В теории чисел , А простое число виферих является простым числом р таким , что р 2 делит 2 р - 1 - 1 , [4] , следовательно , соединяющий эти простые числа с малой теоремой Фермы , которая гласит , что каждый нечетный простой р делит 2 р - 1 - 1 . Простые числа Вифериха были впервые описаны Артуром Виферихом в 1909 году в работах, относящихся к последней теореме Ферма , когда обе теоремы Ферма были уже хорошо известны математикам. [5] [6]
Названный в честь | Артур Виферих |
---|---|
Год публикации | 1909 г. |
Автор публикации | Виферих, А. |
Количество известных терминов | 2 |
Предполагаемый нет. условий | Бесконечный |
подпоследовательности из | Числа Крэндалла [1] числа Вифериха [2] простые числа Лукаса – Вифериха [3] простые числа почти Вифериха |
Первые триместры | 1093 , 3511 |
Самый большой известный термин | 3511 |
Индекс OEIS | A001220 |
С тех пор были обнаружены связи между простыми числами Вифериха и различными другими темами математики, включая другие типы чисел и простых чисел, такие как числа Мерсенна и Ферма , определенные типы псевдопростых чисел и некоторые типы чисел, обобщенные из исходного определения простого числа Вифериха. . Со временем эти обнаруженные связи расширились, охватив больше свойств некоторых простых чисел, а также более общие темы, такие как числовые поля и гипотеза abc .
По состоянию на март 2021 [Обновить]года единственными известными простыми числами Вифериха являются 1093 и 3511 (последовательность A001220 в OEIS ).
Эквивалентные определения
Более сильная версия малой теоремы Ферма , которой удовлетворяет простое число Вифериха, обычно выражается в виде отношения сравнения 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) . Из определения отношения сравнения для целых чисел следует, что это свойство эквивалентно определению, данному в начале. Таким образом, если простое число p удовлетворяет этому сравнению, это простое число делит фактор Ферма . Ниже приведены два иллюстративных примера с использованием простых чисел 11 и 1093:
- При p = 11 получаем что равно 93 и остается остаток 5 после деления на 11, следовательно, 11 не является простым числом Вифериха. При p = 1093 получаем или 485439490310 ... 852893958515 (302 промежуточные цифры опущены для ясности), что оставляет остаток 0 после деления на 1093 и, таким образом, 1093 является простым числом Вифериха.
Простые числа Вифериха можно определить с помощью других эквивалентных сравнений. Если p является простым числом Вифериха, можно умножить обе части сравнения 2 p −1 1 (mod p 2 ) на 2, чтобы получить 2 p ≡ 2 (mod p 2 ) . Возведение обеих частей сравнения в степень p показывает, что простое число Вифериха также удовлетворяет 2 p 2 ≡2 p ≡ 2 (mod p 2 ) и, следовательно, 2 p k ≡ 2 (mod p 2 ) для всех k ≥ 1 . Верно и обратное: 2 p k ≡ 2 (mod p 2 ) для некоторого k ≥ 1 влечет, что мультипликативный порядок 2 по модулю p 2 делит НОД ( p k - 1 , φ ( p 2 )) = p - 1 , то есть 2 p −1 1 (mod p 2 ) и, следовательно, p является простым числом Вифериха. Это также означает, что простые числа Вифериха могут быть определены как простые числа p такие, что мультипликативные порядки 2 по модулю p и по модулю p 2 совпадают: ord p 2 2 = ord p 2 , (Кстати, ord 1093 2 = 364 и ord 3511 2 = 1755).
Х. С. Вандивер доказал, что 2 p −1 ≡ 1 (mod p 3 ) тогда и только тогда, когда. [7] : 187
История и статус поиска
В 1902 году Мейер доказал теорему о решениях сравнения a p - 1 ≡ 1 (mod p r ). [8] : 930 [9] Позже в том же десятилетии Артур Виферих конкретно показал, что если первый случай последней теоремы Ферма имеет решения для нечетного простого показателя степени, то это простое число должно удовлетворять этому сравнению при a = 2 и r = 2. [ 10] другими словами, если существуют решения х р + у р + г р = 0 в целых числах х , у , г и р в нечетное простое с р ∤ хуг , то р удовлетворяет условию 2 р - 1 ≡ 1 ( по модулю р 2 ). В 1913 году Бахман исследовали остатки из. Он задал вопрос, когда этот остаток исчезнет, и попытался найти выражения для ответа на этот вопрос. [11]
Простое число 1093 было обнаружено У. Мейснером для всех простых чисел p <2000 и обнаружил, что этот остаток равен нулю для t = 364 и p = 1093, тем самым предоставив контрпример к гипотезе Грейва о невозможности сравнения Вифериха. [12] Э. Хенцшель позже приказал проверить правильность сравнения Мейснера с помощью только элементарных вычислений. [13] : 664 Вдохновленный более ранней работой Эйлера , он упростил доказательство Мейснера, показав, что 1093 2 | (2 182 + 1) и заметил, что (2 182 + 1) множитель (2 364 - 1). [14] Также было показано, что можно доказать, что 1093 является простым числом Вифериха, без использования комплексных чисел, в отличие от метода, использованного Мейснером, [15] хотя сам Мейснер намекнул на то, что ему известно о доказательстве без комплексных значений. [12] : 665
в 1913 году как простое число Вифериха и подтверждено, что оно является единственным таким простым числом ниже 2000. Он вычислил наименьший остаток числаПростое число 3511 было впервые обнаружено как простое число Вифериха NGWH Beeger в 1922 году [16], а еще одно доказательство того, что это простое число Вифериха, было опубликовано в 1965 году Гаем . [17] В 1960 году Кравиц [18] удвоил предыдущий рекорд, установленный Фрёбергом × 10 9 . [21] Этот предел был расширен до более чем 2,5 × 10 15 в 2006 г. [22], наконец, достигнув 3 × 10 15 . Теперь известно, что если существуют какие-либо другие простые числа Вифериха, они должны быть больше 6,7 × 10 15 . [23]
[19], а в 1961 году Ризель расширил поиск до 500000 с помощью BESK . [20] Примерно в 1980 году Лемер смог достичь предела поиска 6В 2007–2016 годах поиск простых чисел Вифериха проводился в рамках проекта распределенных вычислений Wieferich @ Home. [24] В 2011–2017 годах был проведен еще один поиск в рамках проекта PrimeGrid , хотя позже работа, проделанная в этом проекте, была признана напрасной. [25] Хотя эти проекты достигли пределов поиска выше 1 × 10 17 , ни один из них не дал никаких устойчивых результатов.
В 2020 году PrimeGrid запустила еще один проект, который одновременно ищет простые числа Вифериха и Уолла – Солнца – Солнца . В новом проекте используются контрольные суммы для обеспечения возможности независимой двойной проверки каждого подынтервала, что сводит к минимуму риск пропуска экземпляра из-за неисправного оборудования. [26] По состоянию на март 2021 г.[Обновить]передний фронт этого поиска был более 3 × 10 18 . [27]
Было высказано предположение (как и для простых чисел Вильсона ), что существует бесконечно много простых чисел Вифериха и что число простых чисел Вифериха ниже x приблизительно равно log (log ( x )), что является эвристическим результатом, который следует из правдоподобного предположения, что для a простое число р , то ( р - 1) -й степень корни из единицы по модулю р 2 является равномерно распределены в мультипликативной группе целых чисел по модулю р 2 . [28]
Характеристики
Связь с последней теоремой Ферма
Следующая теорема, связывающая простые числа Вифериха и последнюю теорему Ферма, была доказана Виферихом в 1909 году: [10]
- Пусть р простое число, и пусть х , у , г быть целыми числами такие , что х р + у р + г р = 0 . Кроме того, предположим, что p не делит произведение xyz . Тогда p простое число Вифериха.
Вышеупомянутый случай (где p не делит ни одного из x , y или z ) широко известен как первый случай последней теоремы Ферма (FLTI) [29] [30], а FLTI считается неуспешным для простого p , если решения к уравнению Ферма существуют для этого p , в противном случае FLTI выполняется для p . [31] В 1910 году Мириманов расширил [32] теорему, показав, что если предварительные условия теоремы верны для некоторого простого числа p , то p 2 также должно делить 3 p - 1 - 1 . Гранвиль и Монаган далее доказали, что p 2 должно фактически делить m p - 1 - 1 для любого простого числа m ≤ 89. [33] Судзуки распространил доказательство на все простые числа m ≤ 113. [34]
Пусть H p набор пар целых чисел с 1 в качестве наибольшего общего делителя , p простое с x , y и x + y , ( x + y ) p −1 1 1 (mod p 2 ), ( x + ξy ) является p- й степенью идеала в K с ξ, определенным как cos 2 π / p + i sin 2 π / p . К = Q ( ξ ) является расширением поля , полученное присоединения всех многочленов в алгебраических числах £ , на поле из рациональных чисел (такое расширение известно как поле номера или в данном конкретном случае, где ξ является корнем из единицы , поле кругового числа ). [33] : 332 Из единственности факторизации идеалов в Q (ξ) следует, что если первый случай последней теоремы Ферма имеет решения x , y , z, то p делит x + y + z и ( x , y ), ( y , z ) и ( z , x ) - элементы H p . [33] : 333 Гранвиль и Монаган показали, что (1, 1) ∈ H p тогда и только тогда, когда p является простым числом Вифериха. [33] : 333
Связь с гипотезой abc и простыми числами, отличными от Вифериха
Простое число, отличное от Вифериха, - это простое число p, удовлетворяющее 2 p - 1 ≢ 1 (mod p 2 ) . Дж. Сильверман показал в 1988 г., что если гипотеза abc верна , то существует бесконечно много простых чисел, отличных от Вифериха. [35] Точнее, он показал, что гипотеза abc подразумевает существование константы, зависящей только от α, такой что количество простых чисел, отличных от Вифериха, с основанием α с p, меньшим или равным переменной X , больше, чем log ( X ) поскольку X стремится к бесконечности. [36] : 227 Численные данные свидетельствуют о том, что очень немногие из простых чисел в данном интервале являются простыми числами Вифериха. Множество простых чисел Вифериха и множество простых чисел Вифериха, иногда обозначаемых W 2 и W 2 c соответственно, [37] являются дополнительными множествами , поэтому, если одно из них оказывается конечным, другое обязательно должно быть быть бесконечным, потому что оба являются собственными подмножествами множества простых чисел. Позднее было показано , что существование бесконечного числа не-простое число вифериха уже следует из более слабой версии аЬс гипотезы, называемой АВС - ( K , ε ) гипотеза . [38] Кроме того, существование бесконечного числа простых чисел, отличных от Вифериха, также должно было бы следовать, если существует бесконечно много бесквадратных чисел Мерсенна [39], а также если существует действительное число ξ такое, что множество { n ∈ N : λ (2 n - 1) <2 - ξ } имеет плотность один, где индекс композиции λ ( n ) целого числа n определяется как а также , имея в виду дает произведение всех простых множителей в п . [37] : 4
Связь с простыми числами Мерсенна и Ферма
Известно, что n- е число Мерсенна M n = 2 n - 1 простое, только если n простое. Из маленькой теоремы Ферма следует, что если p > 2 простое число, то M p −1 (= 2 p - 1 - 1) всегда делится на p . Поскольку числа Мерсенна простых индексов M p и M q взаимно просты,
- Простой делитель p числа M q , где q простое число, является простым числом Вифериха тогда и только тогда, когда p 2 делит M q . [40]
Таким образом, простое число Мерсенна также не может быть простым числом Вифериха. Важная открытая проблема состоит в том, чтобы определить, все ли числа Мерсенна простого индекса бесквадратны . Если д простой и Мерсенны числа М д является не свободно от квадратов, то есть, существует простой р , для которых р 2 делит М д , то р является простым Wieferich. Следовательно, если имеется только конечное число простых чисел Вифериха, то будет не более конечного числа не бесквадратных чисел Мерсенна с простым индексом. Роткевич показал похожий результат: если существует бесконечно много бесквадратных чисел Мерсенна, то существует бесконечно много простых чисел, не являющихся Виферихом. [41]
Аналогично, если p простое и p 2 делит некоторое число Ферма F n = 2 2 n + 1 , то p должно быть простым числом Вифериха. [42]
На самом деле существуют натуральное число n и простое число p, которые p 2 делят (где является n -м циклотомическим многочленом ) тогда и только тогда, когда p - простое число Вифериха. Например, 1093 2 делит, 3511 2 делит. Числа Мерсенна и Ферма - это просто особые ситуации. Таким образом, если 1093 и 3511 - только два простых числа Вифериха, то всебез квадратов, кроме а также (На самом деле, когда существует простое число p, которое p 2 делит некоторое, то это простое число Вифериха); и ясно, что еслиявляется простым числом, то оно не может быть простым числом Вифериха. (Любое нечетное простое число p делит только однои n делит p - 1 , и если и только если длина периода 1 / p в двоичной системе равна n , то p делит. Кроме того, если и только если p является простым числом Вифериха, то длина периода 1 / p и 1 / p 2 одинакова (в двоичной системе). В противном случае это в p раз больше.)
Для простых чисел 1093 и 3511 было показано, что ни одно из них не является делителем любого числа Мерсенна с простым индексом или делителем любого числа Ферма, поскольку 364 и 1755 не являются ни простыми числами, ни степенями двойки [43].
Связь с другими уравнениями
Скотт и Стайер показали, что уравнение p x - 2 y = d имеет не более одного решения в натуральных числах ( x , y ), если только p 4 | 2 Ord р 2 - 1 , если р ≢ 65 ( по модулю 192) , или безоговорочно , когда р 2 | 2 ord p 2 - 1, где ord p 2 обозначает порядок умножения 2 по модулю p . [44] : 215, 217–218. Они также показали, что решение уравнения ± a x 1 ± 2 y 1 = ± a x 2 ± 2 y 2 = c должно происходить из конкретной системы уравнений, но это не выполняется, если a - простое число Вифериха больше 1,25 x 10 15 . [45] : 258
Двоичная периодичность p - 1
Джонсон заметил [46], что два известных простых числа Вифериха на единицу больше, чем числа с периодическими двоичными расширениями (1092 = 010001000100 2 = 444 16 ; 3510 = 110110110110 2 = 6666 8 ). В рамках проекта Wieferich @ Home проводился поиск простых чисел Вифериха путем тестирования чисел, которые на единицу больше числа с периодическим двоичным расширением, но до «битовой псевдодлины» 3500 тестируемых двоичных чисел, сгенерированных комбинацией битовых строк с длиной до 24 битов новое простое число Вифериха не обнаружено. [47]
Обилие p - 1
Было отмечено (последовательность A239875 в OEIS ), что известные простые числа Вифериха на единицу больше, чем взаимно дружественные числа (общий индекс численности равен 112/39).
Связь с псевдопреступниками
Было замечено, что два известных простых числа Вифериха являются квадратными множителями всех неквадратных псевдопростых чисел Ферма со свободным основанием 2 до 25 × 10 9 . [48] Более поздние вычисления показали, что единственными повторяющимися множителями псевдопростых чисел до 10 12 являются 1093 и 3511. [49] Кроме того, существует следующая связь:
- Пусть n - псевдопростое число с основанием 2, а p - простой делитель числа n . Если , то также . [31] : 378 Кроме того, если p - простое число Вифериха, то p 2 - каталонское псевдопростое число .
Связь с ориентированными графами
Для всех простых чисел р до 100000 , L ( р п +1 ) = л ( р п ) только в двух случаях: L (1093 2 ) = L (1093) = 364 и L (3511 2 ) = L (3511) = 1755 , где L ( m ) - количество вершин в цикле из 1 диаграммы удвоения по модулю m . Здесь диаграмма удвоения представляет ориентированный граф с неотрицательными целыми числами меньше m в качестве вершин и с направленными ребрами, идущими от каждой вершины x к вершине 2 x, приведенной по модулю m . [50] : 74 Было показано, что для всех нечетных простых чисел либо L ( p n +1 ) = p · L ( p n ), либо L ( p n +1 ) = L ( p n ) . [50] : 75
Было показано, что а также тогда и только тогда, когда 2 p - 1 ≢ 1 (mod p 2 ), где p нечетное простое число иявляется фундаментальным дискриминант мнимого квадратичного поля . Кроме того, было показано следующее: пусть p - простое число Вифериха. Если p ≡ 3 (mod 4) , пусть фундаментальный дискриминант мнимого квадратичного поля и если p ≡ 1 (mod 4) , пусть фундаментальный дискриминант мнимого квадратичного поля . потом а также ( χ и λ в данном контексте обозначают инварианты Ивасавы ). [51] : 27
Кроме того, был получен следующий результат: пусть q - нечетное простое число, k и p - простые числа такие, что p = 2 k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ −1 (mod q ), p ≢ - 1 (mod q 3 ), а порядок q по модулю k равен. Предположим, что q делит h + , номер класса действительного кругового поля , круговое поле, полученное путем присоединения суммы корня p -й степени из единицы и его обратной величины к полю рациональных чисел. Тогда q - простое число Вифериха. [52] : 55 Это также верно, если условия p ≡ −1 (mod q ) и p ≢ −1 (mod q 3 ) заменить на p ≡ −3 (mod q ) и p ≢ −3 (mod q 3 ). а также когда условие p ≡ −1 (mod q ) заменяется на p ≡ −5 (mod q ) (в этом случае q является простым числом Уолла – Солнца – Солнца ) и условие неконгруэнтности заменяется на p ≢ −5 ( mod q 3 ) . [53] : 376
Обобщения
Простые числа, близкие к Вифериху
Простое число p, удовлетворяющее сравнению 2 ( p −1) / 2 ≡ ± 1 + Ap (mod p 2 ) с малым | А | обычно называют простым числом, близким к Вифериху (последовательность A195988 в OEIS ). [28] [54] Простые числа Вифериха с A = 0 представляют простые числа Вифериха. Недавние поиски, в дополнение к их первичному поиску простых чисел Вифериха, также пытались найти почти простые числа Вифериха. [23] [55] В следующей таблице перечислены все почти простые числа Вифериха с | А | ≤ 10 в интервале [1 × 10 9 , 3 × 10 15 ]. [56] Эта граница поиска была достигнута в 2006 году в ходе поисковой работы П. Карлайла, Р. Крэндалла и М. Роденкирха. [22] [57] Большие записи сделаны PrimeGrid.
п | 1 или -1 | А |
---|---|---|
3520624567 | +1 | −6 |
46262476201 | +1 | +5 |
47004625957 | −1 | +1 |
58481216789 | −1 | +5 |
76843523891 | −1 | +1 |
1180032105761 | +1 | −6 |
12456646902457 | +1 | +2 |
134257821895921 | +1 | +10 |
339258218134349 | −1 | +2 |
2276306935816523 | −1 | −3 |
82687771042557349 | -1 | -10 |
3156824277937156367 | +1 | +7 |
Знак +1 или -1 выше можно легко предсказать с помощью критерия Эйлера (и второго дополнения к закону квадратичной взаимности ).
Дорайс и Клив [23] использовали другое определение простого числа, близкого к Вифериху, определяя его как простое число p с малым значением где представляет собой частное Ферма 2 по p по модулю p ( операция по модулю здесь дает вычет с наименьшим модулем). В следующей таблице перечислены все простые числа p ≤ 6,7 × 10 15 с.
п | ||
---|---|---|
1093 | 0 | 0 |
3511 | 0 | 0 |
2276306935816523 | +6 | 0,264 |
3167939147662997 | −17 | 0,537 |
3723113065138349 | −36 | 0,967 |
5131427559624857 | −36 | 0,702 |
5294488110626977 | −31 | 0,586 |
6517506365514181 | +58 | 0,890 |
Два понятия близости связаны следующим образом. Если, затем возведя в квадрат, ясно . Итак, если бы A был выбран с маленький, то ясно также (довольно) маленькое и четное число. Однако когдавыше нечетно, соответствующий A до последнего возведения в квадрат не был "маленьким". Например, с, у нас есть который читается крайне неблизко, но после возведения в квадрат это которая по второму определению близка к Вифериху.
База - простые числа Вифериха
Простое число вифериха База А является простым р , который удовлетворяет
- a p - 1 ≡ 1 (mod p 2 ) ., [8] где 'a' меньше 'p', но больше 1.
Такое простое число не может делить a , так как тогда оно также делит 1.
Это гипотеза, что для каждого натурального числа a существует бесконечно много простых чисел Вифериха в базе a .
Больяй показал , что если р и д простые числа, является положительным целым числом не делится на р и д такие , что р -1 ≡ 1 ( по модулю д ) , д -1 ≡ 1 ( по модулю р ) , то рд -1 ≡ 1 (mod pq ) . Установка р = Q приводит к в р 2 -1 ≡ 1 ( по модулю р 2 ) . [58] : 284 Было показано, что a p 2 −1 ≡ 1 (mod p 2 ) тогда и только тогда, когда a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) . [58] : 285–286
Известные решения a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) для малых значений a : [59] (проверено до 5 × 10 13 )
а простые числа p такие, что a p - 1 = 1 (mod p 2 ) Последовательность OEIS 1 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (все простые числа) A000040 2 1093, 3511, ... A001220 3 11, 1006003, ... A014127 4 1093, 3511, ... 5 2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ... A123692 6 66161, 534851, 3152573, ... A212583 7 5, 491531, ... A123693 8 3, 1093, 3511, ... 9 2, 11, 1006003, ... 10 3, 487, 56598313, ... A045616 11 71, ... 12 2693, 123653, ... A111027 13 2, 863, 1747591, ... A128667 14 29, 353, 7596952219, ... A234810 15 29131, 119327070011, ... A242741 16 1093, 3511, ... 17 2, 3, 46021, 48947, 478225523351, ... A128668 18 5, 7, 37, 331, 33923, 1284043, ... A244260 19 3, 7, 13, 43, 137, 63061489, ... A090968 20 281, 46457, 9377747, 122959073, ... A242982 21 год 2, ... 22 13, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159, ... A298951 23 13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329, ... A128669 24 5, 25633, ... 25 2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801, ... 26 год 3, 5, 71, 486999673, 6695256707, ... A306255 27 11, 1006003, ... 28 год 3, 19, 23, ... 29 2, ... 30 7, 160541, 94727075783, ... A306256 31 год 7, 79, 6451, 2806861, ... A331424 32 5, 1093, 3511, ... 33 2, 233, 47441, 9639595369, ... 34 46145917691, ... 35 год 3, 1613, 3571, ... 36 66161, 534851, 3152573, ... 37 2, 3, 77867, 76407520781, ... A331426 38 17, 127, ... 39 8039, ... 40 11, 17, 307, 66431, 7036306088681, ... 41 год 2, 29, 1025273, 138200401, ... A331427 42 23, 719867822369, ... 43 год 5, 103, 13368932516573, ... 44 год 3, 229, 5851, ... 45 2, 1283, 131759, 157635607, ... 46 3, 829, ... 47 ... 48 7, 257, ... 49 2, 5, 491531, ... 50 7, ...
Для получения дополнительной информации см. [60] [61] [62] и. [63] (Обратите внимание, что решения a = b k - это объединение простых делителей k, которое не делит b, и решений a = b )
Наименьшие решения n p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) :
- 2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (Следующий член> 4.9 × 10 13 ) (последовательность A039951 в OEIS )
Нет известных решений n p −1 1 (mod p 2 ) для n = 47, 72, 186, 187, 200, 203, 222, 231, 304, 311, 335, 355, 435, 454, 546, 554, 610, 639, 662, 760, 772, 798, 808, 812, 858, 860, 871, 983, 986, 1002, 1023, 1130, 1136, 1138, ....
Это гипотеза , что существует бесконечное множество решений в р -1 ≡ 1 ( по модулю р 2 ) для любого натурального числа а .
Базисы b < p 2, которые p является простым числом Вифериха, являются (при b > p 2 решения просто сдвигаются на k · p 2 при k > 0), и существует p - 1 решений < p 2 числа p и множество решений конгруэнтных к р являются {1, 2, 3, ..., р - 1}) (последовательность A143548 в OEIS )
п значения b < p 2 2 1 3 1, 8 5 1, 7, 18, 24 7 1, 18, 19, 30, 31, 48 11 1, 3, 9, 27, 40, 81, 94, 112, 118, 120 13 1, 19, 22, 23, 70, 80, 89, 99, 146, 147, 150, 168 17 1, 38, 40, 65, 75, 110, 131, 134, 155, 158, 179, 214, 224, 249, 251, 288 19 1, 28, 54, 62, 68, 69, 99, 116, 127, 234, 245, 262, 292, 293, 299, 307, 333, 360 23 1, 28, 42, 63, 118, 130, 170, 177, 195, 255, 263, 266, 274, 334, 352, 359, 399, 411, 466, 487, 501, 528 29 1, 14, 41, 60, 63, 137, 190, 196, 221, 236, 267, 270, 374, 416, 425, 467, 571, 574, 605, 620, 645, 651, 704, 778, 781, 800, 827, 840
Наименьшая база b > 1, у которой простое число ( n ) является простым числом Вифериха,
- 5, 8, 7, 18, 3, 19, 38, 28, 28, 14, 115, 18, 51, 19, 53, 338, 53, 264, 143, 11, 306, 31, 99, 184, 53, 181, 43, 164, 96, 68, 38, 58, 19, 328, 313, 78, 226, 65, 253, 259, 532, 78, 176, 276, 143, 174, 165, 69, 330, 44, 33, 332, 94, 263, 48, 79, 171, 747, 731, 20, ... (последовательность A039678 в OEIS )
Можно также рассмотреть формулу , (в силу обобщенной малой теоремы Ферма верно для всех простых p и всех натуральных чисел a таких, что a и a + 1 не делятся на p ). Это предположение, что для любого натурального числа a существует бесконечно много таких простых чисел, что.
Известные решения для малого a : (проверено до 4 × 10 11 ) [64]
простые числа такой, что 1 1093, 3511, ... 2 23, 3842760169, 41975417117, ... 3 5, 250829, ... 4 3, 67, ... 5 3457, 893122907, ... 6 72673, 1108905403, 2375385997, ... 7 13, 819381943, ... 8 67, 139, 499, 26325777341, ... 9 67, 887, 9257, 83449, 111539, 31832131, ... 10 ... 11 107, 4637, 239357, ... 12 5, 11, 51563, 363901, 224189011, ... 13 3, ... 14 11, 5749, 17733170113, 140328785783, ... 15 292381, ... 16 4157, ... 17 751, 46070159, ... 18 7, 142671309349, ... 19 17, 269, ... 20 29, 162703, ... 21 год 5, 2711, 104651, 112922981, 331325567, 13315963127, ... 22 3, 7, 13, 94447, 1198427, 23536243, ... 23 43, 179, 1637, 69073, ... 24 7, 353, 402153391, ... 25 43, 5399, 21107, 35879, ... 26 год 7, 131, 653, 5237, 97003, ... 27 2437, 1704732131, ... 28 год 5, 617, 677, 2273, 16243697, ... 29 73, 101, 6217, ... 30 7, 11, 23, 3301, 48589, 549667, ... 31 год 3, 41, 416797, ... 32 95989, 2276682269, ... 33 139, 1341678275933, ... 34 83, 139, ... 35 год ... 36 107, 137, 613, 2423, 74304856177, ... 37 5, ... 38 167, 2039, ... 39 659, 9413, ... 40 3, 23, 21029249, ... 41 год 31, 71, 1934399021, 474528373843, ... 42 4639, 1672609, ... 43 год 31, 4962186419, ... 44 год 36677, 17786501, ... 45 241, 26120375473, ... 46 5, 13877, ... 47 13, 311, 797, 906165497, ... 48 ... 49 3, 13, 2141, 281833, 1703287, 4805298913, ... 50 2953, 22409, 99241, 5427425917, ...
Пары Вифериха
Пара виферих является парой простых чисел р и д , которые удовлетворяют условие
- p q - 1 ≡ 1 (mod q 2 ) и q p - 1 ≡ 1 (mod p 2 )
так что простое число Вифериха p ≡ 1 (mod 4) образует такую пару ( p , 2): единственный известный пример в этом случае - p = 1093 . Известно всего 7 пар Вифериха. [65]
- (2, 1093), (3, 1006003), (5, 1645333507), (5, 188748146801), (83, 4871), (911, 318917) и (2903, 18787) (последовательность OEIS : A282293 в OEIS )
Последовательность Вифериха
Начните с a (1) любого натурального числа (> 1), a ( n ) = наименьшее простое число p такое, что (a ( n - 1)) p - 1 = 1 (mod p 2 ), но p 2 не делит a ( n - 1) - 1 или a ( n - 1) + 1. (Если p 2 делит a ( n - 1) - 1 или a ( n - 1) + 1, то решение является тривиальным решением ) Это гипотеза о том, что каждое натуральное число k = a (1)> 1 делает эту последовательность периодической, например, пусть a (1) = 2:
- 2, 1093, 5, 20771, 18043, 5, 20771, 18043, 5, ..., он получает цикл: {5, 20771, 18043}.
Пусть a (1) = 83:
- 83, 4871, 83, 4871, 83, 4871, 83, ..., он получает цикл: {83, 4871}.
Пусть a (1) = 59 (более длинная последовательность):
- 59, 2777, 133287067, 13, 863, 7, 5, 20771, 18043, 5, ..., он также получает 5.
Однако есть много значений a (1) с неизвестным статусом, например, пусть a (1) = 3:
- 3, 11, 71, 47,? (Нет известных простых чисел Вифериха в базе 47).
Пусть a (1) = 14:
- 14, 29,? (Нет известных простых чисел Вифериха в основании 29, кроме 2, но 2 2 = 4 делит 29 - 1 = 28)
Пусть a (1) = 39 (более длинная последовательность):
- 39, 8039, 617, 101, 1050139, 29,? (Также получает 29)
Неизвестно, существуют ли такие значения для a (1)> 1, что результирующая последовательность в конечном итоге не станет периодической.
Когда a ( n - 1) = k , a ( n ) будет (начиная с k = 2): 1093, 11, 1093, 20771, 66161, 5, 1093, 11, 487, 71, 2693, 863, 29, 29131, 1093, 46021, 5, 7, 281,?, 13, 13, 25633, 20771, 71, 11, 19,?, 7, 7, 5, 233, 46145917691, 1613, 66161, 77867, 17, 8039, 11, 29, 23, 5, 229, 1283, 829,?, 257, 491531,?, ... (Для k = 21, 29, 47, 50 даже следующее значение неизвестно)
Числа Вифериха
Номер Wieferich нечетное натуральное число п , удовлетворяющее конгруэнтность 2 ф ( п ) ≡ 1 ( по модулю п 2 ), где φ обозначает Функция Эйлера (согласно теореме Эйлера , 2 φ ( п ) ≡ 1 ( по модулю п ) для каждое нечетное натуральное число n ). Если число Вифериха n простое, то это простое число Вифериха. Первые несколько чисел Вифериха:
- 1, 1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, 52665, 68859, 94797, 99463, ... (последовательность A077816 в OEIS )
Можно показать, что если существует только конечное число простых чисел Вифериха, то имеется только конечное число чисел Вифериха. В частности, если единственными простыми числами Вифериха являются 1093 и 3511, то существует ровно 104 числа Вифериха, что соответствует числу известных в настоящее время чисел Вифериха. [2]
В более общем смысле , натуральное число п является число Wieferich к базовой а , если φ ( п ) ≡ 1 ( по модулю п 2 ). [66] : 31
Другое определение определяет число Вифериха как нечетное натуральное число n такое, что n ине взаимно просты , где m - мультипликативный порядок 2 по модулю n . Первые из этих чисел: [67]
- 21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, 195, 201, 203, 205, 219, 231, 237, 253, 273, 285, 291, 301, 305, 309, 327, 333, 355, 357, 385, 399, ... (последовательность A182297 в OEIS )
Как и выше, если число Вифериха q простое, то оно является простым числом Вифериха.
Слабое простое число Вифериха
Слабое простое число Вифериха для базы a - это простое число p, удовлетворяющее условию
- a p ≡ a (mod p 2 )
Каждое простое число Вифериха с базой a также является слабым простым числом Вифериха с базой a . Если база a не содержит квадратов , то простое число p является слабым простым числом Вифериха для базы a тогда и только тогда, когда p является простым числом Вифериха для базы a .
Наименьшие слабые простые числа Вифериха с основанием n равны (начинаются с n = 0)
- 2, 2, 1093, 11, 2, 2, 66161, 5, 2, 2, 3, 71, 2, 2, 29, 29131, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 13, 13, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 7, 7, 2, 2, 46145917691, 3, 2, 2, 17, 8039, 2, 2, 23, 5, 2, 2, 3, ...
Простое число Вифериха с порядком n
Для целого n ≥2 простое число Вифериха с базой a с порядком n является простым числом p, удовлетворяющим условию
- a p −1 ≡ 1 (mod p n )
Ясно, что простое число Вифериха для основания a с порядком n также является простым числом Вифериха для основания a с порядком m для всех 2 ≤ m ≤ n , а простое число Вифериха для основания a с порядком 2 эквивалентно простому числу Вифериха для основания a , поэтому можно рассматривать только случай n ≥ 3. Однако нет известных простых чисел Вифериха с основанием 2 с порядком 3. Первая база с известным простым числом Вифериха с порядком 3 равна 9, где 2 - простое число Вифериха с основанием 9 с порядком 3. Кроме того, и 5, и 113 являются простыми числами Вифериха. к базе 68 с порядком 3.
Простые числа Лукаса – Вифериха
Пусть P и Q - целые числа. Последовательность Люка первого рода, ассоциированная с парой ( P , Q ), определяется формулой
для всех . Премьер Лукас-Wieferich связан с ( P , Q ) представляет собой простой р таким , что U р - ε ( P , Q ) ≡ 0 ( по модулю р 2 ), где ε равна символа Лежандра . Все простые числа Вифериха являются простыми числами Люка – Вифериха, ассоциированными с парой (3, 2). [3] : 2088
Простые числа Фибоначчи – Вифериха
Пусть Q = −1. Для любого натурального числа Р , Лукас-простое число вифериха , связанный с ( Р , -1), называются Р простых чисел -Fibonacci-Wieferich или Р - Тет-ВС-Sun простых чисел . Если P = 1, они называются простыми числами Фибоначчи – Вифериха . Если P = 2, они называются простыми числами Пелля – Вифериха .
Например, 241 - это простое число Люка – Вифериха, связанное с (3, −1), поэтому это простое число Фибоначчи – Вифериха или 3-Уолла – Солнца – Солнца. Фактически, 3 является P -простым числом Фибоначчи – Вифериха тогда и только тогда, когда P конгруэнтно 0, 4 или 5 (по модулю 9), [ цитата необходима ], что аналогично утверждению для традиционных простых чисел Вифериха о том, что 3 является базовым числом. n Простое число Вифериха тогда и только тогда, когда n конгруэнтно 1 или 8 (mod 9).
Виферих места
Пусть K будет глобальным полем , т.е. числовым полем или функциональным полем от одной переменной над конечным полем, и пусть E будет эллиптической кривой . Если v является неархимедово место по норме д V из К и Е К, с V ( ) = 0 , то v (а д v - 1 - 1) ≥ 1. V называется место Wieferich для базовой а , если v (a q v - 1 - 1) > 1, эллиптическая точка Вифериха для базы P ∈ E , если N v P ∈ E 2, и сильная эллиптическая точка Вифериха для базы P ∈ E, если n v P ∈ E 2 , где п v является порядок P по модулю V и N V дает число рациональных точек (над полем вычетов из V ) редукции Е на V . [68] : 206
Смотрите также
- Простое число Стена – Солнце – Солнце - еще один тип простых чисел, который в самом широком смысле также возник в результате исследования FLT.
- Простое число Вольстенхолма - еще один тип простых чисел, который в самом широком смысле также возник в результате изучения FLT.
- Уилсон прайм
- Таблица сравнений - перечисляет другие сравнения, которым удовлетворяют простые числа.
- PrimeGrid - проект поиска простых чисел
- BOINC
- Распределенных вычислений
Рекомендации
- ^ Franco, Z .; Померанс, К. (1995), "О гипотезе Крэндалла относительно проблемы qx + 1" (PDF) , Математика вычислений , 64 (211): 1333–36, Bibcode : 1995MaCom..64.1333F , doi : 10.2307 / 2153499 , JSTOR 2153499 .
- ^ а б Банки, WD; Luca, F .; Шпарлинский, IE (2007), "Оценка чисел Wieferich" (PDF) , Ramanujan Journal , 14 (3): 361-378, DOI : 10.1007 / s11139-007-9030-г , S2CID 39279379 .
- ^ а б Макинтош, Р.Дж.; Roettger, EL (2007), «Поиск простых чисел Фибоначчи – Вифериха и Вольстенхольма» (PDF) , Математика вычислений , 76 (260): 2087–2094, Bibcode : 2007MaCom..76.2087M , CiteSeerX 10.1.1.105.9393 , DOI : 10.1090 / S0025-5718-07-01955-2
- ^ Глоссарий Prime: прайм Виферих
- ^ Израиль Клейнер (2000), "От Ферма до Уайлс: Великая теорема Ферма Становится теорема", Elemente дер Mathematik , 55 : 21, DOI : 10.1007 / PL00000079 , S2CID 53319514 .
- ^ Леонард Эйлер (1736 г.), «Теоретический кворундам ad numeros primos spectantium демонстрация» (PDF) , Novi Comm. Акад. Sci. Петрополь. (на латыни), 8 : 33–37.
- ^ Dickson, LE (1917), "Великая теорема Ферма Происхождение и природа теории алгебраических чисел", Анналы математики , 18 (4): 161-187, DOI : 10,2307 / 2007234 , JSTOR 2007234
- ^ а б Уилфрид Келлер; Йорг Richstein (2005), "решений сравнения р -1 ≡ 1 ( по модулю р г ) " (PDF) , Математика вычислений , 74 (250): 927-936, DOI : 10.1090 / S0025-5718-04- 01666-7 .
- ^ Мейер, W. Fr. (1902). "Ergänzungen zum Fermatschen und Wilsonschen Satze" . Arch. Математика. Physik . 3. 2 : 141–146 . Проверено 2 сентября 2020 .
- ^ а б Wieferich, A. (1909), "Zum letzten Fermat'schen теоремы" , Journal für фильеры Reine унд Angewandte Mathematik (на немецком языке ), 1909 (136): 293-302, DOI : 10,1515 / crll.1909.136.293 , S2CID 118715277 .
- ^ Бахманн, П. (1913). "Über den Rest von 2 п - 1 - 1 п мод п {\ displaystyle {\ tfrac {2 ^ {p-1} -1} {p}} \, {\ bmod {\,}} p} " . Journal für Mathematik (на немецком языке). 142 (1): 41–50.
- ^ а б Meissner, W. (1913), "Uber die Teilbarkeit von 2 p - 2 durch das Quadrat der Primzahl p = 1093" (PDF) , Sitzungsber. Д. Кёнигл. Preuss. Акад. Д. Висс. (на немецком языке), Берлин, Zweiter Halbband. Июль бис, декабрь: 663–667
- ^ Haentzschel, E. (1916), «Über die Kongruenz 2 1092 1 (mod 1093 2 )» , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 25 : 284
- ^ Haentzschel, E. (1925), «Über die Kongruenz 2 1092 1 (mod 1093 2 )» , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 34 : 184
- ^ Ribenboim, P. (1983), "1093", Математическая Интеллидженсер , 5 (2): 28-34, DOI : 10.1007 / BF03023623
- ^ Бигер, NGWH (1922), «О новом случае сравнения 2 p - 1 1 (mod p 2 )» , Вестник математики , 51 : 149–150
- ^ Гай, RK (1965), "Свойство премьер - 3511", Математическая газета , 49 (367): 78-79, DOI : 10,2307 / 3614249 , JSTOR 3614249
- ^ Кравиц, С. (1960). «Сравнение 2 p -1 1 (mod p 2 ) для p <100 000» (PDF) . Математика вычислений . 14 (72): 378. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1960-0121334-7 .
- ^ Фрёберг CE (1958). "Некоторые вычисления остатков Вильсона и Ферма" (PDF) . Математика вычислений . 12 (64): 281. DOI : 10.1090 / S0025-5718-58-99270-6 .
- ^ Ризель, Х. (1964). «Замечание о сравнении a p −1 1 (mod p 2 )» (PDF) . Математика вычислений . 18 (85): 149–150. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1964-0157928-6 .
- ^ Лемер, Д.Х. (1981). «По коэффициенту Ферма, основание два» (PDF) . Математика вычислений . 36 (153): 289–290. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1981-0595064-5 .
- ^ а б Рибенбойм, Пауло (2004), Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (на немецком языке), Нью-Йорк: Springer, стр. 237, ISBN 978-3-540-34283-0
- ^ а б в Dorais, FG; Кливе, Д. (2011). «Поиск простых чисел Вифериха до 6,7 × 10 15 » (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 14 (9). Zbl 1278.11003 . Проверено 23 октября 2011 .
- ^ "статистика" . elMath.org . 2016-09-02. Архивировано из оригинала на 2016-09-02 . Проверено 18 сентября 2019 .
- ^ «WSS и WFS приостановлены» . Доска объявлений PrimeGrid . 11 мая 2017 года.
- ^ "Доски объявлений: Wieferich и Wall-Sun-Sun Prime Search" . PrimeGrid .
- ^ «Статистика WW» . PrimeGrid .
- ^ а б Crandall, Ричард Э .; Дилчер, Карл; Померанс, Карл (1997), "Поиски Wieferich и Вильсона простых чисел" (PDF) , Математика вычислений , 66 (217): 433-449, Bibcode : 1997MaCom..66..433C , DOI : 10,1090 / S0025-5718 -97-00791-6 .
- ^ Копперсмит, Д. (1990), «Последняя теорема Ферма (случай I) и критерий Вифериха» (PDF) , Математика вычислений , 54 (190): 895–902, Bibcode : 1990MaCom..54..895C , doi : 10.1090 / s0025-5718-1990-1010598-2 , JSTOR 2008518 .
- ^ Cikánek, P. (1994), "Специальное Расширение критерия Wieferich в" (PDF) , математики вычислений , 62 (206): 923-930, Bibcode : 1994MaCom..62..923C , DOI : 10,2307 / 2153550 , JSTOR 3562296 .
- ^ а б Дилчер, К .; Скула, Л. (1995), «Новый критерий для первого случая последней теоремы Ферма» (PDF) , Математика вычислений , 64 (209): 363–392, Bibcode : 1995MaCom..64..363D , doi : 10.1090 / s0025-5718-1995-1248969-6 , JSTOR 2153341
- ^ Мириманофф Д. (1910), "Sur le dernier théorème de Fermat", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (на французском языке), 150 : 204–206.
- ^ а б в г Granville, A .; Монаган, MB (1988), «Первый случай Ферма Последняя теорема верна для всех простых показателей до 714,591,416,091,389», Труды Американского математического общества , 306 (1): 329-359, DOI : 10,1090 / S0002-9947- 1988-0927694-5 .
- ^ Suzuki, Дзиро (1994), "Об обобщенных критериев Wieferich" , Труды Японской академии, Серия А , 70 (7): 230-234, DOI : 10,3792 / pjaa.70.230
- ^ Чарльз, Д.X. "О простых числах Вифериха" (PDF) . wisc.edu .
- ^ Сильверман, Дж. Х. (1988), «Критерий Вифериха и abc-гипотеза», Журнал теории чисел , 30 (2): 226–237, DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90019-4
- ^ а б DeKoninck, J.-M .; Дойон, Н. (2007), "О множестве простых чисел Вифериха и его дополнении" (PDF) , Annales Univ. Sci. Будапешт, разд. Комп. , 27 : 3–13
- ^ Броуган, К. (2006), "Расслабление гипотезы ABC с использованием корней k -й степени целого числа " (PDF) , New Zealand J. Math. , 35 (2): 121–136
- ^ Рибенбойм, П. (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. п. 154. ISBN 978-0-387-90432-0.
- ^ Простые числа Мерсенна: предположения и нерешенные проблемы
- ^ Роткевич, А. (1965). "Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n 2 | 2 n - 2 " . Мат. Весник (на французском). 2 (17): 78–80.
- ^ Рибенбойм, Пауло (1991), Маленькая книга больших простых чисел , Нью-Йорк: Спрингер, стр. 64, ISBN 978-0-387-97508-5
- ^ Брей, HG; Уоррен, LJ (1967), "О квадратичности чисел Ферма и Мерсенна" , Pacific J. Math. , 22 (3): 563-564, DOI : 10,2140 / pjm.1967.22.563 , МР 0220666 , Zbl +0149,28204
- ^ Scott, R .; Стайер, Р. (апрель 2004 г.). «На p x - q y = c и связанных трехчленных экспоненциальных диофантовых уравнений с простыми основаниями» . Журнал теории чисел . 105 (2): 212–234. DOI : 10.1016 / j.jnt.2003.11.008 .
- ^ Scott, R .; Стайер, Р. (2006). «Об обобщенном уравнении Пиллаи ± a x ± b y = c ». Журнал теории чисел . 118 (2): 236–265. DOI : 10.1016 / j.jnt.2005.09.001 .
- ^ Уэллс Джонсон (1977), "О ненулевых частных факторах Ферма (mod p ) " , J. Reine Angew. Математика. , 292 : 196–200
- ^ Добеш, Ян; Куреш, Мирослав (2010). «Поиск простых чисел Вифериха с помощью периодических двоичных строк» . Сердика Журнал вычислительной техники . 4 : 293–300. Zbl 1246.11019 .
- ^ Рибенбойм, П. (2004). «Глава 2. Как распознать, является ли натуральное число простым» (PDF) . Маленькая книга больших простых чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 99. ISBN 978-0-387-20169-6.
- ^ Пинч, РГЭ (2000). Псевдопреступности до 10 13 . Конспект лекций по информатике. 1838 . С. 459–473. DOI : 10.1007 / 10722028_30 . ISBN 978-3-540-67695-9.
- ^ а б Эрлих, А. (1994), "Циклы в диаграммах удвоения mod m" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 32 (1): 74–78.
- ^ Бён, Д. (2006), «Числа классов, инварианты Ивасавы и модульные формы» (PDF) , Trends in Mathematics , 9 (1): 25–29
- ^ Jakubec, С. (1995), "Связь между конгруэнцией Wieferich и делимостью ч + " (PDF) , Acta Арифметика , 71 (1): 55-64, DOI : 10,4064 / аа-71-1-55-64
- ^ Jakubec, S. (1998), "О делимости числа классов ч + реальных круговых полей простой степени л" (PDF) , Математика вычислений , 67 (221): 369-398, DOI : 10,1090 / s0025- 5718-98-00916-8
- ^ Джошуа Кнауэр; Йорг Ричштейн (2005), «Продолжающийся поиск простых чисел Вифериха» (PDF) , Математика вычислений , 74 (251): 1559–1563, Bibcode : 2005MaCom..74.1559K , doi : 10.1090 / S0025-5718-05-01723 -0 .
- ^ О проекте Wieferich @ Home
- ^ PrimeGrid, Виферих и близкие к Вифериху простые числа p <11e15
- ^ Рибенбойм, Пауло (2000), Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел , Нью-Йорк: Спрингер, стр. 213–229, ISBN 978-0-387-98911-2
- ^ а б Поцелуй, E .; Шандор, Дж. (2004). «О совпадении Яноша Бойяи, связанном с псевдопреступниками» (PDF) . Mathematica Pannonica . 15 (2): 283–288.
- ^ Коэффициент Ферма в The Prime Glossary
- ^ «Простые числа Вифериха с основанием 1052» .
- ^ «Простые числа Вифериха с основанием 10125» .
- ^ «Факторы Ферма q p ( a ), которые делятся на p » . www1.uni-hamburg.de . 2014-08-09. Архивировано из оригинала на 2014-08-09 . Проверено 18 сентября 2019 .
- ^ «Простые числа Вифериха с уровнем ≥ 3» .
- ^ «Решение ( a + 1) p −1 - a p −1 ≡ 0 (mod p 2 ) » .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Двойная простая пара Вифериха" . MathWorld .
- ^ Agoh, T .; Дилчер, К .; Скула, Л. (1997), "Частные Ферма для композитных модулей", журнал теории чисел , 66 (1): 29-50, DOI : 10.1006 / jnth.1997.2162
- ^ Мюллер, Х. (2009). "Über Periodenlängen und die Vermutungen von Collatz und Crandall" . Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft в Гамбурге (на немецком языке). 28 : 121–130.
- ^ Voloch, JF (2000), "Эллиптические простое число вифериха", Журнал теории чисел , 81 (2): 205-209, DOI : 10,1006 / jnth.1999.2471
дальнейшее чтение
- Haussner, R. (1926), "Über die Kongruenzen 2 p −1 - 1 ≡ 0 (mod p 2 ) für die Primzahlen p = 1093 und 3511" , Archiv for Mathematik og Naturvidenskab (на немецком языке), 39 (5): 7, СУЛ 52.0141.06 , DNB 363953469
- Haussner, R. (1927), "Über numerische Lösungen der Kongruenz u p −1 - 1 ≡ 0 (mod p 2 )" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1927 (156): 223–226, DOI : 10,1515 / crll.1927.156.223 , S2CID 117969297
- Рибенбойм П. (1979), Тринадцать лекций о Великой теореме Ферма , Springer-Verlag , стр. 139, 151, ISBN 978-0-387-90432-0
- Гай, Ричард К. (2004), Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , стр. 14, ISBN 978-0-387-20860-2
- Crandall, RE; Померанс, К. (2005), Простые числа: вычислительная перспектива (PDF) , Springer Science + Business Media, стр. 31–32, ISBN 978-0-387-25282-7
- Рибенбойм, П. (1996), Новая книга рекордов простых чисел , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 333–346, ISBN. 978-0-387-94457-9
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Прайм Вифериха" . MathWorld .
- Факторы Ферма / Эйлера ( a p −1 - 1) / p k с произвольным k
- Заметка о двух известных простых числах Вифериха
- Страница проекта PrimeGrid Wieferich Prime Search