Энергетическое пространство

В математике , точнее в функциональном анализе , энергетическое пространство интуитивно является подпространством данного реального гильбертова пространства, снабженного новым «энергетическим» внутренним продуктом . Мотивация для названия исходит из физики , поскольку во многих физических задачах энергия системы может быть выражена в терминах энергетического внутреннего продукта. Пример этого будет приведен позже в статье.

Энергетическое пространство

Формально рассмотрим реальное гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой . Пусть - линейное подпространство и - сильно монотонный симметричный линейный оператор , то есть линейный оператор, удовлетворяющий ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (\ cdot | \ cdot)}$ ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B: Y \ to X}$

• ${\ Displaystyle (Bu | v) = (и | Bv) \,}$для всех в${\ displaystyle u, v}$${\ displaystyle Y}$
• ${\ Displaystyle (Бу | и) \ geq с \ | и \ | ^ {2}}$для некоторой константы и все в${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle Y.}$

Энергичное скалярное произведение определяются как

${\ Displaystyle (u | v) _ {E} = (Bu | v) \,}$для всех в${\ displaystyle u, v}$${\ displaystyle Y}$

и энергетическая норма является

${\ displaystyle \ | u \ | _ {E} = (u | u) _ {E} ^ {\ frac {1} {2}} \,}$для всех в${\ displaystyle u}$${\ displaystyle Y.}$

Множество вместе с энергетическим внутренним продуктом представляет собой предгильбертово пространство . Энергетическое пространство определяется как завершение из в энергетической норме. можно рассматривать как подмножество исходного гильбертова пространства, поскольку любая последовательность Коши в энергетической норме также является Коши в норме (это следует из свойства сильной монотонности ). ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X_ {E}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X_ {E}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$${\displaystyle B}$

Энергичный внутренний продукт увеличен с , чтобы с помощью${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{E}}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=\lim _{n\to \infty }(u_{n}|v_{n})_{E}}$

где и - последовательности в Y, которые сходятся к точкам в энергетической норме.${\displaystyle (u_{n})}$${\displaystyle (v_{n})}$${\displaystyle X_{E}}$

Энергетическое расширение

Оператор допускает энергичное расширение${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{E}}$

${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$

определяется на значениях в двойственном пространстве , которое задается формулой ${\displaystyle X_{E}}$ ${\displaystyle X_{E}^{*}}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}}$для всех в${\displaystyle u,v}$${\displaystyle X_{E}.}$

Здесь обозначает скобку двойственности между и, так что на самом деле обозначает ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle _{E}}$${\displaystyle X_{E}^{*}}$${\displaystyle X_{E},}$${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}}$${\displaystyle (B_{E}u)(v).}$

Если и являются элементами исходного подпространства, то${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Y,}$

${\displaystyle \langle B_{E}u|v\rangle _{E}=(u|v)_{E}=(Bu|v)=\langle u|B|v\rangle }$

по определению энергетического внутреннего продукта. Если кто-то рассматривает, что является элементом в как элемент в двойственном через теорему о представлении Рисса , то он также будет в двойственном (благодаря свойству сильной монотонности ). Посредством этих отождествлений из приведенной выше формулы следует, что, другими словами, исходный оператор может рассматриваться как оператор, а затем является просто расширением функции от до${\displaystyle Bu,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle Bu}$${\displaystyle X_{E}^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{E}u=Bu.}$${\displaystyle B:Y\to X}$${\displaystyle B:Y\to X_{E}^{*},}$${\displaystyle B_{E}:X_{E}\to X_{E}^{*}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{E}.}$

Пример из физики

Струна с фиксированными концами под действием силы, направленной вниз.

Рассмотрим строку , концы которой зафиксированы в двух точках на реальной прямой (здесь рассматривается как горизонтальная линия). Пусть плотность вертикальной внешней силы в каждой точке струны равна , где - единичный вектор, указывающий вертикально, и Пусть будет прогиб струны в этой точке под действием силы. Предполагая, что прогиб невелик, упругая энергия струны равна ${\displaystyle a<b}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (a\leq x\leq b)}$${\displaystyle f(x)\mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx}$

а полная потенциальная энергия струны равна

${\displaystyle F(u)={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx-\int _{a}^{b}\!u(x)f(x)\,dx.}$

Прогиб, минимизирующий потенциальную энергию, будет удовлетворять дифференциальному уравнению${\displaystyle u(x)}$

${\displaystyle -u''=f\,}$

с граничными условиями

${\displaystyle u(a)=u(b)=0.\,}$

Чтобы изучить это уравнение, рассмотрим пространство, то есть пространство Lp всех квадратично интегрируемых функций относительно меры Лебега . Это пространство гильбертово относительно скалярного произведения${\displaystyle X=L^{2}(a,b),}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle (u|v)=\int _{a}^{b}\!u(x)v(x)\,dx,}$

с нормой, задаваемой

${\displaystyle \|u\|={\sqrt {(u|u)}}.}$

Пусть - множество всех дважды непрерывно дифференцируемых функций с граничными условиями Тогда - линейное подпространство${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle u(a)=u(b)=0.}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X.}$

Рассмотрим оператор, задаваемый формулой${\displaystyle B:Y\to X}$

${\displaystyle Bu=-u'',\,}$

поэтому прогиб удовлетворяет уравнению. Используя интегрирование по частям и граничные условия, можно увидеть, что ${\displaystyle Bu=f.}$

${\displaystyle (Bu|v)=-\int _{a}^{b}\!u''(x)v(x)\,dx=\int _{a}^{b}u'(x)v'(x)=(u|Bv)}$

для любого и в Следовательно, является симметричным линейным оператором. ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B}$также сильно монотонна, поскольку по неравенству Фридрихса

${\displaystyle \|u\|^{2}=\int _{a}^{b}u^{2}(x)\,dx\leq C\int _{a}^{b}u'(x)^{2}\,dx=C\,(Bu|u)}$

для некоторых ${\displaystyle C>0.}$

Таким образом, энергетическое пространство по отношению к оператору является пространством Соболева. Мы видим, что упругая энергия струны, которая мотивировала это исследование, равна ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle H_{0}^{1}(a,b).}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\!u'(x)^{2}\,dx={\frac {1}{2}}(u|u)_{E},}$

так что это половина энергетического внутреннего продукта самого себя. ${\displaystyle u}$

Чтобы вычислить прогиб, минимизирующий полную потенциальную энергию струны, можно записать эту задачу в виде ${\displaystyle u}$${\displaystyle F(u)}$

${\displaystyle (u|v)_{E}=(f|v)\,}$для всех ин .${\displaystyle v}$${\displaystyle X_{E}}$

Затем обычно приближаются с помощью некоторой функции в конечномерном подпространстве истинного пространства решений. Например, можно позволить быть непрерывной кусочно-линейной функцией в энергетическом пространстве, что дает метод конечных элементов . Приближение может быть вычислено путем решения системы линейных уравнений .${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u_{h}}$${\displaystyle u_{h}}$

Энергетическая норма оказывается естественной нормой для измерения ошибки между и , см. Лемму Сеа .${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{h}}$

Смотрите также

• Внутреннее пространство продукта
• Положительно определенное ядро

использованная литература

• Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: приложения к математической физике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94442-7.

• Джонсон, Клас (1987). Численное решение уравнений в частных производных методом конечных элементов . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-34514-6.