 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( ноябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В математике , то индекс с фиксированной точкой является понятием топологической фиксированной точкой теории, и , в частности , теории Нильсена . Индекс фиксированной точки можно рассматривать как измерение множественности фиксированных точек.
Индекс может быть легко определен в условиях комплексного анализа : пусть f ( z ) - голоморфное отображение на комплексной плоскости, и пусть z 0 - неподвижная точка f . Тогда функция f ( z ) - z голоморфна и имеет изолированный нуль в точке z 0 . Определим индекс неподвижной точки функции f в точке z 0 , обозначенный i ( f , z 0 ), как кратность нуля функции f ( z ) - z в точке z 0 .
В реальном евклидовом пространстве индекс неподвижной точки определяется следующим образом: если x 0 - изолированная неподвижная точка f , то пусть g - функция, определенная формулой
Тогда g имеет изолированную особенность в точке x 0 и отображает границу некоторой удаленной окрестности точки x 0 на единичную сферу. Мы определяем i ( f , x 0 ) как степень Брауэра отображения, индуцированного g на некоторой подходяще выбранной малой сфере вокруг x 0 . [1]
Теорема Лефшеца – Хопфа [ править ]
Важность индекса неподвижной точки во многом объясняется его ролью в теореме Лефшеца - Хопфа , которая гласит:
где Фикс ( е ) множество неподвижных точек F , а Λ е есть число Лефшца из F .
Поскольку величина в левой части вышеизложенного явно равна нулю, когда f не имеет неподвижных точек, теорема Лефшеца – Хопфа тривиально влечет теорему Лефшеца о неподвижной точке .
Заметки [ править ]
- ^ А. Каток и Б. Хассельблатт (1995), Введение в современную теорию динамических систем, Cambridge University Press, Глава 8.
Ссылки [ править ]
- Роберт Ф. Браун: Теория неподвижной точки , в: IM James, History of Topology , Amsterdam 1999, ISBN 0-444-82375-1 , 271–299.
