Бесплатный объект

В математике идея свободного объекта - одно из основных понятий абстрактной алгебры . Это часть универсальной алгебры в том смысле, что она относится ко всем типам алгебраической структуры (с финитарными операциями). Он также имеет формулировку в терминах теории категорий , хотя и в еще более абстрактных терминах. Примеры включают свободные группы , тензорные алгебры или свободные решетки . Неформально свободный объект над множеством A можно рассматривать как «общую» алгебраическую структуру над A: единственные уравнения, которые выполняются между элементами свободного объекта, - это те, которые следуют из определяющих аксиом алгебраической структуры.

Определение [ править ]

Свободные объекты являются прямым обобщением на категории понятия базиса в векторном пространстве. Линейная функция u  : E ₁ → E ₂ между векторными пространствами полностью определяется своими значениями на основе векторного пространства E ₁ . Следующее определение переводит это на любую категорию.

Категория бетона это категория , которая оснащена верным функтором в комплект , в категории множеств . Пусть C - конкретная категория с точным функтором F  : C → Set . Пусть X - объект в Set (то есть X - это множество, здесь называемое базисом ), пусть A - объект в C , и пусть i  : X → F ( A ) - инъективное отображение между множествами X иF ( A ) (называется канонической вставкой ). Тогда A называется свободным объектом на X (относительно i ) тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему универсальному свойству :

для любого объекта B в C и любого отображения между множествами f  : X → F ( B ) существует единственный морфизм g  : A → B в C такой, что f = F ( g ) ∘ i . То есть коммутирует следующая диаграмма :

${\ displaystyle {\ begin {array} {c} X {\ xrightarrow {\ quad i \ quad}} F (A) \\ {} _ {f} \ seekrow \ quad \ swarrow {} _ {F (g) } \\ F (B) \ quad \\\ end {array}}}$

Таким образом, свободный функтор, который строит свободный объект A из множества X, становится сопряженным слева с забывчивым функтором .

Примеры [ править ]

Создание бесплатных объектов происходит в два этапа. Для алгебр, подчиняющихся закону ассоциации , первым шагом является рассмотрение набора всех возможных слов, образованных из алфавита . Затем на слова накладывается набор отношений эквивалентности , где отношения являются определяющими отношениями рассматриваемого алгебраического объекта. Тогда свободный объект состоит из набора классов эквивалентности .

Рассмотрим, например, построение свободной группы из двух образующих. Каждый начинается с алфавита, состоящего из пяти букв . На первом этапе «буквам» или «буквам» еще не присвоено какое-либо значение ; они будут даны позже, на втором этапе. Таким образом, можно с равным успехом начать с алфавита, состоящего из пяти букв . В этом примере множество всех слов или строк будет включать в себя такие строки, как aebecede и ABDC , и так далее, произвольной конечной длины, с буквами , расположенными в каждом возможном порядке.${\ Displaystyle \ {е, а, Ь, а ^ {- 1}, Ь ^ {- 1} \}}$${\ displaystyle a ^ {- 1}}$${\ displaystyle b ^ {- 1}}$${\ Displaystyle S = \ {a, b, c, d, e \}}$${\ Displaystyle W (S)}$

На следующем этапе вводится набор отношений эквивалентности. Отношения эквивалентности для группы является то, что умножения на личности, и умножение обратных: . Применяя эти отношения к приведенным выше строкам, получаем${\ displaystyle ge = eg = g}$${\ displaystyle gg ^ {- 1} = g ^ {- 1} g = e}$

${\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}$

где понималось, что является заменой и является заменой, в то время как является элементом идентичности. Точно так же${\displaystyle c}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle b^{-1}}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}$

Обозначая отношение эквивалентности или конгруэнтности через , свободный объект представляет собой набор классов эквивалентности слов. Таким образом, в этом примере свободная группа в двух образующих является фактор- группой${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}$

Это часто записывается как где - множество всех слов, а это класс эквивалентности тождества после наложения отношений, определяющих группу.${\displaystyle F_{2}=W(S)/E}$${\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}}$

Более простой пример - бесплатные моноиды . Свободный моноид на множестве X - это моноид всех конечных строк, использующих X в качестве алфавита, с операцией конкатенации строк. Идентификатор - это пустая строка. По сути, свободный моноид - это просто набор всех слов без наложенных отношений эквивалентности. Этот пример развит далее в статье о звезде Клини .

Общий случай [ править ]

В общем случае алгебраические отношения не обязательно должны быть ассоциативными, и в этом случае отправной точкой является не набор всех слов, а, скорее, строки, отмеченные круглыми скобками, которые используются для обозначения неассоциативных группировок букв. Такая цепочка может быть эквивалентно представлена двоичным деревом или свободной магмой ; листья дерева - это буквы алфавита.

Тогда алгебраические отношения могут быть общими арностями или конечными отношениями на листьях дерева. Вместо того, чтобы начинать со сбора всех возможных строк в скобках, может быть удобнее начать с вселенной Herbrand . Правильно описать или перечислить содержимое свободного объекта может быть легко или сложно, в зависимости от конкретного рассматриваемого алгебраического объекта. Например, легко описывается свободная группа в двух образующих. Напротив, мало или совсем ничего известно о структуре свободных алгебр Гейтинга в более чем одном генераторе. ^[1] Проблема определения того, принадлежат ли две разные строки к одному и тому же классу эквивалентности, известна как проблема слова..

Как показывают примеры, бесплатные объекты выглядят как конструкции из синтаксиса ; можно до некоторой степени это изменить, сказав, что основные виды использования синтаксиса можно объяснить и охарактеризовать как свободные объекты таким образом, чтобы сделать очевидную «пунктуацию» объяснимой (и более запоминающейся). ^{[ требуется разъяснение ]}

Бесплатные универсальные алгебры [ править ]

Позвольте быть произвольным набором, и пусть будет алгебраической структурой типа, порожденной . Пусть набор, лежащий в основе этой алгебраической структуры , иногда называемый ее универсумом, будет , а пусть будет функцией. Мы говорим , что (или неформально только ) является свободной алгеброй (типа ) на множестве из свободных образующих , если для любой алгебры типа и каждой функции , где есть вселенная , существует единственный гомоморфизм такой , что${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \psi :S\to A}$${\displaystyle (A,\psi )}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \tau :S\to B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \sigma :A\to B}$${\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau .}$

Свободный функтор [ править ]

Наиболее общая установка для свободного объекта находится в теории категорий , где определяется функтор , свободный функтор , который является левым, сопряженным с функтором забывчивости .

Рассмотрим категорию С из алгебраических структур ; их можно рассматривать как наборы плюс операции, подчиняющиеся некоторым законам. Эта категория имеет функтор, , то забывающий функтор , который отображает объекты и функцию в C для набора , в категории множеств . Функтор забывчивости очень прост: он просто игнорирует все операции.${\displaystyle U:\mathbf {C} \to \mathbf {Set} }$

Свободный функтор F , если она существует, является левым сопряженным к U . То есть, имеет множество X в наборе их соответствующий свободные объекты F ( X ) в категории C . Множество X можно рассматривать как набор «генераторов» свободного объекта F ( X ).${\displaystyle F:\mathbf {Set} \to \mathbf {C} }$

Чтобы свободный функтор был сопряженным слева, необходимо также наличие Set -морфизма . Более явно, F , с точностью до изоморфизмов в C , характеризуется следующим универсальным свойством :${\displaystyle \eta :X\to U(F(X))\,\!}$

Если A - алгебра в C , а g  : X → U ( A ) - функция (морфизм в категории множеств), то существует единственный C -морфизм h  : F ( X ) → A такой, что U ( з )  η = g .

Конкретно, это отправляет набор в свободный объект на этом наборе; это «включение основы». Злоупотребление обозначениями (это злоупотребление обозначениями, потому что X - это множество, а F ( X ) - алгебра; правильно, это так ).${\displaystyle X\to F(X)}$${\displaystyle X\to U(F(X))}$

Естественное преобразование называется блок ; вместе с коединицей можно построить T-алгебру , а значит, и монаду .${\displaystyle \eta :\operatorname {id} _{\mathbf {Set} }\to UF}$ ${\displaystyle \varepsilon :FU\to \operatorname {id} _{\mathbf {C} }}$

Косвободный функтор является сопряженным справа к забывчивому функтору.

Существование [ править ]

Существуют общие теоремы существования, которые применимы; самые основные из них гарантируют, что

Всякий раз , когда С является выбор , то для каждого множества X есть свободный объект F ( X ) в C .

Здесь разнообразие является синонимом финитарной алгебраической категории , таким образом подразумевая, что множество отношений является конечным и алгебраическим, поскольку оно монадично над множеством .

Общий случай [ править ]

Другие типы забывчивости также порождают объекты, подобные свободным объектам, в том смысле, что они остаются присоединенными к функтору забывчивости, не обязательно к множествам.

Например, конструкция тензорной алгебры на векторном пространстве является левым сопряженным функтором на ассоциативных алгебрах, который игнорирует структуру алгебры. Поэтому ее часто также называют свободной алгеброй . Точно так же симметрическая алгебра и внешняя алгебра являются свободными симметричными и антисимметричными алгебрами в векторном пространстве.

Список бесплатных объектов [ править ]

Конкретные виды бесплатных объектов включают:

• свободная алгебра
  • свободная ассоциативная алгебра
  • свободная коммутативная алгебра
• свободная категория
  • свободная строгая моноидальная категория
• свободная группа
  • свободная абелева группа
  • свободная частично коммутативная группа
• свободная алгебра Клини
• свободная решетка
  • свободная булева алгебра
  • свободная распределительная решетка
  • свободная алгебра Гейтинга
  • свободная модульная решетка
• свободная алгебра Ли
• свободная магма
• свободный модуль и, в частности, векторное пространство
• свободный моноид
  • свободный коммутативный моноид
  • свободный частично коммутативный моноид
• бесплатное кольцо
• свободная полугруппа
• свободное полукольцо
  • свободное коммутативное полукольцо
• свободная теория
• алгебра терминов
• дискретное пространство

См. Также [ править ]

• Генераторная установка

Заметки [ править ]