Обобщенный квантор

В лингвистической семантике , А обобщенный квантификатор ( GQ ) является выражением , которое обозначает набор множеств . Это стандартная семантика, назначаемая количественным выражениям существительных . Например, обобщенный квантор каждый мальчик обозначает набор множеств, членом которого является каждый мальчик:

{\ displaystyle \ {X \, | \, \ forall x (x {\ text {- мальчик}} \ to x \ in X) \}}

Такая обработка кванторов была важна для достижения композиционной семантики предложений, содержащих кванторы. ^[1]^[2]

Теория типов [ править ]

Версия теории типов часто используется, чтобы сделать семантику различных видов выражений явной. Стандартная конструкция рекурсивно определяет набор типов следующим образом:

e и t - типы.
Если a и b оба типа, то тоже ${\ displaystyle \ langle a, b \ rangle}$
Ничто не является типом, кроме того, что может быть построено на основе строк 1 и 2 выше.

Учитывая это определение, у нас есть простые типы e и t , а также счетное бесконечное количество сложных типов, некоторые из которых включают:

\langle e,t\rangle ;\qquad \langle t,t\rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,t\rangle ;\qquad \langle e,\langle e,t\rangle \rangle ;\qquad \langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle ;\qquad \ldots

Выражения типа e обозначают элементы вселенной дискурса , набор сущностей, о которых идет речь. Этот набор обычно записывается как . Примеры выражений типа e включают John и he . $D_{e}$
Выражения типа t обозначают значение истинности , обычно представляемое как множество , где 0 означает «ложь», а 1 - «истина». Примерами выражений, которые иногда называют типом t, являются предложения или пропозиции . $\{0,1\}$
Выражения типа обозначают функции от набора сущностей до набора значений истинности. Этот набор функций отображается как . Такие функции являются характеристическими функциями из наборов . Они сопоставляют каждого индивидуума, который является элементом набора, с «истинным», а все остальное - с «ложным». Принято говорить, что они обозначают множества, а не характеристические функции, хотя, строго говоря, последняя более точна. Примерами выражений этого типа являются предикаты , существительные и некоторые виды прилагательных . $\langle e,t\rangle$ $D_{t}^{D_{e}}$
В общем, выражение сложных типов обозначают функции из множества сущностей типа множества сущностей типа , конструкция можно записать следующий образом : . $\langle a,b\rangle$ $a$ $b$ $D_{b}^{D_{a}}$

Теперь мы можем присвоить типы слов в нашем предложении выше (Каждый мальчик спит) следующим образом.

- Тип (мальчик) = $\langle e,t\rangle$
- Тип (спит) = $\langle e,t\rangle$
- Тип (каждый) = $\langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle$

Таким образом, каждый обозначает функцию от набора до функции от набора до значения истинности. Другими словами, он обозначает функцию от набора к набору наборов. Это та функция, которая для любых двух множеств A, B , every ( A ) ( B ) = 1 тогда и только тогда, когда . $A\subseteq B$

Типизированное лямбда-исчисление [ править ]

Полезный способ написания сложных функций - это лямбда-исчисление . Например, можно записать значение сна в виде следующего лямбда-выражения, которое представляет собой функцию от индивидуального x до утверждения, что x спит .

\lambda x.sleep'(x)

Такие лямбда-термины - это функции, область определения которых - это то, что предшествует точке, а диапазон - тип вещей, следующих за точкой. Если x - это переменная, которая колеблется в пределах элементов , то следующий лямбда-термин обозначает функцию идентичности отдельных лиц: $D_{e}$

\lambda x.x

Теперь мы можем записать значение каждого с помощью следующего лямбда-члена, где X, Y - переменные типа : $\langle e,t\rangle$

\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y

Если мы сократим значение слова мальчик и спит как « B » и « S », соответственно, мы получим, что предложение « каждый мальчик спит сейчас» означает следующее:

(\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)

- β-восстановление

(\lambda Y.B\subseteq Y)(S)

- β-восстановление

B\subseteq S

Выражение каждый является определяющим . В сочетании с существительным он дает обобщенный квантор типа . $\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle$

Свойства [ править ]

Монотонность [ править ]

Монотонно увеличивающиеся GQ [ править ]

Обобщенное квантификатором GQ, называется монотонно возрастающей (также называемый вверх , влекущие за собой ) , если для каждой пары множеств Х и У , справедливо следующее:

если , то GQ ( X ) влечет GQ ( Y ).

X\subseteq Y

GQ у каждого мальчика монотонно растет. Например, набор вещей, которые работают быстро, - это подмножество множества вещей, которые работают . Следовательно, первое предложение ниже влечет за собой второе:

Каждый мальчик быстро бегает.
Каждый мальчик бежит.

Монотонно убывающие GQ [ править ]

GQ называется монотонно убывающим (также называемым понижающим влечением ), если для каждой пары множеств X и Y выполняется следующее:

Если , то из GQ ( Y ) следует GQ ( X ).

X\subseteq Y

Пример монотонно убывающего GQ - не мальчик . Для этого GQ мы имеем, что первое предложение ниже влечет за собой второе.

Мальчик не бежит.
Ни один мальчик не бегает быстро.

Лямбда-член для определителя « нет» следующий. Он говорит, что два набора имеют пустое пересечение .

\lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset

Монотонно убывающие GQ являются одними из выражений, которые могут лицензировать элемент отрицательной полярности , такой как любой . Монотонно возрастающие GQ не лицензируют элементы отрицательной полярности.

Хорошо: Нет мальчик не имеет каких - либо денег.
Плохо: * Каждый мальчик имеет какие - либо деньги.

Немонотонные GQ [ править ]

GQ называется немонотонным, если он не монотонно возрастает и не убывает. Пример такого GQ - ровно три мальчика . Ни одно из следующих предложений не влечет за собой другого.

Бежали ровно трое учеников.
Бежали ровно трое учеников.

Первое предложение не влечет за собой второго. Тот факт, что количество учащихся, которые бежали, равно трем, не означает, что каждый из этих студентов бежал быстро , поэтому количество учащихся, которые это сделали, может быть меньше 3. И наоборот, второе предложение не влечет за собой первое. Предложение « ровно три ученика быстро бежали» может быть верным, даже если количество учеников, которые просто бежали (т.е. не так быстро), превышает 3.

Лямбда-член для (комплексного) определителя ровно три следующий. Это говорит о том , что мощность от пересечения между двумя наборами равно 3.

\lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3

Консервативность [ править ]

Определитель D называется консервативным, если имеет место следующая эквивалентность:

D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)

Например, следующие два предложения эквивалентны.

Каждый мальчик спит.
Каждый мальчик - это мальчик, который спит.

Было высказано предположение, что все детерминаторы - в каждом естественном языке - консервативны. ^[2] Выражение только не является консервативным. Следующие два предложения не эквивалентны. Но на самом деле анализ только как определяющий фактор не принято . Скорее, оно обычно рассматривается как наречие, чувствительное к фокусу .

Спят только мальчики.
Только мальчики - мальчики, которые спят.

См. Также [ править ]

Объем (формальная семантика)
Квантификатор Линдстрема
Квантификатор ветвления

Ссылки [ править ]

^ Монтегю, Ричард (1974). «Правильная обработка количественной оценки на английском языке». In Kulas, J .; Fetzer, JH; Ранкин, Т.Л. (ред.). Философия, язык и искусственный интеллект (PDF) . Исследования когнитивных систем. 2 . Спрингер, Дордрехт. С. 141–162. DOI : 10.1007 / 978-94-009-2727-8_7 .
^ a b Барвайз, Джон ; Купер, Робин (1981). «Обобщенные кванторы и естественный язык» . Лингвистика и философия (4): 159–219. DOI : 10.1007 / BF00350139 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Стэнли Питерс; Даг Вестерстол (2006). Квантификаторы в языке и логике . Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-929125-0.
Антонио Бадиа (2009). Квантификаторы в действии: обобщенная количественная оценка в запросах, логических и естественных языках . Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.

Внешние ссылки [ править ]

Даг Вестерстол, 2011. « Обобщенные кванторы ». Стэнфордская энциклопедия философии .

[1] Монтегю, Ричард (1974). «Правильная обработка количественной оценки на английском языке». In Kulas, J .; Fetzer, JH; Ранкин, Т.Л. (ред.). Философия, язык и искусственный интеллект (PDF) . Исследования когнитивных систем. 2 . Спрингер, Дордрехт. С. 141–162. DOI : 10.1007 / 978-94-009-2727-8_7 .

[Barwise-2] Барвайз, Джон ; Купер, Робин (1981). «Обобщенные кванторы и естественный язык» . Лингвистика и философия (4): 159–219. DOI : 10.1007 / BF00350139 .

[1]