Константы Фейгенбаума

Константа Фейгенбаума δ выражает предел отношения расстояний между последовательными бифуркационными диаграммами на L _i / L _{i + 1}

В математике , в частности в теории бифуркаций , константы Фейгенбаума - это две математические константы, обе выражающие отношения на бифуркационной диаграмме для нелинейного отображения. Они названы в честь физика Митчелла Дж. Фейгенбаума .

История [ править ]

Фейгенбаум первоначально связал первую константу с бифуркациями удвоения периода в логистической карте , но также показал, что она верна для всех одномерных карт с единственным квадратичным максимумом . Вследствие этой общности каждая хаотическая система , соответствующая этому описанию, будет раздваиваться с одинаковой скоростью. Фейгенбаум сделал это открытие в 1975 г. ^[1]^[2] и официально опубликовал его в 1978 г. ^[3]

Первая константа [ править ]

Первая константа Фейгенбаума является ограничивающим отношением каждого интервала бифуркации к следующему между каждым удвоением периода , из одно- параметра карты

{\ Displaystyle х_ {я + 1} = е (х_ {я}),}

где $f (x)$ - функция, параметризованная параметром бифуркации $a$ .

Он задается пределом ^[4]

\delta =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n-1}-a_{n-2}}{a_{n}-a_{n-1}}}=4.669\,201\,609\,\ldots ,

где $a n$ - дискретные значения $a$ при удвоении $n-го$ периода.

Имена [ править ]

Скорость бифуркации Фейгенбаума
дельта

Значение [ изменить ]

30 знаков после запятой: $δ$ = 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 …
(последовательность A006890 в OEIS )
Простое рациональное приближение - 4 * 307/263.

Иллюстрация [ править ]

Нелинейные карты [ править ]

Чтобы увидеть, как возникает это число, рассмотрим реальную однопараметрическую карту

f(x)=a-x^{2}.

Здесь $a$ - параметр бифуркации, $x$ - переменная. Значения , для которых период удваивается (например, наибольшее значение для без каких - либо периода-2 орбите, или самый крупный , без периода-4 орбиты), являются $1$ , $2$ и т.д. Они приведены в таблице ниже: ^{[5 ]}

$п$	Период	Параметр бифуркации ( $a n$ )	Соотношение $a n -1 - a n -2 / а н - а п - 1$
1	2	0,75	-
2	4	1,25	-
3	8	1,368 0989	4,2337
4	16	1,394 0462	4,5515
5	32	1,399 6312	4,6458
6	64	1,400 8286	4,6639
7	128	1,401 0853	4,6682
8	256	1,401 1402	4,6689

Отношение в последнем столбце сходится к первой постоянной Фейгенбаума. Такой же номер появляется для логистической карты.

f(x)=ax(1-x)

с действительным параметром $a$ и переменной $x$ . Снова табулирование значений бифуркации: ^[6]

$п$	Период	Параметр бифуркации ( $a n$ )	Соотношение $a n -1 - a n -2 / а н - а п - 1$
1	2	3	-
2	4	3,449 4897	-
3	8	3,544 0903	4,7514
4	16	3,564 4073	4,6562
5	32	3,568 7594	4,6683
6	64	3,569 6916	4,6686
7	128	3,569 8913	4,6692
8	256	3,569 9340	4,6694

Фракталы [ править ]

Самоподобие в наборе Мандельброта показано увеличением круглого объекта при панорамировании в отрицательном направлении

x

. Центральная часть дисплея панорамируется от (-1, 0) до (-1,31, 0), а изображение увеличивается от 0,5 × 0,5 до 0,12 × 0,12, чтобы приблизительно соответствовать коэффициенту Фейгенбаума.

В случае множества Мандельброта для комплексного квадратичного многочлена

f(z)=z^{2}+c

постоянная Фейгенбаума - это отношение диаметров следующих друг за другом кругов на действительной оси в комплексной плоскости (см. анимацию справа).

$п$	Период = $2 n$	Параметр бифуркации ( $c n$ )	Соотношение $={\dfrac {c_{n-1}-c_{n-2}}{c_{n}-c_{n-1}}}$
1	2	-0,75	-
2	4	−1,25	-
3	8	-1,368 0989	4,2337
4	16	-1,394 0462	4,5515
5	32	-1,399 6312	4,6458
6	64	-1,400 8287	4,6639
7	128	-1,401 0853	4,6682
8	256	-1,401 1402	4,6689
9	512	-1,401 151 982 029
10	1024	-1,401 154 502 237
$\infty$		−1,401 155 1890 …

Параметр бифуркации - это корневая точка компоненты периода $2 n$ . Этот ряд сходится к точке Фейгенбаума $c$ = −1,401155 ...... Отношение в последнем столбце сходится к первой постоянной Фейгенбаума.

Другие карты также воспроизводят это соотношение, в этом смысле постоянная Фейгенбаума в теории бифуркаций аналогична π в геометрии и $e$ в исчислении .

Вторая константа [ править ]

Вторая константа Фейгенбаума или альфа-константа Фейгенбаума (последовательность A006891 в OEIS ),

\alpha =2.502907875095892822283902873218...,

- это соотношение между шириной выступа и шириной одной из двух его частей (кроме выступа, ближайшего к складке). Отрицательный знак применяется к $α,$ когда измеряется соотношение между нижним выступом и шириной выступа. ^[7]

Эти числа применимы к большому классу динамических систем (например, капающие краны на рост населения). ^[7]

Простое рациональное приближение: (13/11) * (17/11) * (37/27).

Свойства [ править ]

Оба числа считаются трансцендентными , хотя это не доказано. ^[8] Также нет известного доказательства того, что любая из констант иррациональна.

Первое доказательство универсальности констант Фейгенбаума, проведенное Оскаром Лэнфордом в 1982 г. ^[9] (с небольшой поправкой, сделанной Жан-Пьером Экманном и Питером Виттвером из Женевского университета в 1987 г. ^[10] ), было компьютерным. Спустя годы были обнаружены нечисловые методы для различных частей доказательства, что помогло Михаилу Любичу в создании первого полного нечислового доказательства. ^[11]

См. Также [ править ]

Бифуркационная диаграмма
Теория бифуркации
Каскадный отказ
Функция Фейгенбаума
Список хаотических карт
Теорема о теннисной ракетке
Геомагнитная инверсия

Заметки [ править ]

Перейти ↑ Feigenbaum, MJ (1976) "Универсальность в сложной дискретной динамике", Годовой отчет Теоретического отдела Лос-Аламоса за 1975-1976 гг.
^ Хаос: Введение в динамические системы, К. Т. Аллигуд, Т. Д. Зауэр, Дж. А. Йорк, Спрингер, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1
Перейти ↑ Feigenbaum, Mitchell J. (1 июля 1978 г.). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований» . Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. DOI : 10.1007 / BF01020332 . ISSN 1572-9613 .
^ Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е издание), Д. В. Джордан, П. Смит, Oxford University Press, 2007, ISBN 978-0-19-920825-8 .
^ Аллигуд, стр. 503 .
^ Аллигуд, стр. 504 .
^ a b Нелинейная динамика и хаос, Стивен Х. Строгац, Исследования нелинейности, издательство Perseus Books, 1994, ISBN 978-0-7382-0453-6
Перейти ↑ Briggs, Keith (1997). Масштабирование Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Мельбурнский университет .
^ Lanford III, Оскар (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума» . Бык. Амер. Математика. Soc . 6 (3): 427–434. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1982-15008-X .
^ Экманн, JP; Виттвер, П. (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 46 (3-4): 455. Bibcode : 1987JSP .... 46..455E . DOI : 10.1007 / BF01013368 . S2CID 121353606 .
↑ Любич, Михаил (1999). "Универсальность Фейгенбаума-Кулле-Трессера и гипотеза волосатости Милнора". Анналы математики . 149 (2): 319–420. arXiv : math / 9903201 . Bibcode : 1999math ...... 3201L . DOI : 10.2307 / 120968 . JSTOR 120968 . S2CID 119594350 .

Ссылки [ править ]

Аллигуд, Кэтлин Т., Тим Д. Зауэр, Джеймс А. Йорк, Хаос: Введение в динамические системы, Учебники по математическим наукам, Springer, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1
Бриггс, Кит (июль 1991 г.). «Точное вычисление констант Фейгенбаума» (PDF) . Математика вычислений . 57 (195): 435–439. Bibcode : 1991MaCom..57..435B . DOI : 10.1090 / S0025-5718-1991-1079009-6 .
Бриггс, Кит (1997). Масштабирование Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Мельбурнский университет.
Бродхерст, Дэвид (22 марта 1999). «Константы Фейгенбаума с точностью до 1018 знаков после запятой» .

Вайсштейн, Эрик В. «Константа Фейгенбаума» . MathWorld .

Внешние ссылки [ править ]

Константа Фейгенбаума - из Wolfram MathWorld
Последовательность OEIS A006890 (десятичное разложение скорости бифуркации Фейгенбаума)

Последовательность OEIS A006891 (десятичное разложение параметра редукции Фейгенбаума)

Последовательность OEIS A094078 (десятичное разложение числа Pi + arctan (e ^ Pi))

Постоянная Фейгенбаума - PlanetMath
Мориарти, Филипп; Боули, Роджер (2009). « δ - Константа Фейгенбаума» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .

[1] Перейти ↑ Feigenbaum, MJ (1976) "Универсальность в сложной дискретной динамике", Годовой отчет Теоретического отдела Лос-Аламоса за 1975-1976 гг.

[2] Хаос: Введение в динамические системы, К. Т. Аллигуд, Т. Д. Зауэр, Дж. А. Йорк, Спрингер, 1996, ISBN 978-0-38794-677-1

[3] Перейти ↑ Feigenbaum, Mitchell J. (1 июля 1978 г.). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований» . Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. DOI : 10.1007 / BF01020332 . ISSN 1572-9613 .

[4] Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е издание), Д. В. Джордан, П. Смит, Oxford University Press, 2007, ISBN 978-0-19-920825-8 .

[5] Аллигуд, стр. 503 .

[6] Аллигуд, стр. 504 .

[NonlinearDynamics-7] Нелинейная динамика и хаос, Стивен Х. Строгац, Исследования нелинейности, издательство Perseus Books, 1994, ISBN 978-0-7382-0453-6

[8] Перейти ↑ Briggs, Keith (1997). Масштабирование Фейгенбаума в дискретных динамических системах (PDF) (кандидатская диссертация). Мельбурнский университет .

[9] Lanford III, Оскар (1982). «Компьютерное доказательство гипотез Фейгенбаума» . Бык. Амер. Математика. Soc . 6 (3): 427–434. DOI : 10.1090 / S0273-0979-1982-15008-X .

[10] Экманн, JP; Виттвер, П. (1987). «Полное доказательство гипотез Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 46 (3-4): 455. Bibcode : 1987JSP .... 46..455E . DOI : 10.1007 / BF01013368 . S2CID 121353606 .

[11] Любич, Михаил (1999). "Универсальность Фейгенбаума-Кулле-Трессера и гипотеза волосатости Милнора". Анналы математики . 149 (2): 319–420. arXiv : math / 9903201 . Bibcode : 1999math ...... 3201L . DOI : 10.2307 / 120968 . JSTOR 120968 . S2CID 119594350 .

[1]