В математике , род (множественное число родов ) имеет несколько различных, но тесно связаны между собой , значения. Наиболее распространенное понятие, род ( ориентируемой ) поверхности , - это количество «дырок», которые она имеет, так что сфера имеет род 0, а тор - род 1.
Топология [ править ]
Ориентируемые поверхности [ править ]
Род из подключенной , ориентируемой поверхности представляет собой целое число , представляющее максимальное количество черенков вдоль непересекающихся замкнутых простых кривых без рендеринга результирующего коллектора отключены. [1] Равно количеству ручек на нем. В качестве альтернативы его можно определить в терминах эйлеровой характеристики χ через соотношение χ = 2–2 g для замкнутых поверхностей , где g - род. Для поверхностей с b граничными компонентами уравнение имеет вид χ= 2 - 2 г - б . С точки зрения непрофессионала, это количество «дырок» в объекте («дырки» интерпретируются как дырки от бублика; в этом смысле полая сфера будет считаться не имеющей дыр). Пончик или тор имеет 1 такое отверстие, а сфера - 0. На изображенной выше зеленой поверхности есть 2 отверстия соответствующего типа.
Например:
- Сфера S 2 и диска оба имеет рода нуль.
- Тор имеет род один, как это делает поверхность кружка кофе с ручкой. Отсюда шутка «топологи - это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».
Явное построение поверхностей рода g дается в статье о фундаментальном многоугольнике .
Проще говоря, ценность рода ориентируемой поверхности равна количеству «дырок», которые она имеет. [2]
Неориентируемые поверхности [ править ]
В неориентируемом роде , demigenus или Эйлер род связной, неориентируемой замкнутой поверхности является положительным целым числом , представляющее количество поперечных крышек , прикрепленных к сфере . В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 - k , где k - неориентируемый род.
Например:
- Вещественная проективная плоскость имеет неориентируемого род один.
- Бутылка Клейна имеет неориентируемой род два.
Узел [ править ]
Родом из узла K определяются как минимальный родом все Seifert поверхностей для K . [3] Поверхность Зейферта узла - это многообразие с краем , которое является узлом, т.е. гомеоморфно единичной окружности. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, которое получается склейкой единичного круга по границе.
Ручка [ править ]
В роде из 3-мерного кренделя представляет собой целое число , представляющее максимальное количество черенков вдоль вложенных дисков без рендеринга результирующего коллектора отключен. Он равен количеству ручек на нем.
Например:
- У шара нулевой род.
- Полный тор D 2 × S 1 имеет род один.
Теория графов [ править ]
Родом из графа есть минимальное целое число п такая , что граф можно сделать , не пересекая себя на сфере с п ручками (т.е. ориентированной поверхности рода п ). Таким образом, планарный граф имеет род 0, потому что его можно нарисовать на сфере без самопересечения.
В неориентируемом роде из в графе есть минимальное целое число п такая , что граф можно сделать , не пересекая себя на сфере с п поперечных колпачков (т.е. неориентируемая поверхность (неориентируемом) родом п ). (Это число также называют полукругом .)
Род Эйлера - это минимальное целое число n такое, что граф можно нарисовать, не пересекая себя, на сфере с n перекрестными заглавными буквами или на сфере с n / 2 ручками. [4]
В топологической теории графов существует несколько определений рода группы . Артур Т. Уайт ввел следующую концепцию. Родом группы G является минимальным родом (связным) неориентированного графа Кэлей для G .
Проблема рода графов является NP-полной . [5]
Алгебраическая геометрия [ править ]
Есть два связанных определения рода любой проективной алгебраической схемы X : арифметический род и геометрический род . [6] Когда Х представляет собой алгебраическую кривую с полем определения в комплексных чисел , и если Х не имеет особых точек , то эти определения соглашаются и совпадают с топологическим определением применительно к римановой поверхности из X (ее многообразия комплексных точек). Например, определение эллиптической кривой изалгебраическая геометрия - это связная неособая проективная кривая рода 1 с данной рациональной точкой на ней .
По теореме Римана-Роха неприводимая плоская кривая степени, заданной исчезающим множеством сечения, имеет геометрический род
где s - количество особенностей при правильном подсчете.
Биология [ править ]
Род можно также вычислить для графика, охватываемого сетью химических взаимодействий в нуклеиновых кислотах или белках. В частности, можно изучать рост рода по цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул. [7]
См. Также [ править ]
- Группа (математика)
- Арифметический род
- Геометрический род
- Род мультипликативной последовательности
- Род квадратичной формы
- Род Spinor
Ссылки [ править ]
- ^ Мункрес, Джеймс Р. Топология. Vol. 2. Верхняя Сэдл Ривер: Прентис Холл, 2000.
- ^ «Род» .
- ^ Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3678-1
- ^ Графики на поверхностях .
- ^ Thomassen, Карстен (1989). «Проблема рода графов NP-полна». Журнал алгоритмов . 10 (4): 568–576. DOI : 10.1016 / 0196-6774 (89) 90006-0 . ISSN 0196-6774 . Zbl 0689.68071 .
- ^ Хирцебрух, Фридрих (1995) [1978]. Топологические методы в алгебраической геометрии . Классика по математике. Перевод с немецкого языка и приложение первое РЛЭ Шварценбергера. Приложение второе А. Бореля (перепечатка 2-го, корр. Оттиска 3-го изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009 .
- ^ Сулковский, Петр; Sulkowska, Joanna I .; Домбровский-Туманский, Павел; Андерсен, Эббе Ленивец; Гири, Коди; Зайец, Себастьян (2018-12-03). «След рода раскрывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул» . Научные отчеты . 8 (1): 17537. DOI : 10.1038 / s41598-018-35557-3 . ISSN 2045-2322 . PMC 6277428 . PMID 30510290 .