Расширение Фридрихса

В функциональном анализе , то расширение Фридрихс является каноническим самосопряженным расширением неотрицательного плотно заданного симметричным оператор . Он назван в честь математика Курта Фридрихса . Это расширение особенно полезно в ситуациях, когда оператор может не быть по существу самосопряженным или чья существенная самосопряженность трудно показать.

Оператор T неотрицателен, если

${\ displaystyle \ langle \ xi \ mid T \ xi \ rangle \ geq 0 \ quad \ xi \ in \ operatorname {dom} \ T}$

Примеры [ править ]

Пример . Умножение на неотрицательное функции на L ² пространства является неотрицательным самосопряженным оператором.

Пример . Пусть U - открытое множество в R ⁿ . На L ² ( U ) мы рассматриваем дифференциальные операторы вида

${\ displaystyle [T \ phi] (x) = - \ sum _ {i, j} \ partial _ {x_ {i}} \ {a_ {ij} (x) \ partial _ {x_ {j}} \ phi (x) \} \ quad x \ in U, \ phi \ in \ operatorname {C} _ {c} ^ {\ infty} (U),}$

где функции _{I J} бесконечно дифференцируемые вещественные функции на U . Мы рассматриваем T, действующее на плотном подпространстве бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций с компактным носителем в символах

${\displaystyle \operatorname {C} _{c}^{\infty }(U)\subseteq L^{2}(U).}$

Если для каждого х ∈ U п × п матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\cdots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\cdots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\cdots &a_{nn}(x)\end{bmatrix}}}$

неотрицательно полуопределенно, то T неотрицательный оператор. Это означает (а), что матрица эрмитова и

${\displaystyle \sum _{i,j}a_{ij}(x)c_{i}{\overline {c_{j}}}\geq 0}$

для любого выбора комплексных чисел c ₁ , ..., c _n . Это доказывается с помощью интегрирования по частям .

Эти операторы эллиптические, хотя в общем случае эллиптические операторы не могут быть неотрицательными. Однако они ограничены снизу.

Определение расширения Фридрихса [ править ]

Определение расширения Фридрихса основано на теории замкнутых положительных форм на гильбертовых пространствах. Если T неотрицательно, то

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle \xi \mid T\eta \rangle +\langle \xi \mid \eta \rangle }$

является полуторалинейной формой на dom T и

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\xi )=\langle \xi \mid T\xi \rangle +\langle \xi \mid \xi \rangle \geq \|\xi \|^{2}.}$

Таким образом , Q определяет скалярное произведение на йот T . Пусть H ₁ - пополнение dom T относительно Q. H ₁ - абстрактно определенное пространство; например , его элементы могут быть представлены в виде классов эквивалентности из последовательностей Коши элементов РОМ Т . Это не очевидно , что все элементы в H ₁ могут быть идентифицированы с элементами H . Однако можно доказать следующее:

Каноническое включение

${\displaystyle \operatorname {dom} \ T\rightarrow H}$

продолжается до инъективного непрерывного отображения H ₁ → H . Мы считаем , что H ₁ как подпространство H .

Определите оператор A с помощью

${\displaystyle \operatorname {dom} \ A=\{\xi \in H_{1}:\phi _{\xi }:\eta \mapsto \operatorname {Q} (\xi ,\eta ){\mbox{ is bounded linear.}}\}}$

В приведенной выше формуле, ограниченно относительно топологии на H ₁ , унаследованной от H . По теореме Рисса о представлении, примененной к линейному функционалу φ _ξ, продолженному на H , существует единственный A ξ ∈ H такой, что

${\displaystyle \operatorname {Q} (\xi ,\eta )=\langle A\xi \mid \eta \rangle \quad \eta \in H_{1}}$

Теорема . Является неотрицательным самосопряженным оператором таким образом, что Т ₁ = - Я простирается T .

T ₁ является расширением T по Фридрихсу .

Теорема Крейна о неотрицательных самосопряженных расширениях [ править ]

М. Г. дал элегантную характеристику всех неотрицательных расширений самосопряженного неотрицательного симметричного оператора Т .

Если T , S - неотрицательные самосопряженные операторы, пишем

${\displaystyle T\leq S}$

если и только если,

• ${\displaystyle \operatorname {dom} (S^{1/2})\subseteq \operatorname {dom} (T^{1/2})}$
• ${\displaystyle \langle T^{1/2}\xi \mid T^{1/2}\xi \rangle \leq \langle S^{1/2}\xi \mid S^{1/2}\xi \rangle \quad \forall \xi \in \operatorname {dom} (S^{1/2})}$

Теорема . Существуют единственные самосопряженные расширения T _min и T _max любого неотрицательного симметрического оператора T такие, что

${\displaystyle T_{\mathrm {min} }\leq T_{\mathrm {max} },}$

и каждое неотрицательное самосопряженное расширение S группы T находится между T _min и T _max , т. е.

${\displaystyle T_{\mathrm {min} }\leq S\leq T_{\mathrm {max} }.}$

См. Также [ править ]

• Энергетическое расширение
• Расширения симметричных операторов

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве , Питман, 1981.