Произведение сумм четырех квадратов - это сумма четырех квадратов.
В математике , четыре квадратных Тождество Эйлера говорит о том , что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой четырех квадратов , само по себе является суммой четырех квадратов.
Алгебраическая идентичность [ править ] Для любой пары четверок из коммутативного кольца следующие выражения равны:
( а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 + а 4 2 ) ( б 1 2 + б 2 2 + б 3 2 + б 4 2 ) знак равно {\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =} ( а 1 б 1 - а 2 б 2 - а 3 б 3 - а 4 б 4 ) 2 + {\ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} +} ( а 1 б 2 + а 2 б 1 + а 3 б 4 - а 4 б 3 ) 2 + {\ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} +} ( а 1 б 3 - а 2 б 4 + а 3 б 1 + а 4 б 2 ) 2 + {\ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +} ( а 1 б 4 + а 2 б 3 - а 3 б 2 + а 4 б 1 ) 2 . {\ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}.} Эйлер написал об этом тождестве в письме от 4 мая 1748 г. к Гольдбаху [1] [2] элементарной алгебры .
Это тождество было использовано Лагранжем для доказательства своей теоремы о четырех квадратах . Более конкретно, это означает, что достаточно доказать теорему для простых чисел , после чего следует более общая теорема. Вышеупомянутое соглашение о знаках соответствует знакам, полученным путем умножения двух кватернионов. Другие условные обозначения можно получить, изменив любое значение на и / или любое на . а k {\ displaystyle a_ {k}} - а k {\ displaystyle -a_ {k}} б k {\ displaystyle b_ {k}} - б k {\ displaystyle -b_ {k}}
Если и являются действительными числами , тождество выражает тот факт, что абсолютное значение произведения двух кватернионов равно произведению их абсолютных значений, так же, как тождество двух квадратов Брахмагупты – Фибоначчи делает для комплексных чисел . Это свойство является определяющей чертой композиционных алгебр . а k {\ displaystyle a_ {k}} б k {\ displaystyle b_ {k}}
Теорема Гурвица утверждает, что тождество формы,
( а 1 2 + а 2 2 + а 3 2 + . . . + а п 2 ) ( б 1 2 + б 2 2 + б 3 2 + . . . + б п 2 ) знак равно c 1 2 + c 2 2 + c 3 2 + . . . + c п 2 {\ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + ... + a_ {n} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + ... + b_ {n} ^ {2}) = c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} + c_ {3} ^ {2} + ... + c_ {n} ^ {2}} где - билинейные функции от и , возможно только для n = 1, 2, 4 или 8. c я {\ displaystyle c_ {i}} а я {\displaystyle a_{i}} b i {\displaystyle b_{i}}
Подтверждение личности с помощью кватернионов [ править ] Позвольте и быть парой кватернионов. Их кватернионными конъюгатами являются и . потом α = a 1 + a 2 i + a 3 j + a 4 k {\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k} β = b 1 + b 2 i + b 3 j + b 4 k {\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k} α ∗ = a 1 − a 2 i − a 3 j − a 4 k {\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k} β ∗ = b 1 − b 2 i − b 3 j − b 4 k {\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}
A := α α ∗ = a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 {\displaystyle A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}} и
B := β β ∗ = b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 {\displaystyle B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}} Произведение этих двух есть , где - действительное число, поэтому оно может коммутировать с кватернионом , давая A B = α α ∗ β β ∗ {\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}} β β ∗ {\displaystyle \beta \beta ^{*}} α ∗ {\displaystyle \alpha ^{*}}
A B = α β β ∗ α ∗ {\displaystyle AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}} Выше скобки не нужны, потому что кватернионы ассоциируются . Сопряжение продукта равно коммутируемому произведению конъюгатов факторов продукта, поэтому
A B = α β ( α β ) ∗ = γ γ ∗ {\displaystyle AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}} где это продукт Гамильтон из и : γ {\displaystyle \gamma } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
γ = ( a 1 + ⟨ a 2 , a 3 , a 4 ⟩ ) ( b 1 + ⟨ b 2 , b 3 , b 4 ⟩ ) {\displaystyle \gamma =(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle )(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle )} = a 1 b 1 + a 1 ⟨ b 2 , b 3 , b 4 ⟩ + ⟨ a 2 , a 3 , a 4 ⟩ b 1 + ⟨ a 2 , a 3 , a 4 ⟩ ⟨ b 2 , b 3 , b 4 ⟩ {\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle } = a 1 b 1 + ⟨ a 1 b 2 , a 1 b 3 , a 1 b 4 ⟩ + ⟨ a 2 b 1 , a 3 b 1 , a 4 b 1 ⟩ − ⟨ a 2 , a 3 , a 4 ⟩ ⋅ ⟨ b 2 , b 3 , b 4 ⟩ + ⟨ a 2 , a 3 , a 4 ⟩ × ⟨ b 2 , b 3 , b 4 ⟩ {\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle } = a 1 b 1 + ⟨ a 1 b 2 + a 2 b 1 , a 1 b 3 + a 3 b 1 , a 1 b 4 + a 4 b 1 ⟩ − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 + ⟨ a 3 b 4 − a 4 b 3 , a 4 b 2 − a 2 b 4 , a 2 b 3 − a 3 b 2 ⟩ {\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle } = ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) + ⟨ a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 , a 1 b 3 + a 3 b 1 + a 4 b 2 − a 2 b 4 , a 1 b 4 + a 4 b 1 + a 2 b 3 − a 3 b 2 ⟩ {\displaystyle \qquad =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle } γ = ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) i + ( a 1 b 3 + a 3 b 1 + a 4 b 2 − a 2 b 4 ) j + ( a 1 b 4 + a 4 b 1 + a 2 b 3 − a 3 b 2 ) k . {\displaystyle \gamma =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.} потом
γ ∗ = ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) − ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) i − ( a 1 b 3 + a 3 b 1 + a 4 b 2 − a 2 b 4 ) j − ( a 1 b 4 + a 4 b 1 + a 2 b 3 − a 3 b 2 ) k {\displaystyle \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i-(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k} и
A B = γ γ ∗ = ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 3 b 3 − a 4 b 4 ) 2 + ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 b 4 − a 4 b 3 ) 2 + ( a 1 b 3 + a 3 b 1 + a 4 b 2 − a 2 b 4 ) 2 + ( a 1 b 4 + a 4 b 1 + a 2 b 3 − a 3 b 2 ) 2 . {\displaystyle AB=\gamma \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.} (Если где - скалярная часть, а - векторная часть, то так ) γ = r + u → {\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}} r {\displaystyle r} u → = ⟨ u 1 , u 2 , u 3 ⟩ {\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle } γ ∗ = r − u → {\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}} γ γ ∗ = ( r + u → ) ( r − u → ) = r 2 − r u → + r u → − u → u → = r 2 + u → ⋅ u → − u → × u → = r 2 + u → ⋅ u → = r 2 + u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 . {\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.}
Личность Пфистера [ править ] Пфистер нашел другую квадратную идентичность для любой четной силы: [3]
Если это просто рациональные функции одного набора переменных, так что у каждой есть знаменатель , то это возможно для всех . c i {\displaystyle c_{i}} c i {\displaystyle c_{i}} n = 2 m {\displaystyle n=2^{m}}
Таким образом, еще одна четырехугольная идентичность выглядит следующим образом:
( a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=} ( a 1 b 4 + a 2 b 3 + a 3 b 2 + a 4 b 1 ) 2 + {\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}+} ( a 1 b 3 − a 2 b 4 + a 3 b 1 − a 4 b 2 ) 2 + {\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2})^{2}+} ( a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 3 u 1 b 1 2 + b 2 2 − a 4 u 2 b 1 2 + b 2 2 ) 2 + {\displaystyle \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+} ( a 1 b 1 − a 2 b 2 − a 4 u 1 b 1 2 + b 2 2 − a 3 u 2 b 1 2 + b 2 2 ) 2 {\displaystyle \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}} где и даются u 1 {\displaystyle u_{1}} u 2 {\displaystyle u_{2}}
u 1 = b 1 2 b 4 − 2 b 1 b 2 b 3 − b 2 2 b 4 {\displaystyle u_{1}=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}} u 2 = b 1 2 b 3 + 2 b 1 b 2 b 4 − b 2 2 b 3 {\displaystyle u_{2}=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}} Кстати, верно и следующее тождество:
u 1 2 + u 2 2 = ( b 1 2 + b 2 2 ) 2 ( b 3 2 + b 4 2 ) {\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})^{2}(b_{3}^{2}+b_{4}^{2})} ^ Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие , RE Bradley и CE Sandifer (ред.), Elsevier, 2007, стр. 193^ Математическая эволюция , А. Шеницер и Дж. Стиллвелл (редакторы), Math. Доц. Америка, 2002, стр. 174^ Теорема Кита Конрада Пфистера о суммах квадратов из Университета Коннектикута Внешние ссылки [ править ] Коллекция алгебраических тождеств [1] Lettre CXV от Эйлера к Гольдбаху 
