В теории чисел , Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотеза Ферма , особенно в старых текстах) заявляет , что ни один из трех положительных чисел , Ь , и Ĉ удовлетворяют уравнению с п + б п = с п для любого целого значения п больше , чем 2 Случаи n = 1 и n = 2 были известны с древних времен и имели бесконечно много решений. [1]
Поле | Теория чисел |
---|---|
Заявление | Для любого целого n > 2 уравнение a n + b n = c n не имеет положительных целочисленных решений. |
Впервые заявлено | Пьер де Ферма |
Впервые указано в | c. 1637 |
Первое доказательство | Эндрю Уайлс |
Первое доказательство в | Год выпуска 1994 Опубликовано в 1995 г. |
Подразумевается | |
Обобщения |
Предложение было впервые сформулировано как теорема Пьером де Ферма около 1637 г. на полях экземпляра « Арифметики» ; Ферма добавил, что у него есть доказательство, которое слишком велико, чтобы поместиться на полях. Хотя другие утверждения, требуемые Ферма без доказательства, были впоследствии доказаны другими и считались теоремами Ферма (например, теорема Ферма о суммах двух квадратов ), Великая теорема Ферма сопротивлялась доказательству, вызывая сомнения в том, что Ферма когда-либо имел правильное доказательство, и это стали называться скорее гипотезой , чем теоремой. После 358 лет усилий математиков первое успешное доказательство было выпущено в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году; он был описан как «потрясающий прорыв» в цитировании премии Уайлса Абеля в 2016 году. [2] Он также доказал большую часть теоремы модульности и открыл совершенно новые подходы к множеству других проблем и математически мощным методам подъема модульности .
Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в XIX веке и доказательство теоремы модульности в XX веке. Это одна из самых известных теорем в истории математики, и до ее доказательства она была в Книге рекордов Гиннеса как «самая сложная математическая проблема» отчасти потому, что у этой теоремы наибольшее количество неудачных доказательств. [3]
Обзор
Пифагорейское происхождение
Пифагора уравнение , х 2 + у 2 = г 2 , имеет бесконечное число положительных целых решений для х , у и г ; эти решения известны как тройки Пифагора (с простейшим примером 3,4,5). Примерно в 1637 году Ферма написал на полях книги, что более общее уравнение a n + b n = c n не имеет решений в натуральных числах, если n - целое число больше 2. Хотя он утверждал, что имеет общее доказательство своей гипотезы. , Ферма не оставил подробностей своего доказательства, и никаких доказательств им так и не было найдено. Его заявление было обнаружено примерно через 30 лет после его смерти. Это утверждение, получившее название Великой теоремы Ферма , оставалось нерешенным в течение следующих трех с половиной столетий. [4]
Это утверждение в конечном итоге стало одной из самых заметных нерешенных проблем математики. Попытки доказать это вызвали существенное развитие теории чисел , и со временем Великая теорема Ферма получила известность как нерешенная проблема в математике .
Последующие разработки и решение
Частный случай n = 4 , доказанный самим Ферма, достаточен для того, чтобы установить, что если теорема неверна для некоторого показателя n , не являющегося простым числом , она также должна быть ложной для некоторого меньшего n , поэтому нужны только простые значения n. дальнейшее расследование. [примечание 1] В течение следующих двух столетий (1637–1839) гипотеза была доказана только для простых чисел 3, 5 и 7, хотя Софи Жермен ввела новшества и доказала подход, который имел отношение ко всему классу простых чисел. В середине 19-го века Эрнст Куммер расширил это и доказал теорему для всех регулярных простых чисел , оставив нерегулярные простые числа анализировать индивидуально. Основываясь на работе Куммера и используя сложные компьютерные исследования, другие математики смогли расширить доказательство, чтобы охватить все простые экспоненты до четырех миллионов, но доказательство для всех показателей было недоступно (это означало, что математики обычно считали доказательство невозможным, чрезвычайно сложным или недостижимо с текущими знаниями). [5]
Примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма подозревали, что существует связь между эллиптическими кривыми и модульными формами , двумя совершенно разными областями математики. Известная в то время как гипотеза Таниямы – Шимуры (в конце концов, как теорема модулярности), она стояла сама по себе, без видимой связи с Великой теоремой Ферма. Многие считали это значимым и важным само по себе, но (как и теорема Ферма) считалось полностью недоступным для доказательства. [6]
В 1984 году Герхард Фрей заметил очевидную связь между этими двумя ранее не связанными и нерешенными проблемами. План, предполагающий, что это можно доказать, дал Фрей. Полное доказательство того, что две проблемы тесно связаны между собой, было выполнено в 1986 году Кеном Рибетом на основе частичного доказательства Жан-Пьера Серра , который доказал все, кроме одной части, известной как «эпсилон-гипотеза» (см .: Теорема Рибета и кривая Фрея. ). [2] Эти работы Фрея, Серра и Рибета показали, что если гипотеза Таниямы – Шимуры может быть доказана, по крайней мере, для полустабильного класса эллиптических кривых, доказательство Великой теоремы Ферма также последует автоматически. Связь описывается ниже : любое решение, которое может противоречить Великой теореме Ферма, также может быть использовано для противоречия гипотезе Таниямы – Шимуры. Таким образом, если бы теорема модульности оказалась истинной, то по определению не могло бы существовать никакого решения, противоречащего Великой теореме Ферма, которое, следовательно, также должно было бы быть истинным.
Хотя обе проблемы были устрашающими и в то время широко считались «полностью недоступными» для доказательства [2], это было первое предложение пути, с помощью которого Великая теорема Ферма могла быть расширена и доказана для всех чисел, а не только для некоторых чисел. В отличие от Великой теоремы Ферма, гипотеза Таниямы – Шимуры была основной активной областью исследований и рассматривалась как более доступная для современной математики. [7] Однако общее мнение заключалось в том, что это просто показало непрактичность доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры. [8] Процитированная реакция математика Джона Коутса была обычной: [8]
- «Я сам очень скептически относился к тому, что прекрасная связь между Великой теоремой Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры на самом деле приведет к чему-либо, потому что я должен признаться, что не думал, что гипотеза Таниямы-Шимуры доступна для доказательства. Хотя эта проблема была прекрасна , это казалось невозможным на самом деле доказать. Должен признаться, я думал, что, вероятно, не увижу, как это доказано при моей жизни ».
Услышав, что Рибет доказал правильность связи Фрея, английский математик Эндрю Уайлс , который в детстве увлекался Великой теоремой Ферма и имел опыт работы с эллиптическими кривыми и родственными полями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры следующим образом: способ доказать Великую теорему Ферма. В 1993 году, после шести лет тайной работы над проблемой, Уайлсу удалось доказать достаточно гипотезы, чтобы доказать Великую теорему Ферма. Бумага Уайлса была огромной по размеру и размеру. В ходе рецензирования в одной части его оригинальной статьи был обнаружен недостаток , для устранения которого потребовался еще год и сотрудничество с бывшим студентом Ричардом Тейлором . В результате окончательное доказательство в 1995 г. сопровождалось небольшим совместным документом, показывающим, что фиксированные шаги действительны. Достижение Уайлса широко освещалось в популярной прессе и было популяризировано в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Таниямы – Шимуры – Вейля, которая теперь доказана и известна как теорема модулярности, были впоследствии доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса между 1996 и 2001 годами. [9] [10] [11] Для его доказательства. Уайлс был отмечен и получил множество наград, в том числе премию Абеля за 2016 год . [12] [13] [14]
Эквивалентные утверждения теоремы
Есть несколько альтернативных способов сформулировать Великую теорему Ферма, которые математически эквивалентны исходной постановке проблемы.
Чтобы сформулировать их, мы используем математические обозначения: пусть N - множество натуральных чисел 1, 2, 3, ..., пусть Z - множество целых чисел 0, ± 1, ± 2, ..., и пусть Q - множество рациональных чисел a / b , где a и b лежат в Z, причем b ≠ 0 . В дальнейшем мы будем называть решение x n + y n = z n, где одно или несколько из x , y или z равны нулю, тривиальным решением . Решение, в котором все три отличны от нуля, будет называться нетривиальным решением.
Для сравнения начнем с исходной формулировки.
- Оригинальное заявление. При n , x , y , z ∈ N (то есть n , x , y , z - все положительные целые числа) и n > 2 уравнение x n + y n = z n не имеет решений.
Так говорится в наиболее популярных трактовках этого предмета. Также обычно говорят над Z [15] :
- Эквивалентное утверждение 1: х п + у п = г п , где целое число п ≥ 3, не имеет нетривиальных решений х , у , г ∈ Z .
Эквивалентность очевидна, если n четно. Если п нечетно и все три из х , у , г отрицательны, то можно заменить х , Y , Z с - х , - у , - г для получения раствора в N . Если два из них отрицательны, это должны быть x и z или y и z . Если x , z отрицательны, а y положительны, то мы можем перегруппировать, чтобы получить (- z ) n + y n = (- x ) n, что приведет к решению в N ; второй случай рассматривается аналогично. Теперь, если только один отрицательный, это должно быть x или y . Если x отрицательно, а y и z положительны, то его можно переставить так, чтобы получить (- x ) n + z n = y n, что снова приведет к решению в N ; если y отрицательно, результат следует симметрично. Таким образом, во всех случаях нетривиальное решение в Z также означало бы, что решение существует в N , исходной формулировке проблемы.
- Эквивалентное утверждение 2: х п + у п = г п , где целое число п ≥ 3, не имеет нетривиальных решений х , у , Z ∈ Q .
Это происходит потому , что показатель х , у , и г равен (к п ), так что если существует решение в Q , то оно может быть умножено через соответствующий общий знаменатель , чтобы получить решение в Z , и , следовательно , в N .
- Эквивалентное утверждение 3: х п + у п = 1 , где целое число п ≥ 3, не имеет нетривиальных решений х , Y ∈ Q .
Нетривиальное решение a , b , c ∈ Z для x n + y n = z n дает нетривиальное решение a / c , b / c ∈ Q для v n + w n = 1 . И наоборот, решение a / b , c / d ∈ Q для v n + w n = 1 дает нетривиальное решение ad , cb , bd для x n + y n = z n .
Эта последняя формулировка особенно плодотворна, потому что она сводит проблему с проблемы поверхностей в трех измерениях к проблеме кривых в двух измерениях. Кроме того, он позволяет работать не над кольцом Z , а над полем Q ; поля более структурированы, чем кольца , что позволяет проводить более глубокий анализ их элементов.
- Эквивалентное утверждение 4 - связь с эллиптическими кривыми: Если a , b , c - нетривиальное решение x p + y p = z p , p нечетное простое число, то y 2 = x ( x - a p ) ( x + b p ) ( кривая Фрея ) будет эллиптической кривой . [16]
Изучение этой эллиптической кривой с помощью теоремы Рибета показывает, что она не имеет модульной формы . Однако доказательство Эндрю Уайлса доказывает, что любое уравнение вида y 2 = x ( x - a n ) ( x + b n ) действительно имеет модулярную форму. Следовательно, любое нетривиальное решение x p + y p = z p (с p нечетным простым числом) привело бы к противоречию , которое, в свою очередь, доказывает, что нетривиальных решений не существует. [17]
Другими словами, любое решение, которое может противоречить Великой теореме Ферма, также может быть использовано для противоречия теореме модулярности. Таким образом, если бы теорема модульности оказалась верной, то из этого следовало бы, что никакого противоречия с Великой теоремой Ферма также не могло быть. Как описано выше, открытие этого эквивалентного утверждения имело решающее значение для окончательного решения Великой теоремы Ферма, поскольку оно обеспечивало средства, с помощью которых можно было "атаковать" сразу все числа.
Математическая история
Пифагор и Диофант
Пифагорейские тройки
В древние времена было известно, что треугольник со сторонами в соотношении 3: 4: 5 будет иметь прямой угол в качестве одного из углов. Это использовалось в строительстве, а затем и в ранней геометрии . Также было известно, что это один из примеров общего правила, согласно которому любой треугольник, у которого длина двух сторон, каждая из которых возведена в квадрат и затем сложена вместе (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25) , равна квадрату длины третья сторона (5 2 = 25) также будет прямоугольным треугольником . Теперь это известно как теорема Пифагора , и тройка чисел, удовлетворяющая этому условию, называется тройкой Пифагора - оба названы в честь древнегреческого Пифагора . Примеры включают (3, 4, 5) и (5, 12, 13). Таких троек бесконечно много [18], и методы генерации таких троек изучались во многих культурах, начиная с вавилонян [19] и позже древнегреческими , китайскими и индийскими математиками. [1] Математически определение пифагоровой тройки - это набор из трех целых чисел ( a , b , c ), которые удовлетворяют уравнению [20]
Диофантовы уравнения
Ферма уравнение х п + у п = г п с положительными целыми решениями, является примером диофантова уравнения , [21] , названные для третьего века александрийского математика Диофанта , который изучал их и разработанные методы для решения некоторых видов диофантовых уравнений. Типичная диофантова задача - найти два целых числа x и y , сумма которых и сумма их квадратов равны двум заданным числам A и B соответственно:
Основным трудом Диофанта является « Арифметика» , из которой сохранилась лишь часть. [22] гипотеза Ферма его последней теоремы вдохновлялся, читая новое издание Arithmetica , [23] , который был переведен на латинский язык и издана в 1621 году Клодом Баше . [24]
Диофантовы уравнения изучаются тысячи лет. Например, решения квадратного диофантова уравнения x 2 + y 2 = z 2 даются тройками Пифагора , первоначально решенными вавилонянами (около 1800 г. до н.э.). [25] Решения линейных диофантовых уравнений, таких как 26 x + 65 y = 13, могут быть найдены с помощью алгоритма Евклида (около 5 века до нашей эры). [26] Многие диофантовы уравнения имеют форму, аналогичную уравнению Великой теоремы Ферма с точки зрения алгебры, в том, что они не имеют перекрестных членов, смешивающих две буквы, без общих его конкретных свойств. Например, известно, что существует бесконечно много натуральных чисел x , y и z таких, что x n + y n = z m, где n и m - относительно простые натуральные числа. [заметка 2]
Гипотеза Ферма
Задача II.8 Арифметики спрашивает, как данное квадратное число разбивается на два других квадрата; другими словами, для данного рационального числа k найдите такие рациональные числа u и v , что k 2 = u 2 + v 2 . Диофант показывает, как решить эту задачу о сумме квадратов для k = 4 (решения u = 16/5 и v = 12/5). [27]
Примерно в 1637 году Ферма написал свою Великую теорему на полях своего экземпляра « Арифметики» рядом с проблемой суммы квадратов Диофанта : [28]
Cubum autem в duos cubos, aut quadratoquadratum в duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem в duos eiusdem nominis fas est Dividere cuius rei демонстрации mirabilem sane Detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. | Невозможно разделить куб на два куба, или четвертую степень на две четвертых, или вообще любую степень выше второй, на две одинаковые степени. Я обнаружил поистине изумительное доказательство этого, которое на этом поле слишком мало, чтобы вместить его. [29] [30] |
После смерти Ферма в 1665 году его сын Клеман-Самуэль Ферма выпустил новое издание книги (1670), дополненное комментариями его отца. [31] Хотя на самом деле не является теоремой в то время (то есть математическое утверждение , для которого доказательство существует), маржа нота стала известна в течение долгого времени , как Великая теорема Ферма , [32] , поскольку это был последний из заявленных теорем Ферма остаются недоказанными. [33]
Неизвестно, действительно ли Ферма нашел верное доказательство для всех показателей n , но это кажется маловероятным. Сохранилось только одно связанное с ним доказательство, а именно для случая n = 4, как описано в разделе Доказательства для конкретных показателей степени . Хотя Ферма позировала случаи из п = 4 и п = 3 , как вызовы своих математических корреспондентов, такие как Мерсенны , Блез Паскаль , и Джон Уоллис , [34] он никогда не ставил общий случая. [35] Более того, за последние тридцать лет своей жизни Ферма больше никогда не писал о своем «поистине чудесном доказательстве» общего случая и никогда не публиковал его. Ван дер Поортен [36] предполагает, что, хотя отсутствие доказательства несущественно, отсутствие возражений означает, что Ферма понял, что у него нет доказательства; он цитирует Вейля [37], что Ферма, должно быть, на короткое время обманул себя безвозвратной идеей.
Методы, которые Ферма мог использовать в таком «чудесном доказательстве», неизвестны.
Доказательство Тейлора и Уайлса опирается на методы 20-го века. [38] Доказательство Ферма должно было быть элементарным по сравнению с математическими знаниями того времени.
В то время как Харви Фридман «s великий гипотеза предполагает , что любая доказуемо теорема ( в том числе и последней теоремы Ферма) можно доказать , используя только» элементарную функцию арифметика », такое доказательство необходимости„элементарным“только в техническом смысле и может включать в себя миллионы шагов, и таким образом, быть слишком длинным, чтобы служить доказательством Ферма.
Доказательства для конкретных показателей
Показатель степени = 4
Сохранилось только одно относящееся к делу доказательство Ферма , в котором он использует технику бесконечного спуска, чтобы показать, что площадь прямоугольного треугольника с целыми сторонами никогда не может равняться квадрату целого числа. [39] [40] Его доказательство эквивалентно демонстрации того, что уравнение
не имеет примитивных решений в целых числах (нет попарно взаимно простых решений). В свою очередь, это доказывает Великую теорему Ферма для случая n = 4, поскольку уравнение a 4 + b 4 = c 4 можно записать как c 4 - b 4 = ( a 2 ) 2 .
Альтернативные доказательства случая п = 4 , были разработаны позже [41] с помощью Frénicle де Бесси (1676), [42] Леонарда Эйлера (1738), [43] Kausler (1802), [44] Питер Барлоу (1811), [45 ] Адриан-Мари Лежандр (1830), [46] Шопис (1825), [47] Олри Теркем (1846), [48] Джозеф Бертран (1851), [49] Виктор Лебег (1853, 1859, 1862), [50 ] Теофиль Пепин (1883), [51] Тафельмахер (1893), [52] Дэвид Гильберт (1897), [53] Бендц (1901), [54] Гамбиоли (1901), [55] Леопольд Кронекер (1901), [ 56] Банг (1905), [57] Соммер (1907), [58] Боттари (1908), [59] Карел Рихлик (1910), [60] Нутцхорн (1912), [61] Роберт Кармайкл (1913), [ 62] Хэнкок (1931), [63] Георге Вранчану (1966), [64] Грант и Перелла (1999), [65] Барбара (2007), [66] и Долан (2011). [67]
Другие экспоненты
После того, как Ферма доказал частный случай n = 4, общее доказательство для всех n потребовало только, чтобы теорема была установлена для всех нечетных простых показателей. [68] Другими словами, нужно было доказать только то, что уравнение a n + b n = c n не имеет положительных целочисленных решений ( a , b , c ), когда n - нечетное простое число . Это следует потому, что решение ( a , b , c ) для данного n эквивалентно решению для всех факторов n . Для иллюстрации, пусть n разложено на d и e , n = de . Общее уравнение
- а n + b n = c n
следует, что ( a d , b d , c d ) является решением для показателя e
- ( a d ) e + ( b d ) e = ( c d ) e .
Таким образом, чтобы доказать, что уравнение Ферма не имеет решений при n > 2, достаточно доказать, что оно не имеет решений хотя бы для одного простого множителя каждого n . Каждое целое число n > 2 делится на 4 или на нечетное простое число (или на то и другое). Следовательно, Великую теорему Ферма можно было бы доказать для всех n, если бы ее можно было доказать для n = 4 и всех нечетных простых чисел p .
В течение двух столетий после его гипотезы (1637–1839) Последняя теорема Ферма была доказана для трех нечетных простых показателей p = 3, 5 и 7. Случай p = 3 был впервые сформулирован Абу-Махмудом Ходжанди (10 век), но его попытка доказательства теоремы была неверной. [69] В 1770 году Леонард Эйлер дал доказательство p = 3 [70], но его доказательство бесконечным спуском [71] содержало большой пробел. [72] Однако, поскольку сам Эйлер доказал лемму, необходимую для завершения доказательства в другой работе, ему обычно приписывают первое доказательство. [73] Независимые доказательства были опубликованы [74] Кауслером (1802), [44] Лежандром (1823, 1830), [46] [75] Кальцолари (1855), [76] Габриэлем Ламе (1865), [77] Питером Guthrie Tait (1872), [78] Günther (1878), [79] [ требуется полная ссылка ] Gambioli (1901), [55] Krey (1909), [80] [ требуется полная ссылка ] Rychlík (1910), [60 ] Штокхаус (1910), [81] Кармайкл (1915), [82] Йоханнес ван дер Корпут (1915), [83] Аксель Туэ (1917), [84] [ требуется полная ссылка ] и Дуарте (1944). [85]
Случай р = 5 был доказан [86] независимо друг от друга Лежандра и Дирихля вокруг 1825. [87] Были разработаны альтернативные доказательства [88] по Гаусс (1875 г., посмертная), [89] лебегово (1843), [ 90] Ламе (1847), [91] Гамбиоли (1901), [55] [92] Веребрусов (1905), [93] [ требуется полная ссылка ] Рихлик (1910), [94] [ сомнительно ] [ полное цитирование необходимо ] ван дер Корпут (1915), [83] и Гай Терджанян (1987). [95]
Случай p = 7 был доказан [96] Ламе в 1839 г. [97] Его довольно сложное доказательство было упрощено в 1840 г. Лебегом [98], а еще более простые доказательства [99] были опубликованы Анджело Дженокки в 1864, 1874 и 1876 гг. . [100] Альтернативные доказательства были разработаны Теофил Пепин (1876) [101] и Эдмон Maillet (1897 г.). [102]
Последняя теорема Ферма была также доказана для показателей n = 6, 10 и 14. Доказательства для n = 6 были опубликованы Кауслером, [44] Туэ, [103] Тафельмахером, [104] Линдом, [105] Капферером, [106] ] Свифт, [107] и Бреуш. [108] Точно так же Дирихле [109] и Терянян [110] доказали случай n = 14, а Капферер [106] и Бреуш [108] доказали случай n = 10. Строго говоря, в этих доказательствах нет необходимости, поскольку они случаи следуют из доказательств для n = 3, 5 и 7 соответственно. Тем не менее, рассуждение этих доказательств четной экспоненты отличается от их аналогов для нечетной экспоненты. Доказательство Дирихле для n = 14 было опубликовано в 1832 году, до доказательства Ламе 1839 года для n = 7. [111]
Все доказательства для конкретных показателей использовали технику бесконечного спуска Ферма , [ цитата необходима ] либо в ее первоначальной форме, либо в форме спуска по эллиптическим кривым или абелевым многообразиям. Однако детали и вспомогательные аргументы часто носили произвольный характер и были привязаны к рассматриваемому индивидуальному показателю. [112] Поскольку они становились все более сложными с увеличением p , казалось маловероятным, что общий случай Великой теоремы Ферма может быть доказан, опираясь на доказательства для отдельных показателей. [112] Хотя некоторые общие результаты о Великой теореме Ферма были опубликованы в начале 19 века Нильсом Хенриком Абелем и Питером Барлоу , [113] [114] первая значительная работа по общей теореме была сделана Софи Жермен . [115]
Ранние современные открытия
Софи Жермен
В начале 19 века Софи Жермен разработала несколько новых подходов к доказательству Великой теоремы Ферма для всех экспонентов. [116] Сначала она определила набор вспомогательных простых чисел. построенный из простого показателя по уравнению , где - любое целое число, не делимое на три. Она показала, что если целые числа не возведены в мощности были смежными по модулю ( условие непоследовательности ), то должен разделить продукт . Ее целью было использовать математическую индукцию, чтобы доказать, что для любого заданного, бесконечно много вспомогательных простых чисел удовлетворяет условию несогласованности и, таким образом, разделяет ; поскольку продуктможет иметь не более конечного числа простых множителей, такое доказательство установило бы Великую теорему Ферма. Несмотря на то, что она разработала множество техник для установления условия непоследовательности, ей не удалось достичь своей стратегической цели. Она также работала над установлением нижних пределов размера решений уравнения Ферма для заданного показателя степени., модифицированная версия которого была опубликована Адрианом-Мари Лежандром . В качестве побочного продукта этой последней работы она доказала теорему Софи Жермен , которая проверила первый случай Великой теоремы Ферма (а именно, случай, когда не делит ) для каждого нечетного простого показателя меньше, чем , [116] [117] и для всех простых чисел такой, что хотя бы один из , , , , а также простое (особенно простые числа такой, что простое число называются простыми числами Софи Жермен ). Жермен безуспешно пытался доказать первый случай Великой теоремы Ферма для всех четных показателей, особенно для, который был доказан Гаем Терджаняном в 1977 году. [118] В 1985 году Леонард Адлеман , Роджер Хит-Браун и Этьен Фуври доказали, что первый случай Великой теоремы Ферма верен для бесконечного числа нечетных простых чисел. [119]
Эрнст Куммер и теория идеалов
В 1847 году Габриэль Ламе изложил доказательство Великой теоремы Ферма, основанное на разложении уравнения x p + y p = z p на комплексные числа, в частности круговое поле, основанное на корнях числа 1 . Однако его доказательство провалилось, поскольку в нем неверно предполагалось, что такие комплексные числа можно однозначно разложить на простые числа, аналогичные целым. На этот пробел сразу же указал Джозеф Лиувилль , который позже прочитал статью Эрнста Куммера, в которой продемонстрировал этот провал уникальной факторизации .
Куммер поставил перед собой задачу определить, можно ли обобщить круговое поле, включив в него новые простые числа, чтобы восстановить уникальную факторизацию. Он преуспел в этой задаче, разработав идеальные числа .
(Примечание: часто утверждается, что Куммер пришел к своим «идеальным комплексным числам» из-за его интереса к Великой теореме Ферма; часто говорят, что Куммер, как и Ламе , считал, что он доказал Великую теорему Ферма, пока Лежен Дирихле не сказал ему его аргумент основывался на уникальной факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Хензелем в 1910 году, и свидетельства указывают на то, что это, вероятно, происходит из-за путаницы в одном из источников Хензеля. Гарольд Эдвардс говорит, что Куммер в основном интересовался Великой теоремой Ферма ». несомненно ошибается ». [120] См. историю идеальных чисел .)
Используя общий подход, изложенный Ламе, Куммер доказал оба случая Великой теоремы Ферма для всех регулярных простых чисел . Однако он не смог доказать теорему для исключительных простых чисел (нерегулярных простых чисел), которые предположительно встречаются примерно в 39% случаев ; единственные неправильные простые числа ниже 270 - это 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 и 263.
Гипотеза Морделла
В 1920-х годах Луи Морделл высказал гипотезу, согласно которой уравнение Ферма имеет не более конечного числа нетривиальных примитивных целочисленных решений, если показатель степени n больше двух. [121] Эта гипотеза была доказана в 1983 году Фальтингс , [122] и в настоящее время известен как теорема Фалтингсом в .
Вычислительные исследования
Во второй половине 20-го века вычислительные методы были использованы для расширения подхода Куммера к нерегулярным простым числам. В 1954 году Гарри Вандивер использовал компьютер SWAC, чтобы доказать Великую теорему Ферма для всех простых чисел до 2521. [123] К 1978 году Самуэль Вагстафф распространил это на все простые числа меньше 125000. [124] К 1993 году Великая теорема Ферма была доказана для всех простых чисел меньше четырех миллионов. [125]
Однако, несмотря на эти усилия и их результаты, доказательства Великой теоремы Ферма не существовало. Доказательства отдельных показателей по своей природе никогда не могли бы доказать общий случай: даже если бы все показатели были проверены до чрезвычайно большого числа X, более высокий показатель, превышающий X, мог бы все еще существовать, для чего утверждение не было верным. (Так было и с некоторыми другими прошлыми гипотезами, и это не могло быть исключено в этой гипотезе.) [126]
Связь с эллиптическими кривыми
Стратегия, которая в конечном итоге привела к успешному доказательству Великой теоремы Ферма, возникла из «поразительной» [127] : 211 гипотезы Таниямы – Шимуры – Вейля , предложенной около 1955 г., которую многие математики считали практически невозможной [127]. : 223 и был связан в 1980-х Герхардом Фреем , Жан-Пьером Серром и Кеном Рибетом с уравнением Ферма. Выполнив частичное доказательство этой гипотезы в 1994 году, Эндрю Уайлс в конечном итоге преуспел в доказательстве Великой теоремы Ферма, а также проложил путь к полному доказательству того, что сейчас известно как теорема модулярности .
Гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля
Примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма обнаружили возможную связь между двумя явно совершенно разными разделами математики, эллиптическими кривыми и модульными формами . Результирующая теорема модульности (в то время известная как гипотеза Таниямы – Шимуры) утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модульной , что означает, что она может быть связана с уникальной модулярной формой .
Первоначально связь была отклонена как маловероятная или в высшей степени спекулятивная, но была воспринята более серьезно, когда теоретик чисел Андре Вейль нашел доказательства, подтверждающие ее, хотя и не подтверждающие ее; в результате эту гипотезу часто называют гипотезой Таниямы – Шимуры – Вейля. [127] : 211–215
Даже после того, как она привлекла серьезное внимание, современные математики сочли это предположение чрезвычайно трудным или, возможно, недоступным для доказательства. [127] : 203–205, 223, 226 Например, научный руководитель Уайлса Джон Коутс заявляет, что казалось «невозможно доказать на самом деле», [127] : 226 и Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые верили [это] было совершенно недоступно », добавив, что« Эндрю Уайлс был, вероятно, одним из немногих людей на земле, у которых хватило смелости мечтать о том, что вы действительно можете пойти и доказать [это] ». [127] : 223
Теорема Рибета для кривых Фрея
В 1984 году Герхард Фрей заметил связь между уравнением Ферма и теоремой о модульности, которая тогда все еще оставалась гипотезой. Если бы уравнение Ферма имело какое-либо решение ( a , b , c ) для показателя p > 2, то можно было бы показать, что полустабильная эллиптическая кривая (теперь известная как Фрея-Хеллегуарха [примечание 3] )
- у 2 = х ( х - а п ) ( х + б р )
будет обладать такими необычными свойствами, что вряд ли будет модульным. [128] Это противоречило бы теореме модульности, которая утверждала, что все эллиптические кривые являются модульными. Таким образом, Фрей заметил, что доказательство гипотезы Таниямы – Шимуры – Вейля может одновременно доказать Великую теорему Ферма. [129] По противопоставлению , опровержение или опровержение Ферма Последнюю теорема была бы опровергнута гипотеза Таниям-Симура-Вейль.
Говоря простым языком, Фрей показал, что, если эта интуиция относительно его уравнения верна, то любой набор из 4 чисел (a, b, c, n), способный опровергнуть Великую теорему Ферма, также может быть использован для опровержения теории Таниямы-Шимуры. –Гипотеза Вейля. Следовательно, если бы последнее было правдой, первое нельзя было бы опровергнуть, и оно также должно было бы быть правдой.
Следуя этой стратегии, доказательство Великой теоремы Ферма потребовало двух шагов. Во-первых, необходимо было доказать теорему модульности - или, по крайней мере, доказать ее для типов эллиптических кривых, включающих уравнение Фрея (известных как полустабильные эллиптические кривые ). Современные математики считали это недоступным для доказательства. [127] : 203–205, 223, 226 Во-вторых, необходимо было показать, что интуиция Фрея верна: если эллиптическая кривая была построена таким образом с использованием набора чисел, которые были решением уравнения Ферма, полученная эллиптическая кривая не могла быть модульной. Фрей показал, что это правдоподобно, но не дошел до полного доказательства. Недостающий фрагмент (так называемая « эпсилон-гипотеза », ныне известная как теорема Рибета ) был обнаружен Жан-Пьером Серром, который также дал почти полное доказательство, а связь, предложенная Фреем, была окончательно доказана в 1986 году Кеном Рибетом . [130]
После работ Фрея, Серра и Рибета дело обстояло именно так:
- Последнюю теорему Ферма нужно было доказать для всех показателей n, которые были простыми числами.
- Теорема модульности - если она будет доказана для полустабильных эллиптических кривых - будет означать, что все полустабильные эллиптические кривые должны быть модульными.
- Теорема Рибета показала, что любое решение уравнения Ферма для простого числа можно использовать для создания полустабильной эллиптической кривой, которая не может быть модульной;
- Единственный способ, которым оба эти утверждения могли быть правдой, заключался в том, что не существовало решений уравнения Ферма (потому что тогда такая кривая не могла быть создана), о чем говорила Великая теорема Ферма. Поскольку теорема Рибета уже была доказана, это означало, что доказательство теоремы модульности автоматически докажет, что последняя теорема Ферма также верна.
Общее доказательство Уайлса
Доказательство эпсилон-гипотезы Рибетом в 1986 г. достигло первой из двух целей, предложенных Фреем. Услышав об успехе Рибета, Эндрю Уайлс , английский математик, с детства увлекавшийся Великой теоремой Ферма и работавший над эллиптическими кривыми, решил посвятить себя второй половине: доказательству частного случая теоремы модульности (тогда известной как гипотеза Таниямы – Шимуры) для полустабильных эллиптических кривых. [131]
Уайлс работал над этой задачей шесть лет в условиях полной секретности, прикрывая свои усилия, публикуя предыдущие работы небольшими частями в виде отдельных документов и доверяя только своей жене. [127] : 229–230 Его первоначальное исследование предлагало доказательство по индукции , [127] : 230–232, 249–252, и он основывал свою первоначальную работу и первый значительный прорыв на теории Галуа [127] : 251–253, 259, прежде чем переключиться на к попытке расширить горизонтальную теорию Ивасавы для индуктивного аргумента в период 1990–1991 годов, когда казалось, что не существует подходящего подхода, адекватного этой проблеме. [127] : 258–259 Однако к середине 1991 года казалось, что теория Ивасавы еще не решила центральных вопросов проблемы. [127] : 259–260 [132] В ответ он обратился к коллегам с просьбой найти какие-либо намеки на передовые исследования и новые методы и обнаружил систему Эйлера, недавно разработанную Виктором Колывагиным и Матиасом Флаком, которая казалась «специально созданной» для индуктивная часть его доказательства. [127] : 260–261 Уайлс изучил и расширил этот подход, и он сработал. Поскольку его работа в значительной степени основывалась на этом подходе, который был новым для математики и для Уайлса, в январе 1993 года он попросил своего коллегу из Принстона Ника Каца помочь ему проверить свои рассуждения на предмет скрытых ошибок. В то время они пришли к выводу, что методы, которые использовал Уайлс, похоже, работали правильно. [127] : 261–265 [133]
К середине мая 1993 года Уайлс почувствовал себя способным сказать своей жене, что, по его мнению, он решил доказательство Великой теоремы Ферма, [127] : 265, и к июню он почувствовал себя достаточно уверенно, чтобы представить свои результаты в трех лекциях, прочитанных 21–23 июня. 1993 г. в Институте математических наук Исаака Ньютона . [134] В частности, Уайлс представил свое доказательство гипотезы Таниямы – Шимуры для полустабильных эллиптических кривых; вместе с доказательством эпсилон-гипотезы Рибетом это влечет Великую теорему Ферма. Однако в ходе рецензирования стало очевидно, что критический момент доказательства был неверным. Он содержал ошибку в привязке к порядку определенной группы . Ошибка была обнаружена несколькими математиками, рецензировавшими рукопись Уайлса, включая Каца (в его роли рецензента) [135], который предупредил Уайлса 23 августа 1993 г. [136]
Ошибка не сделала бы его работу бесполезной - каждая часть работы Уайлса была очень значимой и новаторской сама по себе, как и многие разработки и методы, которые он создал в ходе своей работы, и только одна часть была затронута. [127] : 289, 296–297 Однако без доказательства этой части не было бы фактического доказательства Великой теоремы Ферма. Уайлс потратил почти год, пытаясь восстановить свое доказательство, сначала сам, а затем в сотрудничестве со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором , но безуспешно. [137] [138] [139] К концу 1993 года распространились слухи, что при тщательной проверке доказательство Уайлса не удалось, но насколько серьезно, неизвестно. Математики начали оказывать давление на Уайлса, чтобы тот раскрыл свою работу, независимо от того, завершена она или нет, чтобы более широкое сообщество могло исследовать и использовать все, что ему удалось сделать. Но вместо того, чтобы быть исправленным, проблема, которая первоначально казалась незначительной, теперь казалась очень значительной, гораздо более серьезной и менее легкой для решения. [140]
Уайлс заявляет, что утром 19 сентября 1994 года он был на грани отказа и почти смирился с признанием своей неудачи и с публикацией своей работы, чтобы другие могли развить ее и исправить ошибку. Он добавляет , что у него последний взгляд , чтобы попытаться понять основные причины , почему его подход не может быть сделано , чтобы работать, когда у него было внезапное понимание - что конкретная причина , почему подход Колывагин-Флак не будет работать непосредственно и имел в виду что его первоначальные попытки использовать теорию Ивасавы могут сработать, если он укрепит ее, используя свой опыт, полученный в рамках подхода Колывагина-Флаха. Исправление одного подхода с помощью инструментов другого подхода решило бы проблему для всех случаев, которые еще не были подтверждены его рецензируемой статьей. [137] [141] Позже он описал, что теория Ивасавы и подход Колывагина-Флаха неадекватны сами по себе, но вместе они могут стать достаточно мощными, чтобы преодолеть это последнее препятствие. [137]
- «Я сидел за своим столом и изучал метод Колывагина – Флаха. Не то чтобы я верил, что смогу заставить его работать, но я думал, что, по крайней мере, смогу объяснить, почему он не работает. Внезапно я получил это невероятное откровение. Я понял, что метод Колывагина-Флаха не работает, но это было все, что мне нужно, чтобы моя первоначальная теория Ивасавы работала тремя годами ранее. Таким образом, из пепла Колывагина-Флаха, казалось, возник истинный ответ на проблему. . Он был так неописуемо красив; он был таким простым и таким элегантным. Я не мог понять, как я это пропустил, и я просто смотрел на него с недоверием в течение двадцати минут. Затем днем я ходил по отделению, и я Я все время возвращался к своему столу, чтобы посмотреть, там ли он еще. Он все еще там. Я не мог сдерживаться, я был так взволнован. Это был самый важный момент в моей трудовой жизни. Ничего из того, что я делаю снова будет значить столько же ".
- - Эндрю Уайлс, цитирует Саймона Сингха [142]
24 октября 1994 г. Уайлс представил две рукописи: «Модульные эллиптические кривые и Великая теорема Ферма» [143] [144] и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» [145], вторая из которых была написана в соавторстве с Тейлором и доказал, что были соблюдены определенные условия, необходимые для обоснования исправленного шага в основной статье. Эти две статьи были проверены и опубликованы в майском выпуске Annals of Mathematics за 1995 год . Эти работы установили теорему модульности для полустабильных эллиптических кривых, последний шаг в доказательстве Великой теоремы Ферма, спустя 358 лет после того, как она была высказана.
Последующие события
Полная гипотеза Таниямы – Шимуры – Вейля была окончательно доказана Даймондом (1996), [9] Конрад и др. (1999), [10] и Breuil et al. (2001) [11], которые, опираясь на работу Уайлса, постепенно сокращали оставшиеся случаи, пока не был доказан полный результат. Теперь полностью доказанная гипотеза стала известна как теорема модулярности .
Несколько других теорем теории чисел, подобных Великой теореме Ферма, также следуют из тех же рассуждений, использующих теорему модулярности. Например: ни один куб не может быть записан как сумма двух взаимно простых n -й степеней, n ≥ 3. (Случай n = 3 был уже известен Эйлеру .)
Связь с другими проблемами и обобщениями
Последняя теорема Ферма рассматривает решения уравнения Ферма: a n + b n = c n с натуральными числами a , b и c и целым числом n, большим 2. Существует несколько обобщений уравнения Ферма на более общие уравнения, которые позволяют показатель степени n должен быть отрицательным целым числом или рациональным числом, или рассмотреть три разных показателя степени.
Обобщенное уравнение Ферма
Обобщенное уравнение Ферма обобщает утверждение последней теоремы Ферма, рассматривая положительные целые решения a, b, c, m, n, k, удовлетворяющие [146]
( 1 )
В частности, показатели m , n , k не обязательно должны быть равными, тогда как последняя теорема Ферма рассматривает случай m = n = k .
Гипотеза Била , также известная как гипотеза Маулдина [147] и гипотеза Тийдемана-Загьера, [148] [149] [150], утверждает, что не существует решений обобщенного уравнения Ферма в натуральных числах a , b , c , m , n , k, где a , b и c попарно взаимно просты, а все m , n , k больше 2. [151]
Гипотеза Ферма – Каталана обобщает последнюю теорему Ферма с идеями гипотезы Каталана . [152] [153] Гипотеза утверждает, что обобщенное уравнение Ферма имеет только конечное число решений ( a , b , c , m , n , k ) с различными тройками значений ( a m , b n , c k ), где a , b , c - положительные взаимно простые целые числа, а m , n , k - положительные целые числа, удовлетворяющие
( 2 )
Утверждение касается конечности множества решений, потому что существует 10 известных решений . [146]
Обратное уравнение Ферма
Когда мы позволяем показателю n быть обратным целому числу, то есть n = 1 / m для некоторого целого числа m , мы получаем обратное уравнение ФермаВсе решения этого уравнения были вычислены Хендриком Ленстры в 1992 году [154] В случае , в котором м х корней обязаны быть реальными и положительными, все решения даются [155]
для натуральных чисел r, s, t, где s и t взаимно просты.
Рациональные показатели
Для диофантова уравнения с n, не равным 1, Беннет, Гласс и Секели доказали в 2004 г. для n > 2, что если n и m взаимно просты, то существуют целочисленные решения тогда и только тогда, когда 6 делит m , и, а также - разные комплексные корни шестой степени одного действительного числа. [156]
Отрицательные целые показатели
п = -1
Все примитивные целочисленные решения (т. Е. Те, у которых нет простого множителя, общего для всех a , b и c ) оптического уравнения можно записать как [157]
для положительных взаимно простых целых чисел m , k .
п = -2
Случай n = −2 также имеет бесконечное количество решений, и они имеют геометрическую интерпретацию в терминах прямоугольных треугольников с целыми сторонами и целой высотой гипотенузы . [158] [159] Все примитивные решения даны
для взаимно простых целых чисел u , v с v > u . Геометрическая интерпретация состоит в том, что a и b - целые катеты прямоугольного треугольника, а d - целочисленная высота до гипотенузы. Тогда сама гипотенуза - это целое число
так что ( a, b, c ) - тройка Пифагора .
п <-2
Нет решений в целых числах для для целых чисел n <−2. Если бы это было так, уравнение можно было бы умножить на чтобы получить , что невозможно по Великой теореме Ферма.
гипотеза abc
Гипотеза abc примерно утверждает, что если три натуральных числа a , b и c (отсюда и название) взаимно просты и удовлетворяют условию a + b = c , то радикал d числа abc обычно не намного меньше c . В частности, из гипотезы abc в ее наиболее стандартной формулировке следует последняя теорема Ферма для достаточно больших n . [160] [161] [162] модифицированная гипотеза Шпиро эквивалентна гипотеза аЬса и , следовательно , имеет то же последствие. [163] [162] Эффективная версия гипотезы abc или эффективная версия модифицированной гипотезы Шпиро напрямую влечет Великую теорему Ферма. [162]
Призы и неверные доказательства
В 1816 году, а затем в 1850 году Французская академия наук присудила премию за общее доказательство Великой теоремы Ферма. [164] В 1857 году Академия наградила Куммера 3000 франков и золотой медалью за его исследование идеальных чисел, хотя он и не представил заявку на получение премии. [165] Другой приз был предложен в 1883 году Брюссельской академией. [166]
В 1908 году немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал Геттингенской академии наук 100 000 золотых марок - большую сумму по тем временам - в качестве приза за полное доказательство Великой теоремы Ферма. [167] 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил присуждения премии. Среди прочего, эти правила требовали, чтобы доказательство было опубликовано в рецензируемом журнале; премия будет присуждена только через два года после публикации; и что приз не будет вручен после 13 сентября 2007 года, примерно через столетие после начала конкурса. [168] 27 июня 1997 года Уайлс получил призовой фонд Вольфскеля, который на тот момент составлял 50 000 долларов. [169] В марте 2016 года Уайлс был награжден премией Абеля норвежского правительства в размере 600 000 евро за «его потрясающее доказательство Великой теоремы Ферма посредством конкурса. Гипотеза модульности для полустабильных эллиптических кривых, открывающая новую эру в теории чисел ». [170]
До доказательства Уайлса в комитет Вольфскеля были представлены тысячи неверных доказательств, что составило примерно 3 метра корреспонденции. [171] Только за первый год (1907–1908) было представлено 621 попытка доказательства, хотя к 1970-м годам скорость подачи снизилась примерно до 3-4 попыток доказательства в месяц. По словам Ф. Шлихтинга, рецензента из Вольфскеля, большинство доказательств было основано на элементарных методах, которым обучают в школах, и часто представлялись «людьми с техническим образованием, но неудачной карьерой». [172] По словам историка математики Ховарда Ивса , «Великая теорема Ферма отличается тем, что является математической проблемой, для которой было опубликовано наибольшее количество неверных доказательств». [166]
В популярной культуре
В эпизоде Симпсонов « Волшебник вечнозеленой террасы » Гомер Симпсон пишет уравнениена доске, что, кажется, контрпример к Великой теореме Ферма. Уравнение неверное, но оно кажется правильным, если ввести в калькулятор с 10 значащими цифрами . [173]
В « Королевской », эпизоде 1989 года из телесериала 24 века « Звездный путь: следующее поколение» , Пикард рассказывает командиру Райкеру о своих попытках решить теорему, которая все еще не решена спустя 800 лет. Он заключает: «В своем высокомерии мы чувствуем себя настолько продвинутыми. И все же мы не можем распутать простой узел, завязанный французским математиком, работающим неполный рабочий день, без компьютера». [174] (Понимание Эндрю Уайлса, приведшее к его прорывному доказательству, произошло через четыре месяца после окончания серии. [175] )
Смотрите также
- гипотеза abc
- Гипотеза Била
- Диофант II.VIII
- Гипотеза Эйлера о сумме степеней
- Гипотеза Ферма – Каталонии
- Теорема модульности
- Доказательство невозможности
- Пифагорейская тройка
- Софи Жермен прайм
- Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем
- Стена – Солнце – Солнце премьер
Сноски
- ^ Если бы показатель n не был простым или 4, то можно было бы записать n как произведение двух меньших целых чисел ( n = PQ ), в котором P - простое число больше 2, и тогда a n = a PQ = ( a Q ) P для каждого из a , b и c . То есть, эквивалентное решение было бы также должно существовать для простого мощности P , который является меньшим , чем п ; иначе, поскольку n было бы степенью 2 больше 4, и записав n = 4 Q , был бы справедлив тот же аргумент.
- ^ Например,
- ^ Эта эллиптическая кривая была впервые предложена в 1960-х Ивом Хеллегуархом , но он не обратил внимания на ее немодулярность. Подробнее см. Hellegouarch, Yves (2001). Приглашение к математике Ферма-Уайлса . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-339251-0.
Рекомендации
- ^ а б Сингх, стр. 18–20.
- ^ a b c Премия Абеля 2016 - полное цитирование
- ^ "Наука и технология". Книга рекордов Гиннеса . Guinness Publishing Ltd. 1995.
- ^ "Найджел Бостон, стр.5" ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСЛЕДНЕЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМАТА " " (PDF) .
- ^ Сингх, стр. 223
- ^ Singh 1997, стр. 203-205, 223, 226
- ^ Сингх, стр. 144 цитирует реакцию Уайлса на эту новость: «Я был наэлектризован. В тот момент я знал, что курс моей жизни меняется, потому что это означало, что для доказательства Великой теоремы Ферма все, что мне нужно было сделать, - это доказать гипотезу Таниямы-Шимуры. Это значило. что моя детская мечта стала теперь достойной работой ».
- ^ а б Сингх, стр. 144.
- ^ а б Даймонд, Фред (июль 1996 г.). «О деформационных кольцах и кольцах Гекке» . Анналы математики . 144 (1): 137–166. DOI : 10.2307 / 2118586 . JSTOR 2118586 .
- ^ а б Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (1999). «Модульность некоторых потенциально представлений Барсотти-Тейта Галуа» . Журнал Американского математического общества . 12 (2): 521–567. DOI : 10.1090 / S0894-0347-99-00287-8 . ISSN 0894-0347 .
- ^ а б Брей, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (15 мая 2001 г.). «О модульности эллиптических кривых над Q {\ displaystyle \ mathbf {Q}} : Дикий 3 {\ displaystyle 3} -адические упражнения» . Журнал Американского математического общества . 14 (4):. 843-939 DOI : 10,1090 / S0894-0347-01-00370-8 . ISSN 0894-0347 .
- ^ Кастельвекки, Давиде (15 марта 2016 г.). «Последняя теорема Ферма принесла Эндрю Уайлсу премию Абеля» . Природа . 531 (7594): 287. Bibcode : 2016Natur.531..287C . DOI : 10.1038 / nature.2016.19552 . PMID 26983518 . S2CID 4383161 .
- ^ Британский математик сэр Эндрю Уайлс получает математическую премию Абеля - The Washington Post.
- ^ Решен вопрос 300-летней давности, профессор выигрывает 700 тысяч долларов - CNN.com.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма» . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram . Дата обращения 7 мая 2021 .
- ^ Уайлс, Эндрю (1995). "Модульные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма" (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 448. DOI : 10,2307 / 2118559 . JSTOR 2118559 . OCLC 37032255 .
Предложение Фрея в обозначениях следующей теоремы состояло в том, чтобы показать, что (гипотетическая) эллиптическая кривая y 2 = x ( x + u p ) ( x - v p ) не может быть модульной.
- ^ Рибет, Кен (1990). «О модульных представлениях Gal ( Q / Q ), возникающих из модульных форм» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 432. Bibcode : 1990InMat.100..431R . DOI : 10.1007 / BF01231195 . hdl : 10338.dmlcz / 147454 . Руководство по ремонту 1047143 . S2CID 120614740 .
- ^ Стиллвелл Дж (2003). Элементы теории чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 110–112. ISBN 0-387-95587-9. Проверено 17 марта 2016 года .
- ^ Ацель, стр. 13-15
- ↑ Stark, стр. 151–155.
- ↑ Stark, стр. 145–146.
- ↑ Singh, стр. 50–51.
- ^ Старк, стр. 145.
- ^ Ацель, С. 44-45. Сингх, стр. 56–58.
- ^ Ацель, стр. 14-15.
- ↑ Stark, стр. 44–47.
- ^ Friberg, стр. 333-334.
- ^ Диксон, стр. 731; Сингх, стр. 60–62; Aczel, p. 9.
- ^ Т. Хит, Диофант Александрийский, второе издание, Cambridge University Press, 1910, перепечатано Dover, NY, 1964, стр. 144–145
- ^ Панчишкин, стр. 341
- ^ Singh, стр. 62-66.
- ^ Диксон, стр. 731.
- ^ Сингх, стр. 67; Aczel, p. 10.
- ^ Ribenboim, стр. 13, 24.
- ↑ van der Poorten, Notes and Remarks 1.2, p. 5.
- ^ van der Poorten, loc. соч.
- ^ Андре Вайль (1984). Теория чисел: подход через историю. От Хаммурапи до Лежандра . Базель, Швейцария: Birkhäuser. п. 104.
- ^ Документальный фильм BBC .
- ^ Фриман Л. (12 мая 2005 г.). «Одно доказательство Ферма» . Проверено 23 мая 2009 года .
- ^ Dickson, С. 615-616. Aczel, p. 44.
- ^ Ribenboim, стр. 15-24.
- ^ Frénicle де Бесси, Traité де Треугольники Прямоугольники ан Nombres , т. I, 1676 год, Париж. Перепечатано в Mém. Акад. Рой. Sci. , 5 , 1666–1699 (1729).
- ^ Эйлер Л. (1738). «Теорематум кворундам арифметический форум демонстраций». Новые комментарии Academiae Scientiarum Petropolitanae . 10 : 125–146.. Перепечатано Opera omnia , ser. I, "Commentationes Arithmeticae", т. I, стр. 38–58, Лейпциг: Teubner (1915).
- ^ а б в Кауслер CF (1802). "Нова демонстрация теоремы, не подлежащая суммам, некогда дифференцирующая дуорум куборум кубум esse posse". Novi Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 13 : 245–253.
- ^ Барлоу П. (1811 г.). Элементарное исследование теории чисел . Церковный двор Святого Павла, Лондон: Дж. Джонсон. С. 144–145.
- ^ а б Лежандр А.М. (1830). Теория Номбр (Том II) (3-е изд.). Париж: Фирмен Дидо Фререс. Перепечатано в 1955 году А. Бланшаром (Париж).
- ^ Шопис (1825 г.). Einige Sätze aus der unbestimmten Analytik . Гуммбиннен: Программа.
- ^ Terquem O (1846 г.). "Теории сюр-ле-Писсанс-де-Номб". Nouvelles Annales de Mathématiques . 5 : 70–87.
- ^ Бертран Дж (1851). Traité Élémentaire d'Algèbre . Париж: Ашетт. С. 217–230, 395.
- ^ Лебег В.А. (1853). "Решение биквадратических уравнений z 2 = x 4 ± 2 m y 4 , z 2 = 2 m x 4 - y 4 , 2 m z 2 = x 4 ± y 4 ". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 18 : 73–86.
Лебег В.А. (1859). Exercices d'Analyse Numérique . Париж: Leiber et Faraguet. С. 83–84, 89.
Лебег В.А. (1862). Введение в стиле Теории Номбр . Париж: Малле-Башелье. С. 71–73. - ^ Пепин Т (1883). "Этюд по неопределенному уравнению ax 4 + by 4 = cz 2 ". Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali. Rendiconti Lincei. Серия IX. Matematica e Applications . 36 : 34–70.
- ^ А. Тафельмахер (1893). «Sobre la ecuación x 4 + y 4 = z 4 » . Аналес де ла Универсидад де Чили . 84 : 307–320. DOI : 10,5354 / 0717-8883.1893.20645 (неактивный 15 января 2021).CS1 maint: DOI неактивен с января 2021 г. ( ссылка )
- ^ Гильберт Д. (1897). "Die Theorie der algebraischen Zahlkörper". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 4 : 175–546.Перепечатано в 1965 году в Gesammelte Abhandlungen, vol. Я от Нью-Йорка: Челси.
- ^ Бендз Т.Р. (1901). Öfver diophantiska ekvationen x n ' + y n = z n (Диссертация). Упсала: Альмквист и Викселлс Боктрикен.
- ^ а б в Гамбиоли D (1901). "Memoria bibliographica sull'ultimo teorema di Fermat". Periodico di Matematiche . 16 : 145–192.
- ^ Кронекер Л. (1901). Vorlesungen über Zahlentheorie, vol. Я . Лейпциг: Тойбнер. С. 35–38. Перепечатано Нью-Йорком: Springer-Verlag в 1978 году.
- ^ Bang A (1905). «Nyt Bevis for at Ligningen x 4 - y 4 = z 4 , ikke kan имеет обоснование, Løsinger». Nyt Tidsskrift для Matematik . 16B : 31–35. JSTOR 24528323 .
- ^ Соммер Дж. (1907). Vorlesungen über Zahlentheorie . Лейпциг: Тойбнер.
- ^ Боттари А (1908). «Интерактивное водное изображение питагорита и приложение для всех dimostrazione di alcune teoremi della teoria dei numeri». Periodico di Matematiche . 23 : 104–110.
- ^ а б Рычлик К. (1910). «О последней теореме Ферма для n = 4 и n = 3 (по-богемски)». Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky . 39 : 65–86.
- ^ Нутцхорн Ф (1912). «День убестем выравнивания x 4 + y 4 = z 4 ». Nyt Tidsskrift для Matematik . 23B : 33–38.
- ^ Кармайкл РД (1913). «О невозможности некоторых диофантовых уравнений и систем уравнений». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 20 (7): 213–221. DOI : 10.2307 / 2974106 . JSTOR 2974106 .
- ^ Хэнкок Х (1931). Основы теории алгебраических чисел, т. Я . Нью-Йорк: Макмиллан.
- ^ Vrnceanu G (1966). "Asupra teorema lui Fermat pentru n = 4". Газета Matematica Серия А . 71 : 334–335.Перепечатано в 1977 году в Opera matematica , vol. 4, стр. 202–205, Bucureşti: Editura Academiei Republicii Socialiste România.
- ↑ Грант, Майк, и Перелла, Малкольм, «Спуск к иррациональному», Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., стр. 263–267.
- ↑ Барбара, Рой, «Последняя теорема Ферма в случае n = 4», Mathematical Gazette 91, июль 2007 г., стр. 260–262.
- ^ Долан, Стэн, "метод Ферма из Descente infinie ", Математический вестник 95, июль 2011, 269-271.
- ^ Ribenboim, стр. 1-2.
- ^ Диксон, стр. 545.
О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Махмуд Хамид ибн аль-Хидр Аль-Худжанди» , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс. - ^ Эйлер L (1770) Vollständige Anleitung zur Algebra , Рой. Акад. Наук, Санкт-Петербург.
- ^ Фриман Л. (22 мая 2005 г.). «Последняя теорема Ферма: доказательство для n = 3» . Проверено 23 мая 2009 года .
- ^ Ribenboim С. 24-25. Морделл, стр. 6–8; Эдвардс, стр. 39–40.
- ^ Aczel, стр. 44; Эдвардс, стр. 40, 52–54.
JJ Mačys (2007). «О гипотетическом доказательстве Эйлера». Математические заметки . 82 (3–4): 352–356. DOI : 10.1134 / S0001434607090088 . Руководство по ремонту 2364600 . S2CID 121798358 . - ^ Ribenboim, стр. 33, 37-41.
- ^ Лежандр А.М. (1823 г.). "Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée, et specialulièrement sur le teorème de Fermat". Mémoires de l'Académie royale des Sciences . 6 : 1–60.Перепечатано в 1825 году как «Второе приложение» к печати 2-го издания « Essai sur la Théorie des Nombres» , Courcier (Париж). Также переиздано в 1909 г. в Sphinx-Oedipe , 4 , 97–128.
- ^ Кальцолари Л. (1855). Тентативно для того, чтобы представить себе теорему Ферма неопределенного уравнения x n + y n = z n . Феррара.
- ^ Ламе Г. (1865 г.). "Этюд кубических биномов x 3 ± y 3 ". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 61 : 921–924, 961–965.
- ^ Tait PG (1872 г.). «Математические заметки» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 7 : 144. DOI : 10,1017 / s0370164600041857 .
- ^ Гюнтер С (1878). «Über die unbestimmte Gleichung x 3 + y 3 = z 3 ». Sitzungsberichte Böhm. Ges. Wiss. : 112–120.
- ^ Крей Х (1909). "Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes". Математика. Naturwiss. Blätter . 6 : 179–180.
- ^ Stockhaus H (1910). Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes . Лейпциг: Brandstetter.
- ^ Кармайкл РД (1915). Диофантов анализ . Нью-Йорк: Вили.
- ^ а б ван дер Корпут JG (1915). "Quelques formes quadratiques et quelques équations indéterminées". Nieuw Archief voor Wiskunde . 11 : 45–75.
- ^ Чт А (1917). «Et bevis for at ligningen A 3 + B 3 = C 3 er unmulig i hele tal fra nul forskjellige tal A , B og C ». Arch. Мат. Naturv . 34 (15).Перепечатано в Selected Mathematical Papers (1977), Oslo: Universitetsforlaget, pp. 555–559.
- ^ Дуарте FJ (1944). «Sobre la ecuación x 3 + y 3 + z 3 = 0». Boletín de la Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturales (Каракас) . 8 : 971–979.
- ^ Фриман Л. (28 октября 2005 г.). «Последняя теорема Ферма: доказательство для n = 5» . Проверено 23 мая 2009 года .
- ^ Рибенбойм, стр. 49; Морделл, стр. 8–9; Aczel, p. 44; Сингх, стр. 106.
- ^ Ribenboim, стр. 55-57.
- ^ Гаусс CF (1875). "Neue Theorie der Zerlegung der Cuben". Zur Theorie der complexen Zahlen, Werke, vol. II (2-е изд.). Königl. Ges. Wiss. Гёттинген. С. 387–391. (Опубликовано посмертно)
- ^ Лебег В.А. (1843). «Новые теории на неопределенное уравнение x 5 + y 5 = az 5 ». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 8 : 49–70.
- ^ Ламе Г. (1847 г.). "Mémoire sur la résolution en nombres complex de l'équation A 5 + B 5 + C 5 = 0". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 12 : 137–171.
- ^ Гамбиоли Д. (1903–1904). "Intorno all'ultimo teorema di Fermat". Il Pitagora . 10 : 11–13, 41–42.
- ^ Веребрусов А.С. (1905). "Об уравнении х 5 + у 5 = Az 5 (на русском) ". Москов. Математика. Samml . 25 : 466–473.
- ^ Рычлик К. (1910). «О последней теореме Ферма для n = 5 (на богемском языке) ». Časopis Pěst. Мат . 39 : 185–195, 305–317.
- ^ Терджанян Г (1987). "Sur une question de VA Lebesgue" . Annales de l'Institut Fourier . 37 (3): 19–37. DOI : 10,5802 / aif.1096 .
- ^ Ribenboim, С. 57-63. Морделл, стр. 8; Aczel, p. 44; Сингх, стр. 106.
- ^ Ламе Г. (1839 г.). "Mémoire sur le dernier théorème de Fermat". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 9 : 45–46.
Ламе Г. (1840 г.). "Mémoire d'analyse indéterminée démontrant que l'équation x 7 + y 7 = z 7 est cannot en nombres entiers". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 5 : 195–211. - ^ Лебег В.А. (1840). "Démonstration de l'impossibilité de résoudre l'équation x 7 + y 7 + z 7 = 0 en nombres entiers". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 5 : 276–279, 348–349.
- ^ Фриман Л. (18 января 2006 г.). «Последняя теорема Ферма: доказательство для n = 7» . Проверено 23 мая 2009 года .
- ^ Дженокки А (1864 г.). «Intorno all'equazioni x 7 + y 7 + z 7 = 0» . Annali di Matematica Pura ed Applicata . 6 : 287–288. DOI : 10.1007 / bf03198884 . S2CID 124916552 .
Дженокки А (1874 г.). "Sur l'impossibilité de quelques égalités удваивается". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 78 : 433–436.
Дженокки А (1876 г.). "Généralisation du théorème de Lamé sur l'impossibilité de l'équation x 7 + y 7 + z 7 = 0". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 82 : 910–913. - ^ Пепин Т (1876). "Impossibilité de l'équation x 7 + y 7 + z 7 = 0". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences . 82 : 676–679, 743–747.
- ^ Maillet E (1897). "Sur l'éterminée ax λ t + by λ t = cz λ t " . Французская ассоциация развития науки, Сент-Этьен, Compte Rendu de la 26me Session, deuxième partie . 26 : 156–168.
- ^ Вт А (1896 г.). "Über die Auflösbarkeit einiger unbestimmter Gleichungen". Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter . 7 .Перепечатано в Selected Mathematical Papers , pp. 19–30, Oslo: Universitetsforlaget (1977).
- ^ Тафельмахер WLA (1897). "La ecuación x 3 + y 3 = z 2 : Una manifestración nueva del teorema de fermat para el caso de las sestas Potencias". Аналес де ла Универсидад де Чили . 97 : 63–80.
- ^ Линд Б. (1909). "Einige zahlentheoretische Sätze". Archiv der Mathematik und Physik . 15 : 368–369.
- ^ а б Капферер Х (1913). "Beweis des Fermatschen Satzes für die Exponenten 6 und 10". Archiv der Mathematik und Physik . 21 : 143–146.
- ^ Свифт Э (1914). «Решение проблемы 206». Американский математический ежемесячник . 21 (7): 238–239. DOI : 10.2307 / 2972379 . JSTOR 2972379 .
- ^ а б Бреуш Р. (1960). «Простое доказательство последней теоремы Ферма для n = 6, n = 10». Математический журнал . 33 (5): 279–281. DOI : 10.2307 / 3029800 . JSTOR 3029800 .
- ^ Дирихле ПГЛ (1832 г.). «ДЕМОНСТРАЦИЯ дю théorème де Ферма пур ле саз дез 14 е puissances». Journal für die reine und angewandte Mathematik . 9 : 390–393.Перепечатано в Werke , vol. I, стр. 189–194, Берлин: Г. Реймер (1889); переизданный New York: Chelsea (1969).
- ^ Терджанян Г (1974). «L'équation x 14 + y 14 = z 14 en nombres entiers». Бюллетень математических наук . Серия 2. 98 : 91–95.
- ↑ Эдвардс, стр. 73–74.
- ^ а б Эдвардс, стр. 74.
- ^ Диксон, стр. 733.
- ^ Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 51–54. ISBN 978-0-387-90432-0.
- ^ Singh, стр. 97-109.
- ^ а б Лаубенбахер Р., Пенгелли Д. (2007). «Voici ce que j'ai Trouvé: великий план Софи Жермен по доказательству Великой теоремы Ферма» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 5 апреля 2013 года . Проверено 19 мая 2009 года .
- ^ Aczel, стр. 57.
- ^ Терджанян, Г. (1977). «Sur l'équation x 2 p + y 2 p = z 2 p ». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB . 285 : 973–975.
- ^ Адлеман Л.М., Хит-Браун Д.Р. (июнь 1985 г.). «Первый случай последней теоремы Ферма». Inventiones Mathematicae . Берлин: Springer. 79 (2): 409–416. Bibcode : 1985InMat..79..409A . DOI : 10.1007 / BF01388981 . S2CID 122537472 .
- ^ Гарольд М. Эдвардс , Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в теорию чисел. Тексты для выпускников по математике vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977, стр. 79
- ^ Ацель, С. 84-88. Сингх, стр. 232–234.
- ^ Фальтингс G (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae . 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . DOI : 10.1007 / BF01388432 . S2CID 121049418 .
- ^ Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. п. 202. ISBN. 978-0-387-90432-0.
- ^ Вагстафф СС младший (1978). «Неправильные простые числа до 125000». Математика вычислений . Американское математическое общество. 32 (142): 583–591. DOI : 10.2307 / 2006167 . JSTOR 2006167 . (PDF) Архивировано 10 января 2011 года на WebCite.
- ^ Бюлер Дж., Кранделл Р., Эрнвалл Р., Метсянкюля Т. (1993). «Нерегулярные простые числа и циклотомические инварианты до четырех миллионов» . Математика вычислений . Американское математическое общество. 61 (203): 151–153. Bibcode : 1993MaCom..61..151B . DOI : 10.2307 / 2152942 . JSTOR 2152942 .
- ^ Хэмкинс, Джоэл Дэвид (15 июня 2010 г.). «Примеры возможных контрпримеров, ответ Дж. Д. Хэмкинса» . mathoverflow.net . Проверено 15 июня 2017 года .
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p Последняя теорема Ферма, Саймон Сингх, 1997 г., ISBN 1-85702-521-0
- ^ Фрей Г. (1986). «Связи между устойчивыми эллиптическими кривыми и некоторыми диофантовыми уравнениями». Annales Universitatis Saraviensis. Серия Mathematicae . 1 : 1–40.
- ↑ Singh, стр. 194–198; Aczel, стр. 109–114.
- ^ Рибет, Кен (1990). «О модульных представлениях Gal ( Q / Q ), возникающих из модульных форм» (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431–476. Bibcode : 1990InMat.100..431R . DOI : 10.1007 / BF01231195 . hdl : 10338.dmlcz / 147454 . Руководство по ремонту 1047143 . S2CID 120614740 .
- ^ Сингх, стр. 205; Aczel, стр. 117–118.
- ↑ Singh, стр. 237–238; Aczel, стр. 121–122.
- ^ Singh, С. 239-243. Aczel, стр. 122–125.
- ↑ Singh, стр. 244–253; Aczel, стр. 1–4, 126–128.
- ^ Ацель, стр. 128-130.
- ^ Сингх, стр. 257.
- ^ а б в Сингх, стр. 269–277.
- ^ Год спустя, корягу упорствует в математике Proof 28 июня 1994
- ^ 26 июня - 2 июля; Год спустя загадка Ферма все еще не совсем ясна QED 3 июля 1994 г.
- ^ Singh, стр. 175-185.
- ^ Ацель, стр. 132-134.
- ^ Сингх стр. 186–187 (текст сокращен).
- ^ Уайлс, Эндрю (1995). "Модульные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма" (PDF) . Анналы математики . 141 (3): 443–551. DOI : 10.2307 / 2118559 . JSTOR 2118559 . OCLC 37032255 . Архивировано из оригинального (PDF) 28 июня 2003 года.
- ^ "Модульные эллиптические кривые и Последняя теорема Ферма" (PDF) .
- ^ Тейлор Р. , Уайлс А. (1995). "Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке" . Анналы математики . 141 (3): 553–572. DOI : 10.2307 / 2118560 . JSTOR 2118560 . OCLC 37032255 . Архивировано из оригинального 27 ноября 2001 года.
- ^ а б Барроу-Грин, июнь; Лидер, Имре; Гауэрс, Тимоти (2008). Принстонский компаньон по математике . Издательство Принстонского университета. С. 361–362.
- ^ "Гипотеза Маулдина / Тийдемана-Загьера" . Прайм Пазлы . Проверено 1 октября +2016 .
- ^ Элкис, Ноам Д. (2007). "Азбука теории чисел" (PDF) . Обзор математики Гарвардского колледжа . 1 (1).
- ^ Мишель Вальдшмидт (2004). «Открытые диофантовы проблемы». Московский математический журнал . 4 : 245–305. arXiv : математика / 0312440 . DOI : 10.17323 / 1609-4514-2004-4-1-245-305 . S2CID 11845578 .
- ^ Крэндалл, Ричард; Померанс, Карл (2000). Простые числа: вычислительная перспектива . Springer. п. 417. ISBN 978-0387-25282-7.
- ^ «Гипотеза Била» . Американское математическое общество . Проверено 21 августа +2016 .
- ^ Цай, Тяньксин; Чен, Дэи; Чжан, Юн (2015). «Новое обобщение Великой теоремы Ферма». Журнал теории чисел . 149 : 33–45. arXiv : 1310.0897 . DOI : 10.1016 / j.jnt.2014.09.014 . S2CID 119732583 .
- ^ Михайлеску, Преда (2007). "Циклотомическое исследование гипотезы Каталана – Ферма". Mathematica Gottingensis .
- ^ Ленстра младший HW (1992). «Об обратном уравнении Ферма». Дискретная математика . 106–107: 329–331. DOI : 10.1016 / 0012-365x (92) 90561-с .
- ^ Ньюман М (1981). «Радикальное диофантово уравнение» . Журнал теории чисел . 13 (4): 495–498. DOI : 10.1016 / 0022-314x (81) 90040-8 .
- ^ Bennett, Curtis D .; Стекло, AMW; Секели, Габор Дж. (2004). «Последняя теорема Ферма для рациональных показателей». Американский математический ежемесячник . 111 (4): 322–329. DOI : 10.2307 / 4145241 . JSTOR 4145241 . Руководство по ремонту 2057186 .
- ^ Dickson, стр. 688-691.
- ^ Полевок, Роджер (июль 1999 г.). «Целочисленные решения a −2 + b −2 = d −2 ». Математический вестник . 83 (497): 269–271. DOI : 10.2307 / 3619056 . JSTOR 3619056 .
- ^ Ричиник, Дженнифер (июль 2008 г.). «Перевернутая теорема Пифагора». Математический вестник . 92 : 313–317. DOI : 10.1017 / S0025557200183275 .
- ^ Ланг, Серж (2002). Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 211 . Springer-Verlag New York. п. 196.
- ^ Элкис, Ноам (1991). «Азбука подразумевает Морделла». Уведомления о международных математических исследованиях . 1991 (7): 99–109. DOI : 10.1155 / S1073792891000144 .
Наше доказательство обобщает известную импликацию «эффективный ABC [стрелка вправо] в конечном итоге Ферма», которая была исходной мотивацией для гипотезы ABC.
- ^ а б в Гранвиль, Эндрю ; Такер, Томас (2002). «Это так просто, как abc» (PDF) . Уведомления AMS . 49 (10): 1224–1231.
- ^ Эстерле, Джозеф (1988). «Новые приближается к теории Ферма» . Astérisque . Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165–186. ISSN 0303-1179 . Руководство по ремонту 0992208 .
- ^ Aczel, стр. 69; Сингх, стр. 105.
- ^ Aczel, стр. 69.
- ^ а б Коши Т. (2001). Элементарная теория чисел с приложениями . Нью-Йорк: Academic Press. п. 544. ISBN 978-0-12-421171-1.
- ↑ Singh, стр. 120–125, 131–133, 295–296; Aczel, p. 70.
- Перейти ↑ Singh, pp. 120–125.
- ^ Сингх, стр. 284
- ^ «Цитирование Премии Абеля 2016» (PDF) . Премия Абеля . Комитет премии Абеля. Март 2016 года . Проверено 16 марта 2016 .
- ^ Сингх, стр. 295.
- Перейти ↑ Singh, pp. 295–296.
- ^ Сингх, Саймон (2013). Симпсоны и их математические секреты . A&C Black. С. 35–36. ISBN 978-1-4088-3530-2.
- ^ Кевин Кнудсон (20 августа 2015 г.). «Математика Звездного пути: как попытка решить Великую теорему Ферма произвела революцию в математике» . Forbes .
- ^ «Удовлетворены ли математики доказательством Великой теоремы Ферма, полученным Эндрю Уайлсом? Почему эту теорему так трудно доказать?» . Scientific American . 21 октября 1999 . Проверено 16 марта 2016 .
Библиография
- Акзель, Амир (30 сентября 1996 г.). Последняя теорема Ферма: раскрытие секрета древней математической проблемы . Четыре стены восемь окон. ISBN 978-1-56858-077-7.
- Диксон Л. Е. (1919). История теории чисел. Том II. Диофантов анализ . Нью-Йорк: Chelsea Publishing. С. 545–550, 615–621, 688–691, 731–776.
- Эдвардс, HM (1997). Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в теорию алгебраических чисел . Тексты для выпускников по математике. 50 . Нью-Йорк: Springer-Verlag.
- Фриберг, Йоран (2007). Удивительные следы вавилонского происхождения в греческой математике . Мировая научная издательская компания. ISBN 978-981-270-452-8.
- Кляйнер I (2000). «От Ферма до Уайлса: Последняя теорема Ферма становится теоремой» (PDF) . Elemente der Mathematik . 55 : 19–37. DOI : 10.1007 / PL00000079 . S2CID 53319514 . Архивировано из оригинального (PDF) 13 июля 2010 года.
- Морделл LJ (1921). Три лекции о Великой теореме Ферма . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
- Панчишкин, Алексей Алексеевич (2007). Введение в современную теорию чисел (Энциклопедия математических наук . Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
- Рибенбойм П (2000). Последняя теорема Ферма для любителей . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98508-4.
- Сингх С. (октябрь 1998 г.). Загадка Ферма . Нью-Йорк: якорные книги. ISBN 978-0-385-49362-8.
- Старк Х (1978). Введение в теорию чисел . MIT Press. ISBN 0-262-69060-8.
дальнейшее чтение
- Белл, Эрик Т. (6 августа 1998 г.) [1961]. Последняя проблема . Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-451-8.
- Бенсон, Дональд К. (5 апреля 2001 г.). Момент доказательства: математические прозрения . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-513919-8.
- Бруднер, Харви Дж. (1994). Ферма и недостающие числа . WLC, Inc. ISBN 978-0-9644785-0-3.
- Эдвардс, HM (март 1996 г.) [1977]. Последняя теорема Ферма . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90230-2.
- Faltings G (июль 1995 г.). "Доказательство Великой теоремы Ферма Р. Тейлором и А. Уайлсом" (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 42 (7): 743–746. ISSN 0002-9920 .
- Моззочи, Чарльз (7 декабря 2000 г.). Дневник Ферма . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2670-6.
- Рибенбойм П (1979). 13 лекций по Великой теореме Ферма . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-90432-0.
- ван дер Поортен, Альф (6 марта 1996 г.). Заметки о Великой теореме Ферма . WileyBlackwell. ISBN 978-0-471-06261-5.
- Сайкия, Манджил П. (июль 2011 г.). "Исследование доказательства Куммера Великой теоремы Ферма для регулярных простых чисел" (PDF) . Отчет о летнем проекте IISER Mohali (Индия) . arXiv : 1307.3459 . Bibcode : 2013arXiv1307.3459S . Архивировано из оригинального (PDF) 22 сентября 2015 года . Проверено 9 марта 2014 .
- Стивенс, Гленн (1997). «Обзор доказательства Великой теоремы Ферма» . Модулярные формы и Последняя теорема Ферма . Нью-Йорк: Спрингер. С. 1–16. ISBN 0-387-94609-8.
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с последней теоремой Ферма на Викискладе?
- Последняя теорема Ферма в Британской энциклопедии
- Дэйни, Чарльз (2003). «Математика Великой теоремы Ферма» . Архивировано из оригинала 3 августа 2004 года . Проверено 5 августа 2004 года .
- Элкис, Ноам Д. «Таблицы« промахов »Ферма - приближенные решения x n + y n = z n » .
- Фриман, Ларри (2005). «Блог о Великой теореме Ферма» . Блог, посвященный истории Великой теоремы Ферма от Ферма до Уайлса.
- "Последняя теорема Ферма" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Рибет, Кен (1995). «Представления Галуа и модульные формы». arXiv : math / 9503219 . Обсуждает различный материал, связанный с доказательством Великой теоремы Ферма: эллиптические кривые, модулярные формы, представления Галуа и их деформации, конструкцию Фрея и гипотезы Серра и Таниямы-Шимуры.
- Шей, Дэвид (2003). «Последняя теорема Ферма» . Проверено 14 января 2017 года . Рассказ, история и загадка.
- Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма» . MathWorld .
- О'Коннор Дж. Дж., Робертсон Э. Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма» . Архивировано из оригинала 4 августа 2004 года . Проверено 5 августа 2004 года .
- «Доказательство» . В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма.
- «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)» . Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса.