятию модельной категории, но менее ограничивающие его. Некоторые элементарные понятия также могут быть выражены с помощью свойства подъема, начиная со списка (счетных) примеров.

Формальное определение [ править ]

Морфизм i в категории обладает свойством левого подъема по отношению к морфизму p , а p также обладает свойством правого подъема по отношению к i , иногда обозначаемым или , если и только если для каждого морфизма f и g в категории выполняется следующая импликация :${\ Displaystyle я \ перп р}$${\ displaystyle i \ downarrow p}$

• если внешний квадрат следующей диаграммы коммутирует, то существует h, завершающий диаграмму, т. е. для каждого и такого, что существует такое, что и .${\ displaystyle f: от A \ до X}$${\ displaystyle g: B \ to Y}$${\ Displaystyle п \ CIRC F = G \ CIRC I}$${\ displaystyle h: B \ to X}$${\ displaystyle h \ circ i = f}$${\ displaystyle p \ circ h = g}$

Иногда это также называют морфизмом i , ортогональным морфизму p ; однако это также может относиться к более сильному свойству: когда f и g такие, как указано выше, диагональный морфизм h существует и также должен быть уникальным.

Для класса морфизмов C в категории его левоортогональный или относительно свойства подъема, соответственно, его правый ортогональный или , является классом всех морфизмов, которые обладают левым или правым свойством подъема по отношению к каждому морфизму в класс C . В обозначениях${\ Displaystyle C ^ {\ perp \ ell}}$${\ displaystyle C ^ {\ perp}}$ ${\ displaystyle C ^ {\ perp r}}$${\ displaystyle {} ^ {\ perp} C}$

${\ displaystyle {\ begin {align} C ^ {\ perp \ ell} &: = \ {i \ mid \ forall p \ in C, i \ perp p \} \\ C ^ {\ perp r} &: = \ {p \ mid \ forall i \ in C, i \ perp p \} \ end {align}}}$

Взятие ортогональности класса C - это простой способ определить класс морфизмов, исключающих неизоморфизмы из C , таким образом, который полезен при вычислении, отслеживающем диаграмму .

Таким образом, в категории Набор из множеств , правая ортогональная простейшего не-сюръекции является класс сюръекциями. Левый и правый ортогонали простейшего неинъектирования являются в точности классом инъекций, ${\ Displaystyle \ {\ emptyset \ к \ {* \} \} ^ {\ perp r}}$ ${\ Displaystyle \ emptyset \ к \ {* \},}$${\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2} \} \ to \ {* \},}$

${\displaystyle \{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp \ell }=\{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp r}=\{f\mid f{\text{ is an injection }}\}.}$

Понятно, что и . Класс всегда закрыт относительно ретрактов, откатов , (малых) произведений (если они существуют в категории) и композиции морфизмов, и содержит все изоморфизмы C. Между тем, закрыт при ретрактах, выталкивании , (малых) копроизведениях и трансфинитной композиции ( фильтрованные копределы ) морфизмов (если они существуют в категории), а также содержит все изоморфизмы.${\displaystyle C^{\perp \ell r}\supset C}$${\displaystyle C^{\perp r\ell }\supset C}$${\displaystyle C^{\perp \ell }}$${\displaystyle C^{\perp r}}$

Примеры [ править ]

Ряд понятий может быть определен путем перехода к левому или правому ортогональному несколько раз, начиная со списка явных примеров, т. Е. As , где - класс, состоящий из нескольких явно заданных морфизмов. Полезная интуиция состоит в том, чтобы думать, что свойство подъема влево по отношению к классу C является своего рода отрицанием свойства нахождения в C , и что подъем вправо также является своего рода отрицанием. Следовательно, классы, полученные из C путем взятия ортогоналей нечетное число раз, например, и т. Д., Представляют различные виды отрицания C , поэтому каждый состоит из морфизмов, далеких от свойства .${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r},C^{\perp \ell \ell }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$${\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r\ell },C^{\perp \ell \ell \ell }}$${\displaystyle C}$

Примеры подъемных свойств в алгебраической топологии [ править ]

Карта имеет свойство подъема пути тогда и только тогда, когда где - включение одной конечной точки отрезка в интервал .${\displaystyle f:U\to B}$${\displaystyle \{0\}\to [0,1]\perp f}$${\displaystyle \{0\}\to [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$

Карта обладает свойством гомотопического подъема тогда и только тогда, когда где - карта .${\displaystyle f:U\to B}$${\displaystyle X\to X\times [0,1]\perp f}$${\displaystyle X\to X\times [0,1]}$${\displaystyle x\mapsto (x,0)}$

Примеры подъемных свойств из категорий моделей [ править ]

Волокна и кофибрации.

• Пусть Top - категория топологических пространств , и пусть - класс отображений , вложений границы шара в шар . Пусть - класс отображений, вкладывающих верхнюю полусферу в круг. являются классами расслоений, ациклических кофибраций, ациклических расслоений и кофибраций. ^[1]${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle S^{n}\to D^{n+1}}$${\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}}$${\displaystyle D^{n+1}}$${\displaystyle WC_{0}}$${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

• Пусть sSet - категория симплициальных множеств . Пусть - класс граничных включений , и пусть - класс роговых включений . Тогда классы расслоений, ациклических кофибраций, ациклических расслоений и кофибраций равны соответственно . ^[2]${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle \partial \Delta [n]\to \Delta [n]}$${\displaystyle WC_{0}}$${\displaystyle \Lambda ^{i}[n]\to \Delta [n]}$${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

• Пусть Ch ( R ) является категория цепных комплексов над коммутативным кольцом R . Пусть - класс отображений вида${\displaystyle C_{0}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to R\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots ,}$

и быть${\displaystyle WC_{0}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots .}$

Затем идут классы расслоений, ациклических кофибраций, ациклических расслоений и кофибраций. ^[3]${\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}$

Элементарные примеры в различных категориях [ править ]

В наборе ,

• ${\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}$ класс сюръекций,

• ${\displaystyle (\{a,b\}\to \{*\})^{\perp r}=(\{a,b\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$ это класс инъекций.

В категории R - Mod из модулей над коммутативным кольцом R ,

• ${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r},\{R\to 0\}^{\perp r}}$класс сюръекций, соответственно. уколы,

• Модуль М является проективным , соответственно. инъективный , если и только если находится в , соотв. находится в .${\displaystyle 0\to M}$${\displaystyle \{0\to R\}^{\perp \ell r}}$${\displaystyle M\to 0}$${\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp rr}}$

В категории Grp из групп ,

• ${\displaystyle \{\mathbb {Z} \to 0\}^{\perp r}}$, соотв. , - класс инъекций, соотв. сюръекции (где обозначает бесконечную циклическую группу ),${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Группа F является свободной группой тогда и только тогда, когда она принадлежит${\displaystyle 0\to F}$${\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r\ell },}$

• Группа является кручением тогда и только тогда в${\displaystyle 0\to A}$${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r},}$

• Подгруппа из B является чистым тогда и только тогда в${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}.}$

Для конечной группы G ,

• ${\displaystyle \{0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\}\perp G\to 1}$тогда и только тогда, когда порядок группы G прост с p ,

• ${\displaystyle G\to 1\in (0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })^{\perp rr}}$тогда и только тогда, когда G - p -группа ,

• H нильпотентен тогда и только тогда, когда диагональное отображение находится в где обозначает класс отображений${\displaystyle H\to H\times H}$${\displaystyle (1\to *)^{\perp \ell r}}$${\displaystyle (1\to *)}$${\displaystyle \{1\to G:G{\text{ arbitrary}}\},}$

• конечная группа Н является растворимым тогда и только тогда в${\displaystyle 1\to H}$${\displaystyle \{0\to A:A{\text{ abelian}}\}^{\perp \ell r}=\{[G,G]\to G:G{\text{ arbitrary }}\}^{\perp \ell r}.}$

В категории Top топологических пространств пусть соотв. обозначим дискретный , соответственно. антидискретное пространство с двумя точками 0 и 1. Обозначим через пространство Серпинского из двух точек, где точка 0 открыта, а точка 1 замкнута, и пусть и т. д. обозначают очевидные вложения.${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle \{0\leftrightarrow 1\}}$${\displaystyle \{0\to 1\}}$${\displaystyle \{0\}\to \{0\to 1\},\{1\}\to \{0\to 1\}}$

• пространство X удовлетворяет аксиоме отделимости T 0 тогда и только тогда, когда находится в${\displaystyle X\to \{*\}}$${\displaystyle (\{0\leftrightarrow 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• пространство X удовлетворяет аксиоме отделимости T 1 тогда и только тогда, когда оно принадлежит${\displaystyle \emptyset \to X}$${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp r},}$

• ${\displaystyle (\{1\}\to \{0\to 1\})^{\perp \ell }}$- класс карт с плотным изображением ,

• ${\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$- это класс отображений таких, что топология на A является обратным образом топологии на B , т. е. топология на A - это топология с наименьшим числом открытых множеств, такая что отображение является непрерывным ,${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r}}$ класс сюръективных отображений,

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell }}$- класс отображений вида, где D дискретно,${\displaystyle A\to A\cup D}$

• ${\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell \ell }=(\{a\}\to \{a,b\})^{\perp \ell }}$это класс отображений таким образом, что каждая компонента связности из B пересекает ,${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle \operatorname {Im} A}$

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp r}}$ - класс инъективных отображений,

• ${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$класс карт , такие , что прообраз из подсоединенного замкнутого открытого подмножества Y является связным замкнутым открытым подмножеством в X , например , X подключаются тогда и только тогда в ,${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X\to \{*\}}$${\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}$

• для связного пространства X каждая непрерывная функция на X ограничена тогда и только тогда, когда - отображение непересекающегося объединения открытых интервалов в вещественную прямую${\displaystyle \emptyset \to X\perp \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (-n,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• пространство Х является Хаусдорфово тогда и только тогда для любых инъективных карт , то имеет место , где обозначает трехточечный пространство с двумя открытыми точками и б , а замкнутая точкой х ,${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X}$${\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X\perp \{a\to x\leftarrow b\}\to \{*\}}$${\displaystyle \{a\leftarrow x\to b\}}$

• пространство X является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда открытый интервал идет в  x , и отображается в точку , и отображается в точку , и обозначает трехточечное пространство с двумя замкнутыми точками и одной открытой точкой x .${\displaystyle \emptyset \to X\perp [0,1]\to \{0\leftarrow x\to 1\}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \{0\leftarrow x\to 1\}}$${\displaystyle 0,1}$

В категории метрических пространств с равномерно непрерывными отображениями.

• Пространство X является полным тогда и только тогда, когда - очевидное включение между двумя подпространствами вещественной прямой с индуцированной метрикой и - метрическое пространство, состоящее из одной точки,${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp X\to \{0\}}$${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \{0\}}$

• Подпространство замкнуто тогда и только тогда, когда${\displaystyle i:A\to X}$${\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp A\to X.}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хови, Марк (1999). Категории моделей .